如何挖掘課本習(xí)題的潛在功能

吳偉明

摘 要：：在新課程不斷普及的過程中，高中數(shù)學(xué)教師所面臨的任務(wù)也更加艱巨，為了能夠幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，開闊思維，輕松應(yīng)對考試，教師應(yīng)該從多個(gè)角度進(jìn)行教學(xué)。

關(guān)鍵詞：挖掘課本習(xí)題；潛在功能；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）06-245-01

對于高中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是一門非常關(guān)鍵的學(xué)科，它不僅僅是基礎(chǔ)學(xué)科，同時(shí)也是開闊學(xué)生思維、實(shí)現(xiàn)其他各學(xué)科聯(lián)系、貫通的工具學(xué)科，學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)生的思維會(huì)更加活躍，邏輯感會(huì)更強(qiáng)，進(jìn)而學(xué)生分析問題的能力以及理解能力都會(huì)提升，對于地理、政治以及歷史這些學(xué)科之間的聯(lián)系也會(huì)理解得更加深刻，從而在解題過程中也會(huì)游刃有余。這也是為什么很多數(shù)學(xué)學(xué)家，他們不僅僅是數(shù)學(xué)這一門學(xué)科有所成就，往往在化學(xué)、物理甚至是文學(xué)方面成就也很卓著的原因。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人們思維能力的學(xué)科，因此高中教師在進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行發(fā)散思維，從采用多種途徑進(jìn)行問題分析與挖掘，本文從課本習(xí)題潛的功能挖掘入手，分析如果利用課本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，希望能夠?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教師這提供一些參考和幫助。

以此練習(xí)題：求過點(diǎn)P（4，3），同時(shí)截距在兩坐標(biāo)軸上相等的直線方程。為例子進(jìn)行幾點(diǎn)討論。

一、引導(dǎo)學(xué)生多角度探討問題的解法

引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行分析的思考，在數(shù)學(xué)練習(xí)中非常重要，數(shù)學(xué)習(xí)題的解題方法往往不只一種，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生這樣的思維方法，這樣在做題的時(shí)候，一種方法行不通，同學(xué)們還以從另外一個(gè)角度入手，這大大增加了成功幾率，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生分析問題的能力。

分析1：本練習(xí)題中的直線在兩坐標(biāo)軸上有截距，那么可知，此直線與坐標(biāo)軸不是相互垂直的關(guān)系，這個(gè)時(shí)候斜率存在，可設(shè)為k，同時(shí)k≠0.那么該直線方程就可表示為：

y-3=k（x-4）

令x=0，那么y=-4k+3；令y=0，那么x=4-3/k

由題設(shè)可得-4k+3=4-3/k，那么k=-1或k=1/2

由此可知，該直線方程為y-3=-1（x-4）或y-3=1/2（x-4）

也就是x+y-7=0，x+2y+2=0.

分析2：從題意開設(shè)在兩條直線x，y上的截距為a，如果a為0，那么求直線必然經(jīng)過點(diǎn)（0，0），同時(shí)也會(huì)經(jīng)過點(diǎn)（4，3），那么直線方程可表示為：

y=3x/4或3x-4y=0.

那么如果a≠0，那么所求直線可表示為：

x/a+y/a=1，而題意可知，該直線經(jīng)過點(diǎn)（4，3），將其帶入方程x/a+y/a=1中，可得：

a=7，因此，直線方程表示為：x+y-7=0，x+2y+2=0.

二、改變問題的條件，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維

數(shù)學(xué)命題中條件與結(jié)論是不可分割的，教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)膶︻}目的條件進(jìn)行變化，合理的進(jìn)行知識的拓展，由一道學(xué)生熟悉的題目開始，加上一個(gè)條件或者多個(gè)條件，使其變成一個(gè)新的命題，然后從中找到規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的思維拓展能力、邏輯思維能力以及發(fā)散思維能力。

如果將本題目中的“截距相等”，改為“與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的面積為32”，那么就可得出以下命題：

求過點(diǎn)（4，3），并且與兩坐標(biāo)軸正半軸所圍成的三角形面積為32的直線l的方程。

分析1：由題目可設(shè)直線l的方程式為x/a+y/b=1（a>0，b>0），又因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)（4，3），因此可得：

4/a+3/b=1，也就是3a+4b=ab①

又題意可知三角形面積32，根據(jù)三角形面積公式S=1/2a×h可得：

1/2ab=32，ab=64②

所以，又①，②可求得a=16，b=4.

因此，直線克表示為x/16+y/4=1，也就是x+4y-16=0.

分析2：設(shè)所求直線l的方程表示為y-3=k（x-4），其中K<0，該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A=（4-3/k，0），B（0，3-4k），題意可知三角形面積為32。

所以：S=1/2a×h=1/2∣4-3/k∣·∣3-4k∣=32，也就是（4k-3）2=-64k.

又因?yàn)槠渲蠯<0，所以，k=-1/4.

所求直線l方程可表示為x+4y-16=0.

三、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題的共性，能夠舉一反三

講條件中之間所經(jīng)過的點(diǎn)（4，3）改為（3，2），并且將“Y軸”改成“直線Y=4x”，那么這樣一來，就有了新的命題已知點(diǎn)P（3，2），直線l1：y=4x，直線l過點(diǎn)P且與直線l1交于第一象限內(nèi)點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)M，求使ΔOQM面積最小的直線l的方程，經(jīng)過分析采用分割發(fā)較為簡單。

如圖1，作BP∥x軸交直線l1：y=4x于點(diǎn)B，作PA∥OQ交x軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)B（2，2），∣BP∣=∣OA∣=1.因此平行四邊形OAPB的面積=1×2=2（定值）.設(shè)點(diǎn)Q到BP的距離為m，∣AM∣=2.

圖一

所以SΔOQM=2+1/2（m+2n）≧2+√2mn=4.當(dāng)且僅當(dāng)m=2n時(shí)等號成立，此時(shí)m=2，n=1，則M（4，0），所求直線方程為2x+y-8=0.

由此可見，一道簡單的數(shù)學(xué)課本練習(xí)題，可以引伸出很多解法，教師應(yīng)該靈活運(yùn)用這些課本習(xí)題，從課本出發(fā)，訓(xùn)練學(xué)生的解題能力以及思維能力，這樣才能夠真正打好基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

本文一課本上一道數(shù)學(xué)聯(lián)系為例，對如何挖掘數(shù)學(xué)練習(xí)題的潛在價(jià)值進(jìn)行了分析，礙于篇幅有限，只作了三個(gè)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該根據(jù)課堂實(shí)際情況以及自己的經(jīng)驗(yàn)，靈活的運(yùn)用課本習(xí)題，隨時(shí)進(jìn)行變化，從不同角度訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，解題能力。提高學(xué)生對于學(xué)生學(xué)科興趣，提高學(xué)生成績。

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