泰勒公式在極限和等式不等式中的地位與作用

摘要：從求極限、證明等式、證明不等式三個方面說明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

關鍵詞：泰勒公式；極限；等式；不等式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0113-02

近年來關于泰勒公式的研究很多，文[1]說明了泰勒公式的不足并給出了建議，文[2]推廣了泰勒公式，文[1-5]用例題說明了泰勒公式在求極限、求近似值、求冪級數(shù)的展開、式行列式計算以及等式不等式的證明中的應用.但有些例題不能充分說明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面從求極限、證明不等式、證明等式方面通過典型例題說明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求極限中的地位與作用

常用的求極限的方法是等價無窮小替換與羅比達法則的混合使用，和式的極限還可以考慮夾逼原理和定積分的定義.在極限的運算中泰勒公式不是首選的工具，因為它比其他工具在書寫和表達上要復雜.因此一般不選用泰勒公式求極限.但是有的極限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出來.

例1[6] 求.

解 x→0時，sin43x：（3x4）=81x4，應用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

該題只能用泰勒公式解決，讀者可以驗證其他工具和方法，是求不出結果的.泰勒公式是可以展開到任意次的，在題目中展開到4次是因為分母的等價無窮小是4次.也就是說，使用泰勒公式求極限時函數(shù)泰勒展開的次數(shù)取決于題目中其他部分的次數(shù).

二、泰勒公式在證明等式中的應用

在各級各類考試中經(jīng)常會有關于中值公式的證明，拉格朗日中值公式是零階的泰勒公式，使用范圍較大，但如果碰到的是高階的微分中值定理題目，處理工具最好采用泰勒公式，不僅問題的解決過簡潔，而且有時候泰勒公式是必須選用的工具.

例2[7] 設f（t）三階可導，且f?（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

證明λ=.

證明 將f（t）在t=b處展開為三階帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

對f（t）求二階導數(shù)得

f″（t）=f″（b）+f?（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中將t變?yōu)閎+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f?（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

聯(lián)立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求極限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法來證明例2，不僅過程復雜，而且求解不得結果.

三、泰勒公式在證明不等式中的應用

如同高階的微分中值定理等式證明一樣，如果要證明的不等式中出現(xiàn)一階、高階導數(shù)，在拉格朗日中值定理解決不了的情況下，就要考慮運用泰勒公式證明.還有一種不含有微分、積分的普通不等式，證明方法較多，但有時候泰勒公式是最簡便的方法.

例3[8] 證明：xln=+cosx≥1+（-1

證明 因為-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

將ln（1+x），ln（1-x），cosx展開為二階的帶有皮亞諾型余項的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

將⑧代入⑦左側(cè)，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）?x2+o（x2）≥0

恒成立.

該題的證明可以采用構造輔助函數(shù)利用單調(diào)性證明，也可以采用拉格朗日中定理結合單調(diào)性證明，但證明均不如采用泰勒公式簡便.

泰勒公式一直是高等數(shù)學教學中的重點和難點，重在泰勒公式的應用，難在公式大、系數(shù)多、導數(shù)階數(shù)高，還有一余項.教材中主要說明了泰勒公式的形成、證明，應用涉及較少.學生對推導證明有畏懼心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，這就降低了學習泰勒公式的積極性和主動性，減弱了學習效果.好多學生對泰勒公式的反應時只知其名，不知何物，盡量不用.因此在泰勒公式的教學中，淡化理論推導，側(cè)重公式應用，突出重點，降低難度，在應用中掌握公式，激發(fā)學習興趣很有必要.

參考文獻：

[1]王國強，胡法領，盛大征.泰勒公式及其應用[J].德州學院學報，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其應用[J].科學之友，2012，（6）.

[3]魯翠仙.泰勒公式及其應用[J].西昌學院學報，2013，（3）.

[4]王國專.泰勒公式在微分學中的應用[J].赤峰學院學報，2012，（8）.

