扁拱的面內(nèi)非線(xiàn)性穩(wěn)定與突變分析

朱曉蕾， 孫敦本

(南京林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京　210037)

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扁拱的面內(nèi)非線(xiàn)性穩(wěn)定與突變分析

朱曉蕾， 孫敦本

(南京林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京210037)

摘要：通過(guò)位移、應(yīng)變能突變分析扁拱結(jié)構(gòu)受簡(jiǎn)諧荷載作用特性。采用諧波平衡法由扁拱非線(xiàn)性振動(dòng)方程獲得位移、頻率關(guān)系尖點(diǎn)突變模型，據(jù)位移突變判別式分析扁拱非線(xiàn)性響應(yīng)；用系統(tǒng)能量原理及有限元軟件，借助突變理論導(dǎo)出結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的應(yīng)變能突變準(zhǔn)則，并比較位移與應(yīng)變能突變判別方式差異。結(jié)果表明，扁拱受簡(jiǎn)諧荷載作用的位移或應(yīng)變能會(huì)發(fā)生突變，跨度、矢高及荷載對(duì)突變均有影響；用位移、應(yīng)變能突變判別式計(jì)算結(jié)果基本一致，且各有優(yōu)勢(shì)及不足。

關(guān)鍵詞：扁拱；突變理論；穩(wěn)定；位移突變；應(yīng)變能突變

扁拱作為特殊形式拱結(jié)構(gòu)多用于廠房、體育館、車(chē)站等。扁拱的動(dòng)力響應(yīng)與普通拱存在差異，因此研究扁拱結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性穩(wěn)定特性具有重要意義。早期計(jì)算拱結(jié)構(gòu)所得為線(xiàn)性穩(wěn)定解[1]，而對(duì)非線(xiàn)性動(dòng)力行為研究[2-7]逐漸增多，但關(guān)于扁拱突跳失穩(wěn)尤其用突變理論及能量判斷扁拱結(jié)構(gòu)突變研究較少[8-9]。

分析扁拱動(dòng)力響應(yīng)時(shí)僅考慮非線(xiàn)性因素?zé)o法闡明失穩(wěn)的物理意義，微分方程建立的物理規(guī)律中不允許有突變及發(fā)散，因此可結(jié)合突變理論解決非線(xiàn)性問(wèn)題。突變是系統(tǒng)對(duì)外部條件光滑變化的突然響應(yīng)，突變理論為研究躍遷、不連續(xù)及突然質(zhì)變的普遍適用方法[10]。由動(dòng)荷載引起的扁拱非線(xiàn)性振動(dòng)較復(fù)雜，類(lèi)似“漸硬”彈簧振動(dòng)。本文將位移、總應(yīng)變能作為參考量判斷結(jié)構(gòu)是否發(fā)生突變，并通過(guò)有限元模擬驗(yàn)證其可行性。

1位移突變

1.1扁拱非線(xiàn)性振動(dòng)方程及突變模型

扁拱指矢高較小的拱，其軸線(xiàn)長(zhǎng)度較跨度不長(zhǎng)多少，據(jù)文獻(xiàn)[11]，若矢跨比滿(mǎn)足式(1)可視為扁拱，即

(1)

式中：h為矢高；l為跨度；A為橫截面積；E為彈性模量；H0為拱名義軸向力(四分點(diǎn)處軸力)，按經(jīng)典理論計(jì)算即略去撓度對(duì)軸力影響，但需考慮拱的軸向壓縮。

圖1　扁拱結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of shallow arch

設(shè)圖1鉸支扁拱滿(mǎn)足假設(shè)，即平面彎曲，平截面假定，材料為線(xiàn)彈性，扁拱全長(zhǎng)軸壓力為常量且等于水平推力(矢跨比滿(mǎn)足式(1)時(shí)，假設(shè)成立)。微段隔離體見(jiàn)圖2。

