獨(dú)立學(xué)院《線性代數(shù)》課程體系改革與實(shí)踐

賀麗娟　張鍇

摘 要： 本文從教學(xué)主線、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法三個(gè)方面闡述了文華學(xué)院深化個(gè)性化教育理念，積極推進(jìn)《線性代數(shù)》課程體系改革的思路和方法。

關(guān)鍵詞： 獨(dú)立學(xué)院 《線性代數(shù)》 課程改革

《線性代數(shù)》是高等院校理工類(lèi)、經(jīng)管類(lèi)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，也是研究生入學(xué)考試的一門(mén)必考課程，該課程不僅為后繼課程的學(xué)習(xí)提供了必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、抽象及分析、綜合與推理能力等方面具有重要的作用，它為工程及社會(huì)實(shí)踐提供了基本的數(shù)學(xué)手段和方法，是一門(mén)應(yīng)用極廣泛的大學(xué)必修課程。

獨(dú)立學(xué)院作為三本院校，由于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異性較大，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、自覺(jué)性不足，導(dǎo)致線性代數(shù)教學(xué)存在“教師難教、學(xué)生難學(xué)”的窘境：一方面，《線性代數(shù)》教學(xué)時(shí)數(shù)少（32—40課時(shí)）、內(nèi)容抽象，使得教師不得不增加課堂容量，忙于應(yīng)付教學(xué)，缺少對(duì)教學(xué)方法的研究，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)普遍感到抽象、枯燥，喪失學(xué)習(xí)興趣。另一方面，理論性和實(shí)踐性的失調(diào)，導(dǎo)致教學(xué)中過(guò)于注重該課程的內(nèi)容和體系的理論性、邏輯性和嚴(yán)密性，淡化為專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的服務(wù)意識(shí)，缺乏與本專(zhuān)業(yè)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，造成學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的淡薄。

針對(duì)以上難題，不斷有老師對(duì)《線性代數(shù)》教學(xué)進(jìn)行探索，文華學(xué)院的教學(xué)改革就是一個(gè)很好的例子。其《大學(xué)數(shù)學(xué)二階段教學(xué)實(shí)踐》獲得湖北省教學(xué)成果二等獎(jiǎng)，它的獲獎(jiǎng)表明獨(dú)立學(xué)院對(duì)數(shù)學(xué)課程改革邁出堅(jiān)實(shí)的一步，這是對(duì)獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)改革的肯定和支持。

筆者結(jié)合《線性代數(shù)》課程特點(diǎn)及自身的教學(xué)實(shí)踐，試圖在獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)背景下，談?wù)劇毒€性代數(shù)》的課程體系改革與實(shí)踐方法。

1.《線性代數(shù)》教學(xué)主線的確定

以華中科技大學(xué)版《線性代數(shù)》（第二版）[1]教材為例。

《線性代數(shù)》這門(mén)課程的起源是以矩陣、行列式作為工具，求解線性方程組?？v觀《線性代數(shù)》各章內(nèi)容，它們都涉及線性方程組：第一章由二元、三元線性方程組引入行列式的概念，最終介紹Cramer法則求解線性方程組；第二章、第三章中求解矩陣方程及方程組；第四章中向量的線性相關(guān)、線性表示實(shí)質(zhì)就是研究齊次線性方程組和非齊次線性方程組；第五章特征值特征向量則是研究特殊的齊次線性方程組。不難發(fā)現(xiàn)，《線性代數(shù)》的基本問(wèn)題或者說(shuō)直接研究對(duì)象就是線性方程組，圍繞線性方程組這個(gè)核心概念，以線性方程組的求解作為重點(diǎn)，將其理論與方法分散于各章，依次引出行列式、矩陣、向量等的概念與理論，并通過(guò)方程組的提出、求解、應(yīng)用，把各相關(guān)內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)。因而以線性方程組為主線建立線性代數(shù)教學(xué)體系非常自然。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，這種體系便于在教學(xué)中實(shí)施問(wèn)題式、探究式的教學(xué)方法。

2.服務(wù)于教學(xué)主線的內(nèi)容安排

《線性代數(shù)》教學(xué)內(nèi)容經(jīng)過(guò)多年的錘煉，已成經(jīng)典，要進(jìn)行大的改動(dòng)很難。但在部分內(nèi)容的安排和處理上，可以靈活的。以下是筆者對(duì)《線性代數(shù)》教材中部分內(nèi)容不同處理方法的認(rèn)識(shí)和感受。

