在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)：目標(biāo)、路徑和成效

朱長江++徐章韜

摘 要：根據(jù)數(shù)學(xué)的本性，辨證認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的抽象性，理清數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程中認(rèn)識(shí)視角的變遷，注重領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，采用問題驅(qū)動(dòng)的模式展開教學(xué)，有利于為學(xué)生尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和認(rèn)知方式的優(yōu)化。這還是一個(gè)多贏的舉措，有助于名師的成長、課程群的建設(shè)和人才的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知的固著點(diǎn)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；認(rèn)知方式；人才培養(yǎng)

在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中也要加強(qiáng)教學(xué)研究。人們常說，數(shù)學(xué)是思維的體操，能進(jìn)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的人都是聰明人?？墒沁@種論斷正在不斷地被現(xiàn)實(shí)無情地粉碎。當(dāng)數(shù)學(xué)系的學(xué)生學(xué)到“實(shí)變函數(shù)”、“拓?fù)鋵W(xué)”和“泛函分析”等比較現(xiàn)代、抽象的學(xué)科時(shí)，數(shù)學(xué)像一把篩子，把越來越多的同學(xué)“過濾”掉了；須知這些學(xué)生都是對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣，有一定數(shù)學(xué)功底的學(xué)生。由于數(shù)學(xué)的逐級(jí)抽象性，由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)的巨大分野，這些原本是數(shù)學(xué)“粉絲”的同學(xué)掉隊(duì)落伍，讓人心痛。在大學(xué)數(shù)學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)研究大有可為，如通過偏微分方程中一個(gè)實(shí)例的教學(xué)研究[1]，可取得良好的教學(xué)效果。為了提高大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，需要有理念、有目標(biāo)、有方法、有步驟地開展教學(xué)研究活動(dòng)。也有文獻(xiàn)表明以偏微分方程為切入口，進(jìn)行實(shí)踐，能取得一定的效果[2-4]。本研究以上述工作為基礎(chǔ)，探索如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和認(rèn)知方式的優(yōu)化，為人才培養(yǎng)做出貢獻(xiàn)。