圖2　拱軸微段隔離體Fig.2 Micro section isolation body of arch axis

設(shè)扁拱作用荷載為

(2)

式中：F為荷載幅值；ω為荷載頻率；t為時(shí)間。

扁拱偏微分運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中：I為慣性矩；c為阻尼；ρ為密度；y0=y0(x)為初始拱軸線(xiàn)坐標(biāo)；y=y(x,t)為變形后拱軸線(xiàn)坐標(biāo)；w=w(x,t)=y(x,t)-y0(x)為位移方程。

設(shè)初始拱軸線(xiàn)y0(x)=hsin(πx/l)，雙鉸拱邊界條件為

(4)

式中：“′”為對(duì)位移x求導(dǎo)。

基于Galerkin原理，滿(mǎn)足式(4)的拱在任意時(shí)刻位移模式為

(5)

將式(5)代入式(3)并整理得(“·”表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo))

βT3(t)=fcos(ωt)

(6)

式中：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

扁拱的非線(xiàn)性振動(dòng)可視為“漸硬”彈簧特性系統(tǒng)振動(dòng)，方程中三次非線(xiàn)性項(xiàng)在響應(yīng)中起主要作用[12]，可忽略二次非線(xiàn)性項(xiàng)影響，因此式(6)變?yōu)?/p>

(12)

式中：ω0為結(jié)構(gòu)廣義自振頻率。

式(12)即為正弦型扁拱的非線(xiàn)性振動(dòng)方程，也稱(chēng)為Duffing方程。

作用荷載、拱軸線(xiàn)及位移模式均設(shè)為正弦形式sin(πx/l)，目的為推導(dǎo)非線(xiàn)性振動(dòng)方程過(guò)程中消去常數(shù)項(xiàng)便于理論計(jì)算及盡量減小公式誤差。由于討論的扁拱矢跨比較小，不同類(lèi)型拱軸線(xiàn)形狀無(wú)明顯差別，荷載、拱軸線(xiàn)及位移模式形式對(duì)結(jié)果影響較小，故該假設(shè)合理。

由于外荷載fcos(ωt)按簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律變化，故式(12)的解可假設(shè)為

T(t)=Dcos(ωt+φ)

(13)

并略去三次諧波項(xiàng)可得

2ηωDsin(ωt+φ)=fcos(ωt)

(14)

(Acosφ-Bsinφ)cos(ωt)-

(Asinφ+Bcosφ)sin(ωt)=fcos(ωt)

(15)

使式(14)成立，則需滿(mǎn)足

(16)

將式(16)等式兩邊分別平方相加得

(17)

(18)

將式(17)等效為尖點(diǎn)突變模型平衡曲面標(biāo)準(zhǔn)形式z3+az+b=0，z含B2項(xiàng)且與α/β有關(guān)，推算可知各變量表達(dá)式為

(19)

(20)

(21)

平衡曲面反應(yīng)位移最大值D與荷載頻率ω的關(guān)系，故扁拱突變位移判別式為ΔD=4a3+27b2，ΔD>0結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，ΔD<0結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，ΔD=0為突變臨界狀態(tài)。

1.2位移突變分析

設(shè)跨度30 m、矢高0.5 m的正弦形鉸支扁拱，拱軸材料為Q235的H型鋼(H800×300×14×26)，橫截面積0.026 74 m2，慣性矩0.002 92 m4，彈性模量206×109N/m2，密度7 850 kg/m3。施加形如式(2)且幅值為3 kN/m的簡(jiǎn)諧荷載，據(jù)式(19)～式(21)，只要已知阻尼比及荷載頻率，即可通過(guò)ΔD判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。由式(8)可知廣義自振頻率ω0=27.17 s-1，計(jì)算該頻率附近的控制變量及位移判別式大小，結(jié)果見(jiàn)表1。由表1看出，ω=29 s-1時(shí)ΔD<0，說(shuō)明扁拱在該頻率簡(jiǎn)諧荷載作用下會(huì)失穩(wěn)；ω小于或大于該頻率時(shí)ΔD<0，扁拱穩(wěn)定；結(jié)構(gòu)突變臨界點(diǎn)處于(28 s-1,29 s-1)及(29 s-1,30 s-1)兩區(qū)域。