2.1行列式概念的引入

行列式是《線性代數(shù)》重要的概念之一，一般都安排在教材的第一章，是學(xué)生接觸到的第一個(gè)概念，因此，對(duì)這一概念的理解掌握十分重要。首先通過(guò)消元法解二、三元線性方程組，給出二、三階行列式的定義，接下來(lái)直接介紹行列式的按行（列）展開(kāi)法則，以此作為n階行列式的概念。這樣處理省略了在后繼內(nèi)容中很少使用的全排列及逆序這一部分內(nèi)容，使用行列式的按行（列）展開(kāi)法則，揭示高階行列式與低階行列式之間的關(guān)系，這樣處理顯得更直接，實(shí)踐性更強(qiáng)。

2.2線性方程組部分

線性方程組有解的條件、求解的方法及其解的結(jié)構(gòu)理論是《線性代數(shù)》的重要內(nèi)容之一。我們把線性方程組作為教學(xué)主線，將其理論與方法分散于各章。在矩陣部分給出方程組的矩陣表示，并通過(guò)消元法求解線性方程組的實(shí)質(zhì)給出矩陣的初等變換，再通過(guò)矩陣的初等行變換求解線性解方程組。在介紹了矩陣秩的概念之后，結(jié)合求解方法給出非齊次線性方程組有解及齊次線性方程組有非零解的條件，最后在討論向量組的線性相關(guān)性之后，討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論。從向量組的線性相關(guān)性角度，討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論。這種處理方法的優(yōu)點(diǎn)在于，利用線性方程組把整本教材內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，渾然一體，當(dāng)然，在所有內(nèi)容講完之后，給學(xué)生做個(gè)小結(jié)，即把所有關(guān)于線性方程組的內(nèi)容完整地展現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生對(duì)線性方程組內(nèi)容有更清晰的整體認(rèn)識(shí)，這樣效果會(huì)好得多。

2.3矩陣的秩與向量組的秩

向量組的線性相關(guān)性這一章集中了大量的定義、命題、定理及復(fù)雜的理論推導(dǎo)，而秩是《線性代數(shù)》中最抽象最難理解的概念之一。向量組的秩一般都是在介紹了向量組的線性相關(guān)性之后，通過(guò)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)定義的。而對(duì)于矩陣的秩，是通過(guò)矩陣的最高階非零子式的階數(shù)定義，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)由于理論性太強(qiáng)，深感難度。事實(shí)上，矩陣是由向量組構(gòu)成，理論表明矩陣的秩等于行向量組的秩及列向量組的秩。所以，從向量組的秩入手順便復(fù)習(xí)矩陣的秩將大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。于是，我們加入了一個(gè)關(guān)于矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容，并在此總結(jié)兩者之間的關(guān)系，從而降低了初學(xué)者的學(xué)習(xí)難度，取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果。

3.《線性代數(shù)》教學(xué)方法的轉(zhuǎn)變

要全面提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量，不但要對(duì)課程體系和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化組合，還必須對(duì)教學(xué)理念、教學(xué)方法進(jìn)行更新和完善，以下是筆者在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)于《線性代數(shù)》教學(xué)方法的體會(huì)。

3.1數(shù)形結(jié)合

由于本校的線性代數(shù)課程安排在大學(xué)一年級(jí)下學(xué)期，《微積分》[2]中剛學(xué)習(xí)完空間解析幾何，其為線性代數(shù)中許多概念和理論提供了幾何背景和幾何解釋。

例如，線性代數(shù)中二階行列式D=a a a a 在平面內(nèi)表示以 =（a a ） ， =（a a ） 為鄰邊的平行四邊形的面積 ：若這個(gè)平行四邊形是由向量 沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到 而得到的，則面積取正值；若這個(gè)平行四邊形是由向量 沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到 而得到的，則面積取負(fù)值；類(lèi)似的，三階行列式是它的三個(gè)向量在空間上張成的平行六面體的有向體積。同時(shí)啟發(fā)我們可以把n階行列式定義為n個(gè)n維平行多面體的有向面積。

同樣的，三元方程ax+by+cz+d=0在空間直角坐標(biāo)系中表示一個(gè)空間平面。設(shè)有三元線性方程組a x +a x +a x =0a x +a x +a x =0a x +a x +a x =0，該方程組的每個(gè)方程在空間中表示一個(gè)平面，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)三個(gè)平面的位置關(guān)系，然后在老師的引導(dǎo)下，總結(jié)出三個(gè)平面之間的位置關(guān)系及方程組解的情況與系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩之間的關(guān)系。