[5]熊學輝，柯璇，張凱.物理類課程中泰勒公式近似的教學方法探討[J].江漢大學學報，2011，（4）.

[6]尹遜波，楊國俅.全國大學生數(shù)學競賽輔導教程[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012：63-64.

[7]張?zhí)斓?，蔣曉蕓.高等數(shù)學習題精選精解[M].濟南：山東科學技術出版社，2007：90.

[8]張?zhí)斓?，李仁所，李?考研數(shù)學試題精選精解高等數(shù)學600題[M].濟南：山東科學技術出版社，2013：62.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內(nèi)訪問學者項目經(jīng)費資助，濱州學院優(yōu)秀教學團隊-BZXYJXTD201302.

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學教學。

摘要：從求極限、證明等式、證明不等式三個方面說明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

關鍵詞：泰勒公式；極限；等式；不等式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0113-02

近年來關于泰勒公式的研究很多，文[1]說明了泰勒公式的不足并給出了建議，文[2]推廣了泰勒公式，文[1-5]用例題說明了泰勒公式在求極限、求近似值、求冪級數(shù)的展開、式行列式計算以及等式不等式的證明中的應用.但有些例題不能充分說明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面從求極限、證明不等式、證明等式方面通過典型例題說明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求極限中的地位與作用

常用的求極限的方法是等價無窮小替換與羅比達法則的混合使用，和式的極限還可以考慮夾逼原理和定積分的定義.在極限的運算中泰勒公式不是首選的工具，因為它比其他工具在書寫和表達上要復雜.因此一般不選用泰勒公式求極限.但是有的極限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出來.

例1[6] 求.

解 x→0時，sin43x：（3x4）=81x4，應用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

該題只能用泰勒公式解決，讀者可以驗證其他工具和方法，是求不出結果的.泰勒公式是可以展開到任意次的，在題目中展開到4次是因為分母的等價無窮小是4次.也就是說，使用泰勒公式求極限時函數(shù)泰勒展開的次數(shù)取決于題目中其他部分的次數(shù).

二、泰勒公式在證明等式中的應用

在各級各類考試中經(jīng)常會有關于中值公式的證明，拉格朗日中值公式是零階的泰勒公式，使用范圍較大，但如果碰到的是高階的微分中值定理題目，處理工具最好采用泰勒公式，不僅問題的解決過簡潔，而且有時候泰勒公式是必須選用的工具.

例2[7] 設f（t）三階可導，且f?（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

證明λ=.

證明 將f（t）在t=b處展開為三階帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

對f（t）求二階導數(shù)得

f″（t）=f″（b）+f?（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中將t變?yōu)閎+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f?（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

聯(lián)立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求極限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法來證明例2，不僅過程復雜，而且求解不得結果.

三、泰勒公式在證明不等式中的應用

如同高階的微分中值定理等式證明一樣，如果要證明的不等式中出現(xiàn)一階、高階導數(shù)，在拉格朗日中值定理解決不了的情況下，就要考慮運用泰勒公式證明.還有一種不含有微分、積分的普通不等式，證明方法較多，但有時候泰勒公式是最簡便的方法.

例3[8] 證明：xln=+cosx≥1+（-1

證明 因為-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

將ln（1+x），ln（1-x），cosx展開為二階的帶有皮亞諾型余項的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

將⑧代入⑦左側(cè)，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）?x2+o（x2）≥0

恒成立.

該題的證明可以采用構造輔助函數(shù)利用單調(diào)性證明，也可以采用拉格朗日中定理結合單調(diào)性證明，但證明均不如采用泰勒公式簡便.

泰勒公式一直是高等數(shù)學教學中的重點和難點，重在泰勒公式的應用，難在公式大、系數(shù)多、導數(shù)階數(shù)高，還有一余項.教材中主要說明了泰勒公式的形成、證明，應用涉及較少.學生對推導證明有畏懼心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，這就降低了學習泰勒公式的積極性和主動性，減弱了學習效果.好多學生對泰勒公式的反應時只知其名，不知何物，盡量不用.因此在泰勒公式的教學中，淡化理論推導，側(cè)重公式應用，突出重點，降低難度，在應用中掌握公式，激發(fā)學習興趣很有必要.