表1　位移判別式判斷結(jié)果

分析ω在區(qū)間[20 s-1,36 s-1]時(shí)扁拱的突變情況與非線(xiàn)性響應(yīng)特性。據(jù)式(19)～式(21)所得ω-D曲線(xiàn)見(jiàn)圖3，可見(jiàn)頻率與位移關(guān)系呈非線(xiàn)性，頻率逐漸增大時(shí)位移達(dá)到最大值時(shí)減小，直接從a點(diǎn)突跳至b點(diǎn)，a→b之間的曲線(xiàn)段實(shí)際上是不可達(dá)狀態(tài)；反之，若頻率逐漸減小，位移會(huì)發(fā)生由小到大突變，即c→d，a，c分別為扁拱兩失穩(wěn)臨界點(diǎn)。

圖3　ω-D曲線(xiàn)Fig.3 ω-D curve

由于鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比為0.02，故在阻尼比不變條件下采用控制變量法改變扁拱跨度、矢高及荷載，該參數(shù)變化會(huì)引起ω0、β、f等改變從而導(dǎo)致判別式參數(shù)、大小改變，影響扁拱突變，見(jiàn)圖4～圖6。由3圖看出，扁拱的非線(xiàn)性響應(yīng)隨跨度、荷載增大而增強(qiáng)，隨矢高增大而減弱，矢跨比越小在簡(jiǎn)諧荷載作用下非線(xiàn)性特征越明顯，越易發(fā)生突變致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。

圖4　跨度對(duì)突變影響Fig.4 The influence of span to catastrophe

圖5　矢高對(duì)突變影響Fig.5 The influence of rise to catastrophe

圖6　荷載對(duì)突變影響Fig.6 The influence of load to catastrophe

2應(yīng)變能突變

2.1應(yīng)變能判別式建立

結(jié)構(gòu)位移突變時(shí)其能量必會(huì)發(fā)生突變。若將扁拱視為系統(tǒng)，可據(jù)其應(yīng)變能變化考察扁拱的穩(wěn)定性。

若直接建立應(yīng)變能Es與頻率參數(shù)υ關(guān)系的4次擬合多項(xiàng)式Es=a3υ4/4+a2υ3/3+a1υ2/2+a0υ(a3、a2、a1、a0為多項(xiàng)式系數(shù))，再正則化為尖點(diǎn)突變模型勢(shì)函數(shù)形式Es=x4/4+ax2/2+bx+c(x為υ的函數(shù)，為狀態(tài)變量，a、b、c為隨υ變化的控制變量)，則x即頻率參數(shù)的突變才會(huì)導(dǎo)致應(yīng)變能突變。而計(jì)算過(guò)程中頻率參數(shù)連續(xù)變化，表示系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)大小的應(yīng)變能不可能發(fā)生突變。突變模型的物理含義為控制變量連續(xù)變化時(shí)引起狀態(tài)變量突變，以應(yīng)變能作為系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)與實(shí)際物理含義相悖[13]，故應(yīng)將頻率參數(shù)作為控制變量，應(yīng)變能作為狀態(tài)變量，如位移突變判斷中，以連續(xù)變化頻率ω的函數(shù)a、b作為控制變量，以會(huì)發(fā)生突變的位移D的函數(shù)z作為狀態(tài)變量。

因此，考慮采用3次多項(xiàng)式擬合系統(tǒng)的平衡曲面，進(jìn)行移項(xiàng)積分獲得系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)，進(jìn)而對(duì)其正則化，再據(jù)突變特征值判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)Abaqus進(jìn)行數(shù)值模擬獲得系統(tǒng)在不同頻率下的應(yīng)變能Es，通過(guò)最小二乘法準(zhǔn)則進(jìn)行擬合，使其化為3次多項(xiàng)式形式，以應(yīng)變能為自變量、頻率參數(shù)為因變量(設(shè)頻率參數(shù)為υ，且υ=ω-20)。設(shè)該擬合多項(xiàng)式為