在教學(xué)中，將空間解析幾何的內(nèi)容滲透到《線性代數(shù)》中，進(jìn)行幾何直觀教學(xué)，可以幫助學(xué)生降低理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的難度，同時(shí)幫助學(xué)生了解一些相關(guān)背景，使學(xué)生在數(shù)與形的統(tǒng)一中體會(huì)到概念、性質(zhì)、定理的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用定理、概念分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3.2應(yīng)用背景中的案例教學(xué)

《線性代數(shù)》在不同的專(zhuān)業(yè)都有非常廣泛的應(yīng)用，如何將應(yīng)用實(shí)例引入教學(xué)中，讓學(xué)生看到《線性代數(shù)》的實(shí)用性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)和工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力；如何恰到好處地結(jié)合一些實(shí)際例子讓學(xué)生明白抽象概念的實(shí)際意義，進(jìn)而加深對(duì)理論知識(shí)和方法的掌握和理解是教師必須思考的重要問(wèn)題。不妨結(jié)合學(xué)生的專(zhuān)業(yè)背景，引入實(shí)例教學(xué)，讓學(xué)生了解該課程的作用和意義。比如對(duì)通信專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，可以介紹《線性代數(shù)》在保密通信方面的簡(jiǎn)單例子；對(duì)經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，可以介紹如何利用矩陣刻畫(huà)投入產(chǎn)出表。

例1：信息加密問(wèn)題。

在英文消息的傳遞中，有一種對(duì)消息進(jìn)行保密的方法，其原理是將消息中不同的英文字母分別用不同的整數(shù)替代，然后傳遞這組整數(shù)，接收方根據(jù)約定將該整數(shù)組還原為消息。但是，這種方法很容易被破譯，因?yàn)樵谝粋€(gè)很長(zhǎng)的消息中，根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率，可以大致估計(jì)它所代表的字母。所以實(shí)際應(yīng)用中往往用行列式等于±1的整數(shù)矩陣乘以說(shuō)得的整數(shù)組，實(shí)現(xiàn)對(duì)這個(gè)消息的進(jìn)一步加密。

例如一個(gè)消息“SENDMONEY”編碼后可用數(shù)字[19，5，14，4，13，15，14，5，25]表示，其中有相同的數(shù)字14，如果直接發(fā)出編碼，就很容易被人破譯。若用行列式為的整數(shù)矩陣A實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步加密，就會(huì)大大增加破譯難度。不妨設(shè)變換矩陣

則所發(fā)出的消息為[81，62，38，77，73，32，93，79，44]，原本相同數(shù)字14在變換后變成了不同的數(shù)字，增加了破譯難度，而接收方只要將收到的矩陣乘以A ，就可以恢復(fù)原來(lái)的消息。

例2：利潤(rùn)問(wèn)題[4]。

企業(yè)經(jīng)營(yíng)幾類(lèi)商品，由于有些費(fèi)用難以劃分，因此不能確定每種商品的利潤(rùn)率，這種情況可以通過(guò)不同時(shí)期（或不同門(mén)市部）的總利潤(rùn)，列出方程組求解。

例如：某商店經(jīng)營(yíng)四類(lèi)商品，每個(gè)月的銷(xiāo)售額及利潤(rùn)表如下表所示，試求每類(lèi)商品的利潤(rùn)率。

將應(yīng)用型的實(shí)例滲入《線性代數(shù)》教學(xué)中，既可以豐富教學(xué)內(nèi)容，又可以讓學(xué)生了解線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)到應(yīng)用線性代數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的方法和過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到成功解決問(wèn)題的快樂(lè)，極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的積極性。

4.結(jié)語(yǔ)

獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)的教學(xué)改革是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，要從學(xué)校、教師、學(xué)生三方面出發(fā)，以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為主要目的，構(gòu)建旨在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式，積極探索設(shè)計(jì)適合獨(dú)立學(xué)院實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。改革需要?jiǎng)?chuàng)新，創(chuàng)新推動(dòng)發(fā)展，獨(dú)立學(xué)院《線性代數(shù)》的教學(xué)改革也是如此，我們要努力創(chuàng)新，在實(shí)踐中不斷探索與摸索適合獨(dú)立學(xué)院實(shí)際的《線性代數(shù)》教學(xué)改革之路。

參考文獻(xiàn)：

[1]林升旭，梅家斌.線性代數(shù)教程[M].華中科技大學(xué)出版社，2009.

[2]華中科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)課題組.微積分[M].華中科技大學(xué)出版社，2011.

[3]吳贛昌.線性代數(shù)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

[4]張瑩華.線性代數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用與作用[J].黑龍江科技信息，2011（30）.