參考文獻：

[1]王國強，胡法領，盛大征.泰勒公式及其應用[J].德州學院學報，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其應用[J].科學之友，2012，（6）.

[3]魯翠仙.泰勒公式及其應用[J].西昌學院學報，2013，（3）.

[4]王國專.泰勒公式在微分學中的應用[J].赤峰學院學報，2012，（8）.

[5]熊學輝，柯璇，張凱.物理類課程中泰勒公式近似的教學方法探討[J].江漢大學學報，2011，（4）.

[6]尹遜波，楊國俅.全國大學生數(shù)學競賽輔導教程[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012：63-64.

[7]張?zhí)斓拢Y曉蕓.高等數(shù)學習題精選精解[M].濟南：山東科學技術出版社，2007：90.

[8]張?zhí)斓?，李仁所，李?考研數(shù)學試題精選精解高等數(shù)學600題[M].濟南：山東科學技術出版社，2013：62.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內(nèi)訪問學者項目經(jīng)費資助，濱州學院優(yōu)秀教學團隊-BZXYJXTD201302.

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學教學。

摘要：從求極限、證明等式、證明不等式三個方面說明了泰勒公式不可取代的地位和作用.

關鍵詞：泰勒公式；極限；等式；不等式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0113-02

近年來關于泰勒公式的研究很多，文[1]說明了泰勒公式的不足并給出了建議，文[2]推廣了泰勒公式，文[1-5]用例題說明了泰勒公式在求極限、求近似值、求冪級數(shù)的展開、式行列式計算以及等式不等式的證明中的應用.但有些例題不能充分說明泰勒公式不可取代的地位和作用.下面從求極限、證明不等式、證明等式方面通過典型例題說明泰勒公式的地位和作用.

一、泰勒公式在求極限中的地位與作用

常用的求極限的方法是等價無窮小替換與羅比達法則的混合使用，和式的極限還可以考慮夾逼原理和定積分的定義.在極限的運算中泰勒公式不是首選的工具，因為它比其他工具在書寫和表達上要復雜.因此一般不選用泰勒公式求極限.但是有的極限只能用泰勒公式求解，其他工具求不出來.

例1[6] 求.

解 x→0時，sin43x：（3x4）=81x4，應用泰勒公式，有

ex-1=x+x2+x3+x4+0（x4）=x+x2+x3+x4+0（x4），

sinx=x-x3+0（x4）=x-x3+0（x4），

故sin（ex-1）=sin[x+x2+x3+x4+0（x4）]

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-[x+x2+x3+x4+0（x4）]3+0（x4）

=[x+x2+x3+x4+0（x4）]-（x3+3x2·x2）+0（x4）

=x+x2-x4+0（x4），

e-1=e-1

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x-x3+0（x4）]2+[x-x3+0（x4）]3

+[x-x3+0（x4）]4+0（x4）

=[x-x3+0（x4）]+[x2-x4+0（x4）]+[x3+0（x4）]+[x4+0（x4）]

=x+x2-x4+0（x4）.

于是，

=-.

該題只能用泰勒公式解決，讀者可以驗證其他工具和方法，是求不出結果的.泰勒公式是可以展開到任意次的，在題目中展開到4次是因為分母的等價無窮小是4次.也就是說，使用泰勒公式求極限時函數(shù)泰勒展開的次數(shù)取決于題目中其他部分的次數(shù).

二、泰勒公式在證明等式中的應用

在各級各類考試中經(jīng)常會有關于中值公式的證明，拉格朗日中值公式是零階的泰勒公式，使用范圍較大，但如果碰到的是高階的微分中值定理題目，處理工具最好采用泰勒公式，不僅問題的解決過簡潔，而且有時候泰勒公式是必須選用的工具.