一、目標(biāo)：為學(xué)生搭建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知方式

大學(xué)之道不唯在傳授知識(shí)，更在于塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。按美國心理學(xué)家奧蘇伯爾的觀點(diǎn)，“智”是由學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)成的。智育的目標(biāo)就是塑造學(xué)生的良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)。良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在縱向上自上而下逐漸分化，在橫向上融會(huì)貫通[5]。認(rèn)知結(jié)構(gòu)由知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化而來，要形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，首要的是理解大學(xué)數(shù)學(xué)的課程知識(shí)結(jié)構(gòu)。大學(xué)數(shù)學(xué)中，純數(shù)學(xué)的主干課程大致可以分為分析類、代數(shù)類和幾何類等三大類課程[6]。同一類課程的思維方式，基本上是類似的。以分析類課程為例，無不以“數(shù)學(xué)分析”為基礎(chǔ)。如，“復(fù)變函數(shù)”是“數(shù)學(xué)分析”在實(shí)數(shù)域上的推廣，“實(shí)變函數(shù)”是在研究病態(tài)函數(shù)的過程中逐步精致化而形成的，是對(duì)“數(shù)學(xué)分析”思想和方法的提煉和總結(jié)而成。不同類課程的思維方式可以相互融合，如，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)入門基礎(chǔ)的“泛函分析”把古典分析、幾何、代數(shù)融為一體，研究無窮維空間上的函數(shù)、算子和極限理論。弄清楚大學(xué)數(shù)學(xué)的課程知識(shí)結(jié)構(gòu)之后，就為尋找認(rèn)知的固定點(diǎn)打下了良好的基礎(chǔ)。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更要講究研究型教學(xué)，幫學(xué)生形成良好的認(rèn)知方式。研究和教學(xué)是兩種旨趣不同的活動(dòng)。研究的目標(biāo)指向未知領(lǐng)域，旨在擴(kuò)展人們對(duì)未知領(lǐng)域的認(rèn)識(shí)，最好能達(dá)到控制、改變未知世界的程度。研究由于目標(biāo)不明，在無路可走的荊棘處開辟一條前人沒有走過的路，是相當(dāng)困難的。教學(xué)的目標(biāo)之一是傳承前人的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，這是一種有著明確目的的教學(xué)行為。由于傳授的內(nèi)容是已知的，故被一般人認(rèn)為教學(xué)不如研究重要，不值得花大力研究。當(dāng)我們把學(xué)生的頭腦當(dāng)作有待填充的箱子時(shí)，發(fā)現(xiàn)填得越多，學(xué)生的頭腦越是轉(zhuǎn)不動(dòng)了。因此，對(duì)教學(xué)要轉(zhuǎn)變認(rèn)識(shí)。教學(xué)的目的之一是在傳承前人的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的過程中，把前人的研究經(jīng)驗(yàn)、心得以“演義”的方式傳遞后人，為學(xué)生塑造良好的認(rèn)知方式。大學(xué)生不是知識(shí)的消費(fèi)者，而應(yīng)當(dāng)成為知識(shí)的開拓者。因此，教學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)是盡量擬合真實(shí)的研究過程，讓大學(xué)生獲得做研究的一般活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終學(xué)會(huì)做研究。雖然學(xué)會(huì)做研究這樣的目標(biāo)要求是高了，不可能每個(gè)人都成為數(shù)學(xué)家，會(huì)做研究，但“取法乎上，得法其中”，如果沒有一個(gè)較高的目標(biāo)，最后的結(jié)果可能更低。這正如高爾基所說：一個(gè)人的追求越高，他的才力發(fā)展得越快。目標(biāo)具有激勵(lì)、定向、指導(dǎo)和調(diào)控作用，能最大限度地推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，從而不斷革新認(rèn)知方式。

人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不是一個(gè)封閉的系統(tǒng)，是一個(gè)不斷發(fā)展的系統(tǒng)。在良好的認(rèn)知方式的推動(dòng)下，大學(xué)生最終能學(xué)會(huì)不斷地建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這就是俗語所說的“授人以魚，不如授人以漁”。

二、路徑：依據(jù)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)而定

如何尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)，涉及“如何”的問題，這是一個(gè)技術(shù)理論的問題，這就需要既講技術(shù)性的問題，又要從理論層面進(jìn)行闡述。如何尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)，要依據(jù)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，然后采取適當(dāng)?shù)呐e措。

對(duì)于淺一點(diǎn)的內(nèi)容而言，教師加強(qiáng)教學(xué)技能方面的修養(yǎng)，可能更有助于提高教學(xué)效果，但對(duì)于內(nèi)容難度越來越高的學(xué)科來說，可能更要注重在吃透學(xué)科本質(zhì)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生對(duì)教育教學(xué)上的見解，依據(jù)學(xué)科的本性特征進(jìn)行教學(xué)。學(xué)科教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)模型通常認(rèn)為，教師的學(xué)科知識(shí)本身不是第一位的，它不具有教學(xué)法功能，第一位的是教師對(duì)內(nèi)容的處理、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的合理組織，以及教師與學(xué)生之間相互關(guān)系的合理把握。這種認(rèn)識(shí)可能適合內(nèi)容難度不深的學(xué)段的教學(xué)，適合于常規(guī)課堂的教學(xué)，但不一定適合研究性教學(xué)。面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)為，學(xué)科知識(shí)本身具有教學(xué)法的維度，吃透學(xué)科知識(shí)，也能產(chǎn)生教育教學(xué)上的見解[7]。