υ=a3Es3+a2Es2+a1Es+a0

(22)

式中：ai為多項(xiàng)式擬合系數(shù)。

移項(xiàng)并積分得

(23)

式中：C為常數(shù)項(xiàng)。

取系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)為

(24)

4次多項(xiàng)式(24)正則化為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式過(guò)程[14]。令Es=p-q，其中q=a2/3a3，代入式(24)得

V(Es)=b4p4+b2p2+b1p+b0

(25)

b1=-a3q3+a2q2-a1q+(a0-υ)

考慮b4>0情況，令

(26)

將式(26)代入式(25)，化為尖點(diǎn)突變模型勢(shì)函數(shù)的正則形式為

(27)

將式(27)對(duì)z′求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于零，得平衡曲面方程z′3+a′z′+b′=0，且應(yīng)變能突變判別式為ΔE=4a′3+27b′2，判別方式同位移判別式。

2.2應(yīng)變能突變分析

以上節(jié)算例為例分析、比較兩種判別方式差別。由有限元軟件Abaqus計(jì)算可知該扁拱的一階自振頻率ω1=26.98 s-1，與式(8)所得廣義自振頻率相差不大。使簡(jiǎn)諧荷載頻率ω從21 s-1開(kāi)始遞增，即頻率參數(shù)υ從1開(kāi)始遞增，通過(guò)數(shù)值模擬可得不同υ對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能。若是線(xiàn)性振動(dòng)則υ=υ1≈7(ω=ω1≈27 s-1)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)應(yīng)變能最大，但非線(xiàn)性振動(dòng)共振會(huì)發(fā)生偏移，由于扁拱呈“漸硬”彈簧特性，失穩(wěn)處在υ>υ1位置的應(yīng)變能會(huì)突然增大。υ-Es曲線(xiàn)關(guān)系見(jiàn)圖7。由圖7看出，從第7組數(shù)據(jù)開(kāi)始進(jìn)行3次多項(xiàng)式擬合。

圖7　應(yīng)變能的變化趨勢(shì)Fig.7 The change trend of strain energy

前8及13組數(shù)據(jù)擬合曲線(xiàn)見(jiàn)圖8?？梢?jiàn)對(duì)擬合曲線(xiàn)進(jìn)行積分獲得以4次多項(xiàng)式表達(dá)的勢(shì)函數(shù)，再正則化為式(27)形式，由判別式判斷結(jié)構(gòu)是否失穩(wěn)。結(jié)果見(jiàn)表2。由表2看出，突變位置在頻率為29 s-1附近區(qū)域，即頻率逐漸增大或減小、判別式ΔE由正到負(fù)穿越分叉集時(shí)能量突變。因尖點(diǎn)突變控制變量滿(mǎn)足條件，從而導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生突變，即狀態(tài)變量(應(yīng)變能)發(fā)生突跳，扁拱從失穩(wěn)前某平衡位置跳躍到失穩(wěn)后另一平衡位置。

圖8　前8及13組數(shù)據(jù)3次擬合曲線(xiàn)Fig.8 Three fitting curves of the first 8 and 13 dates

ωa'b'ΔE狀態(tài)2610.584.600>0穩(wěn)定279.1583.478>0穩(wěn)定289.454-5.747>0穩(wěn)定29-6.154-5.051<0失穩(wěn)30-6.317-16.65>0穩(wěn)定