例2[7] 設f（t）三階可導，且f?（b）≠0，

f（t）=f（b）+f'（b）（x-b）+（0<λ<1），①

證明λ=.

證明 將f（t）在t=b處展開為三階帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

f（t）=f（b）+f'（b）（t-b）+（t-b）2+（t-b）3+o（（t-b）3），②

對f（t）求二階導數(shù)得

f″（t）=f″（b）+f?（b）（t-b）+0（t-b） ③

③式中將t變?yōu)閎+λ（t-b），得

f″（b+λ（t-b））=f″（b）+f?（b）λ（t-b）+o（t-b）④

①-②得

f″[b+λ（t-b）]=f″（b）+（t-b）+o（t-b）⑤

聯(lián)立④、⑤得

λ=+·⑥

⑥式求極限得

λ=

若采用泰勒公式之外的方法來證明例2，不僅過程復雜，而且求解不得結果.

三、泰勒公式在證明不等式中的應用

如同高階的微分中值定理等式證明一樣，如果要證明的不等式中出現(xiàn)一階、高階導數(shù)，在拉格朗日中值定理解決不了的情況下，就要考慮運用泰勒公式證明.還有一種不含有微分、積分的普通不等式，證明方法較多，但有時候泰勒公式是最簡便的方法.

例3[8] 證明：xln=+cosx≥1+（-1

證明 因為-1

x（ln（1+x）-ln（1-x））+cosx≥1+.⑦

將ln（1+x），ln（1-x），cosx展開為二階的帶有皮亞諾型余項的泰勒公式得：

ln（1+x）=x-+o（x2），ln（1-x）=-x--o（x2），cosx=1-+o（x2）.⑧

將⑧代入⑦左側(cè)，得

1+x2+o（x2）≥1+x2+o（x2）?x2+o（x2）≥0

恒成立.

該題的證明可以采用構造輔助函數(shù)利用單調(diào)性證明，也可以采用拉格朗日中定理結合單調(diào)性證明，但證明均不如采用泰勒公式簡便.

泰勒公式一直是高等數(shù)學教學中的重點和難點，重在泰勒公式的應用，難在公式大、系數(shù)多、導數(shù)階數(shù)高，還有一余項.教材中主要說明了泰勒公式的形成、證明，應用涉及較少.學生對推導證明有畏懼心理，看到一行公式更是唯恐避之不及，這就降低了學習泰勒公式的積極性和主動性，減弱了學習效果.好多學生對泰勒公式的反應時只知其名，不知何物，盡量不用.因此在泰勒公式的教學中，淡化理論推導，側(cè)重公式應用，突出重點，降低難度，在應用中掌握公式，激發(fā)學習興趣很有必要.

參考文獻：

[1]王國強，胡法領，盛大征.泰勒公式及其應用[J].德州學院學報，2012，（7）.

[2]李莎，王瑜.泰勒公式及其應用[J].科學之友，2012，（6）.

[3]魯翠仙.泰勒公式及其應用[J].西昌學院學報，2013，（3）.

[4]王國專.泰勒公式在微分學中的應用[J].赤峰學院學報，2012，（8）.

[5]熊學輝，柯璇，張凱.物理類課程中泰勒公式近似的教學方法探討[J].江漢大學學報，2011，（4）.

[6]尹遜波，楊國俅.全國大學生數(shù)學競賽輔導教程[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012：63-64.

[7]張?zhí)斓拢Y曉蕓.高等數(shù)學習題精選精解[M].濟南：山東科學技術出版社，2007：90.

[8]張?zhí)斓?，李仁所，李?考研數(shù)學試題精選精解高等數(shù)學600題[M].濟南：山東科學技術出版社，2013：62.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內(nèi)訪問學者項目經(jīng)費資助，濱州學院優(yōu)秀教學團隊-BZXYJXTD201302.

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，碩士，講師，研究方向：高等數(shù)學教學。