辨證認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的抽象性。前蘇聯(lián)A.D.亞歷山大洛夫的名著《數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義》指出數(shù)學(xué)具有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性，這些觀點(diǎn)已廣為人們接受。對(duì)抽象性而言，任何科學(xué)都具有抽象性，不僅僅是數(shù)學(xué)才具有抽象性，而是數(shù)學(xué)有高度的抽象性，而且這種抽象性具逐級(jí)抽象的特點(diǎn)。任何一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，在它形成的過程中，卻往往以大量的對(duì)象作為基礎(chǔ)，或者以一些具體的抽象概念為基礎(chǔ)。這其中飽含教學(xué)法，在教概念時(shí)，一定要找到概念形成或概念賴以棲居的表象，換言之，具有心理運(yùn)算能力，能把抽象的概念看成是較不抽象的概念，這就為抽象概念找到了認(rèn)知的固著點(diǎn)。例如，在“實(shí)變函數(shù)”的開篇之初有一個(gè)集列的上極限、下極限的概念，學(xué)生對(duì)這個(gè)概念很難理解，同時(shí)這個(gè)概念也是“實(shí)變函數(shù)”不可回避的基本概念。要理解這個(gè)抽象概念，就要把這個(gè)抽象概念固著在一個(gè)較不抽象的概念上，可以把集合列的上、下極限看成或想象成數(shù)列的上、下極限，把數(shù)列的上、下極限的內(nèi)涵、定義方式弄清楚了，將有助于集合列的上、下極限的理解。這就是充分利用數(shù)學(xué)逐級(jí)抽象的特點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)的概念的相對(duì)抽象性來進(jìn)行概念的認(rèn)知理解。

理清數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程中認(rèn)識(shí)視角的變遷。數(shù)學(xué)的發(fā)展從來都不是一帆風(fēng)順的，數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)就是這些狀況的生動(dòng)寫照。歷史沉淀在時(shí)間的長河里了，當(dāng)后人鉤古沉思時(shí)，往往對(duì)一些奇聞軼事感興趣，而其中引起觀念變遷的認(rèn)識(shí)視角的變化卻沒有引起足夠的重視。例如，把歐氏幾何拉下神壇的非歐幾何，其根本出發(fā)點(diǎn)就與歐幾里得幾何迥然不同。歐幾里得說，過直線外一點(diǎn)只能作一條平行線；俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基卻說，過直線外一點(diǎn)能作多條平行線。當(dāng)這種觀點(diǎn)面世時(shí)，并沒有給羅巴切夫斯基帶來學(xué)術(shù)上的榮譽(yù)，而是各種打擊。就連有“數(shù)學(xué)王子”之稱的德國數(shù)學(xué)家高斯，雖然認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)視角的變化，對(duì)幾何學(xué)變革的重要意義，但囿于傳統(tǒng)的壓力，高斯秘而不宣。這種由于認(rèn)識(shí)視角的變化而引起數(shù)學(xué)發(fā)生革命性變化的例子，比比皆是，如從局部微分幾何到整體微分幾何的嬗變。對(duì)具體概念的學(xué)習(xí)，也要注意概念在發(fā)展過程中認(rèn)識(shí)視角的變化。如，極限是數(shù)學(xué)中最重要一個(gè)基本概念，可以極端一點(diǎn)說，沒有極限就沒有微積分，就沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)。還是以上、下極限為例，數(shù)列極限有鮮明的幾何意義，是從距離逼近的角度定義用一列變動(dòng)的數(shù)來刻畫一個(gè)未知的常數(shù)；但是到了上、下極限，認(rèn)識(shí)視角就發(fā)生了很大的變化，是從集合論的角度定義上、下極限的。這種做法的好處是既保留了距離逼近視角的一些好的性質(zhì)，同時(shí)又舍棄了基于實(shí)數(shù)直線的幾何結(jié)構(gòu)，便于極限概念的進(jìn)一步推廣。這就是定義集合列上、下極限的切入點(diǎn)。