3兩種判別方式比較及可行性

比較表1、表2結(jié)果知，扁拱失穩(wěn)的簡(jiǎn)諧荷載頻率均為29 s-1，即采用位移、應(yīng)變能判別式判斷結(jié)果幾乎相同。應(yīng)變能大小可由有限元分析獲得，因此以應(yīng)變能為判據(jù)無(wú)需獲知扁拱結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性振動(dòng)方程，但擬合多項(xiàng)式及正則化過(guò)程較繁瑣，若只需確定結(jié)構(gòu)在某頻率下是否突變，用應(yīng)變能突變判斷方式較簡(jiǎn)便；若了解結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性振動(dòng)特性及突變范圍，可據(jù)位移與頻率的突變關(guān)系。

圖9　理論計(jì)算與數(shù)值模擬的ω-D曲線(xiàn)Fig.9 ω-D curves of theoretical calculation and numerical simulation

由Abaqus計(jì)算[20 s-1,36 s-1]區(qū)間內(nèi)各頻率位移值，所得ω-D曲線(xiàn)見(jiàn)圖9。由圖9看出，有限元數(shù)值模擬雖無(wú)法獲得位移突變結(jié)論，但頻率在29 s-1附近時(shí)位移有顯著增大或減小，與理論分析結(jié)果整體趨勢(shì)一致。位移在荷載頻率大于一階固有頻率(廣義自振頻率)時(shí)達(dá)最大值，說(shuō)明位移突變的判斷方式具有可行性；應(yīng)變能及位移突變的判斷結(jié)果相似，亦具有可行性。數(shù)值模擬可用于分析一般形式荷載、拱軸線(xiàn)及位移模式的扁拱。

4結(jié)論

(1)利用突變理論分析扁拱受簡(jiǎn)諧荷載作用的非線(xiàn)性穩(wěn)定與突變，分別由位移、應(yīng)變能與荷載頻率尖點(diǎn)突變模型分析比較。在某些條件下荷載頻率大于(廣義)自振頻率時(shí)扁拱會(huì)發(fā)生突變。

(2)扁拱的動(dòng)力響應(yīng)為非線(xiàn)性的，且程度隨跨度、荷載增大及矢高減小而加強(qiáng)。非線(xiàn)性程度較明顯、簡(jiǎn)諧荷載頻率達(dá)到一定值時(shí)位移或應(yīng)變能突變，會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定產(chǎn)生較大影響，可能因突跳發(fā)生破壞。

(3)可利用突變理論分析扁拱的非線(xiàn)性響應(yīng)，解釋面內(nèi)失穩(wěn)的突變現(xiàn)象。位移、應(yīng)變能突變均可判斷扁拱是否失穩(wěn)，兩種方法各有優(yōu)勢(shì)及不足，但均具有可行性，可為實(shí)際工程提供理論參考。

參 考 文 獻(xiàn)

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Nonlinear in-plane stability and catastrophe analysis of shallow arches

ZHUXiao-lei,SUNDun-ben

(School of Civil Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China)

Abstract:The catastrophe properties of shallow arches under harmonic load were analyzed by adopting the catastrophe criteria of displacement and strain energy respectively. A cusp catastrophe model that expresses the relationship between displacement and frequency was obtained from the nonlinear vibration equation by the harmonic balance method and the nonlinear responses of shallow arches were analyzed according to the criterion of displacement catastrophe. The strain energy catastrophe guideline of instability was obtained according to catastrophe theory by using the system energy principle and finite element software. The differences between the results by the two catastrophe criteria were discussed. The results show that the displacement or strain energy of shallow arches both can have a sudden change. Span, rise and load have impact on catastrophe. The results are almost the same, calculated according to either of the two catastrophe criteria, each has advantages and disadvantages.

Key words:shallow arch; catastrophe theory; stability; displacement catastrophe; strain energy catastrophe

中圖分類(lèi)號(hào):O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.008

通信作者孫敦本 男，高級(jí)工程師，1964年9月生

收稿日期：2014-10-28修改稿收到日期：2015-04-03

基金項(xiàng)目：江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

第一作者 朱曉蕾 女，碩士生，1990年8月生