注重領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，用多元表征揭示數(shù)學(xué)理論的實(shí)質(zhì)。數(shù)學(xué)思想并非數(shù)學(xué)理論，兩者是有區(qū)別的，我們所說的思想是指數(shù)學(xué)的科學(xué)思維方法，這種思維方法也許并不一定需要通過抽象的理論來表達(dá)[8]。同一種數(shù)學(xué)思想可以用不同的數(shù)學(xué)語言、不同的數(shù)學(xué)理論來表達(dá)，不同的學(xué)生可以有不同的選擇。這就是多元表征理論的觀點(diǎn)，多元表征理論的實(shí)質(zhì)就是對(duì)信息進(jìn)行多角度、多視角的解釋，使學(xué)生建立新舊知識(shí)固著點(diǎn)的同時(shí)，便于調(diào)用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息使其對(duì)新信息進(jìn)行加工從而建構(gòu)知識(shí)。這特別適合于抽象理論的教學(xué)。如，從子列收斂的角度而言，數(shù)列的上極限是它一切收斂子列的極限值所成的集合中之最大值；從聚點(diǎn)的角度而言，數(shù)列的上極限是其最大的聚點(diǎn)；從確界的角度而言，數(shù)列的上極限是一個(gè)用上確界定義的遞減數(shù)列的下確界。集合的上、下極限也可以從類似角度用不同的等價(jià)語言來描述。雖然符號(hào)化、形式化是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)之一，但生動(dòng)活潑思想不能湮沒在形式主義的海洋里。林群院士指出，要?jiǎng)冮_形式化的外衣，找出“微元”[9]。其實(shí)，上下極限的定義法充分體現(xiàn)了單調(diào)性這一核心概念在不同數(shù)學(xué)情境中的運(yùn)用。明白了這點(diǎn)，也就是把握了上下極限的精髓所在。要把數(shù)學(xué)的本質(zhì)教給學(xué)生，不要將數(shù)學(xué)弄得玄而又玄，要教會(huì)學(xué)生科學(xué)的思維方法，要讓數(shù)學(xué)“原形畢露”，離生活、常識(shí)近一些，使大眾也能看得見，想得出。數(shù)學(xué)也是講道理的、平易近人的和常識(shí)性的[10]。用多元表征理論揭示數(shù)學(xué)理論的實(shí)質(zhì)是從學(xué)習(xí)技術(shù)的層面落實(shí)“因材施教”的教學(xué)原則，也符合數(shù)學(xué)學(xué)科不斷演進(jìn)的特點(diǎn)。

采用問題驅(qū)動(dòng)的模式展開教學(xué)。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說，問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是有一套提出問題和解決問題的方法，問題解決之后，得到的結(jié)果便沉下來，便走進(jìn)了教科書。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)也要以問題情境來驅(qū)動(dòng)。情境認(rèn)知理論認(rèn)為，知識(shí)不是一件事情或一組表征，也不是事實(shí)或規(guī)則的集合，知識(shí)是一種基于問題的動(dòng)態(tài)的建構(gòu)與組織。知識(shí)是個(gè)體與問題情境交互作用過程中建構(gòu)的一種交互狀態(tài)，是一種協(xié)調(diào)一系列行為，以適應(yīng)動(dòng)態(tài)變化發(fā)展的問題情境的能力?；谇榫痴J(rèn)知理論，知識(shí)是根植于情境的，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一定情境來導(dǎo)入知識(shí)，而不把知識(shí)當(dāng)結(jié)果來學(xué)習(xí)。大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)雖離生活常識(shí)漸遠(yuǎn)，但也是根植于問題情境，這樣的問題情境更是知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中的邏輯脈絡(luò)情境。因此關(guān)鍵的是讓學(xué)生提出好的問題，然后，讓學(xué)生嘗試著從不同角度解決問題。這時(shí)的教學(xué)方式可以是啟發(fā)性的講授法，也可以是導(dǎo)引性的研究性學(xué)習(xí)。曾有很好的啟發(fā)性講授法的例子[11]和導(dǎo)引性研究性學(xué)習(xí)的例子，這兩種教學(xué)法都取得了很好的效果。還是以上、下極限為例，那么驅(qū)動(dòng)上、下極限這個(gè)概念產(chǎn)生的問題是什么呢？當(dāng)數(shù)列收斂時(shí)，用極限這個(gè)常數(shù)就可以控制整個(gè)數(shù)列，這是多么經(jīng)濟(jì)的思想。然而，當(dāng)數(shù)列發(fā)散時(shí)，如何控制一個(gè)數(shù)列呢？融合函數(shù)最值的思想，上、下極限的概念呼之欲出?！皢栴}——方法——結(jié)果”是數(shù)學(xué)發(fā)展的主線，這樣的內(nèi)在邏輯必然要表現(xiàn)在教學(xué)上，那才是真正的教學(xué)，才體現(xiàn)了教學(xué)的價(jià)值，教學(xué)是為了后人能更好地研究開創(chuàng)新天地。

三、成效：多贏

由于堅(jiān)持依據(jù)數(shù)學(xué)的本性進(jìn)行教學(xué)，符合了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知方式發(fā)展的規(guī)律，取得了多方面的成效。打造了名師引領(lǐng)的教學(xué)團(tuán)隊(duì)[12]。本文第一作者就是2013“湖北名師”，所在團(tuán)隊(duì)擁有數(shù)位科研水平、教學(xué)技藝精湛的教師。二是以精品課程資源建設(shè)為抓手，推動(dòng)課程群的建設(shè)，探索了課程體系改革的新路。國家級(jí)精品課程資源在“愛課程網(wǎng)”已成功運(yùn)行，網(wǎng)上反響很好。以此為突破口，把內(nèi)在聯(lián)系緊密，內(nèi)在邏輯性強(qiáng)、屬于同一個(gè)培養(yǎng)能力范疇的同一類課程集結(jié)在一起，打破了傳統(tǒng)課程內(nèi)容的歸屬性，構(gòu)建了有利于發(fā)揮課程內(nèi)容教學(xué)價(jià)值和效應(yīng)的課程群。三是人才培養(yǎng)質(zhì)量顯著。參與課堂的本科生的學(xué)習(xí)積極性和科研水平得到了很大的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱長江.偏微分方程課程研究型教學(xué)的一個(gè)實(shí)例剖析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（1）：63-64.

[2]朱長江，阮立志.關(guān)于“偏微分方程”國家精品課程建設(shè)的幾點(diǎn)體會(huì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011（4）：84-86.

[3] 朱長江，蔣咪娜 ，阮立志.“偏微分方程”研究型教學(xué)的理論與實(shí)踐[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（2）：53-55.

[4] 朱長江，阮立志.“偏微分方程”國家精品課程的建設(shè)與推廣[J].中國大學(xué)教學(xué)，2012（8）：46-48.

[5]皮連生.學(xué)與教的心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.

[6]徐章韜，何穗，朱長江.基于課程群的“數(shù)學(xué)史”精品課程資源建設(shè)[J].中國大學(xué)教學(xué)，2013（12）：55-57.

[7]徐章韜.面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[8]曹廣福，葉瑞芬.例論非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生同樣需要數(shù)學(xué)思想[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009（3）：1-3.

[9]林群.數(shù)學(xué)教育面臨的新形勢[J].中國科學(xué)院院刊，2001，（3）：207-208.

[10]林群.讓數(shù)學(xué)原形畢露——與初學(xué)者共商[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1996（4）：97-98.

[11]匡繼昌.如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（6）：74-78.

[12]朱長江，劉敏思，何穗.以“名師工程”為主導(dǎo)大力提升人才培養(yǎng)質(zhì)量[J].中國高等教育，2012（18）：47-48.

[基金項(xiàng)目：2012年湖北省本科高校“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)綜合改革；2013年湖北省教學(xué)改革項(xiàng)目“師范生拔尖創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的理論與實(shí)踐”]

[責(zé)任編輯：周 楊]