泰勒公式與泰勒級數(shù)的比較教學(xué)

汪訓(xùn)洋　張鵬展

【摘要】泰勒公式與泰勒級數(shù)是科學(xué)與工程計算中的兩大重要數(shù)學(xué)工具，但對于初學(xué)者很難弄清兩者的細(xì)微差異從而影響它們在具體問題中的正確應(yīng)用.本文，我們首先通過分別分析它們的定義指出二者的區(qū)別，繼而指出它們在科學(xué)計算中的不同作用.最后，我們列舉了二者若干相關(guān)應(yīng)用來結(jié)束本文.

【關(guān)鍵詞】比較教學(xué)法；泰勒公式；泰勒級數(shù)；科學(xué)計算

引言

比較教學(xué)法是教師在教學(xué)實(shí)踐中傳授的思維過程和方法，主要反映和確定不同教學(xué)內(nèi)容的差異和相似之處.其要素包括“比較”“對比”和“參照”.通常，包括三種類型，即尋求共同點(diǎn)和差異比較，以及相似性比較.比較教學(xué)法的運(yùn)用有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力.正確運(yùn)用該方法可以幫助學(xué)生區(qū)分概念，提高分析的層次，并最終得出對問題的理解與規(guī)律性認(rèn)識.比較教學(xué)方法也應(yīng)用于物理、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)等諸多領(lǐng)域的教學(xué).本文將運(yùn)用比較教學(xué)法，探討泰勒公式和泰勒級數(shù)的異同點(diǎn)及其作用.

眾所周知，泰勒公式和泰勒級數(shù)均為古老的數(shù)學(xué)命題，它們首次被杰出的英國數(shù)學(xué)家Brook Taylor所提出并命名.它們在近似計算以及函數(shù)性質(zhì)研究[7，8]等方面發(fā)揮著極其重要的作用.我們注意到對二者的應(yīng)用已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其初衷，換言之，它們不僅僅作為工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它們更加被廣泛地應(yīng)用于某些應(yīng)用型學(xué)科，譬如力學(xué)、分析化學(xué)、計算物理等等.因此，它們都被作為大學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識之前的先修內(nèi)容而出現(xiàn)在“高等數(shù)學(xué)”中，特別是對主攻科學(xué)與工程計算的學(xué)生尤為重要.然而遺憾的是，由于大學(xué)新生們知識相對匱缺、經(jīng)驗(yàn)不足，他們在學(xué)習(xí)過程中很難辨別二者的細(xì)微差異，從而不能方便地應(yīng)用這兩個重要工具.在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時，大學(xué)生們面臨如下實(shí)際問題：泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？它們在未來的學(xué)習(xí)中到底有何作用或者應(yīng)用？

本文結(jié)構(gòu)安排如下.下節(jié)，我們詳細(xì)討論以上提出的兩個問題，具體地講，我們將通過分析它們各自的定義來明確二者的差異并指出它們的作用與在各方面的應(yīng)用.最后，我們給出一些相關(guān)結(jié)論，并希望對學(xué)生有所啟發(fā)與幫助.

一、泰勒公式與泰勒級數(shù)的比較

預(yù)備知識

為了方便后續(xù)討論，我們首先回顧相關(guān)的定義與重要的定理.

定義1假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處存在直到n階導(dǎo)數(shù)，則我們稱多項(xiàng)式

Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！

為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處展開的n階泰勒多項(xiàng)式.

由定義1已知，泰勒多項(xiàng)式Tn（x）具有如下性質(zhì)：

f（k）（x0）=T（k）0（x0），k=0，1，2，…，n，

該性質(zhì)揭示了如下事實(shí)：在具體工程計算中，常常可用泰勒多項(xiàng)式來代替函數(shù)本身進(jìn)行處理.

定理1假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處存在直到n階導(dǎo)數(shù)，則

f（x）=Tn（x）+o（x-x0）n，（1）

這里Tn（x）就是n階泰勒多項(xiàng)式.

公式（1）通常被稱為泰勒公式，并頻繁地被用于各種數(shù)學(xué)證明.我們記Rn（x）=f（x）-Tn（x），稱之為泰勒公式的余項(xiàng).余項(xiàng)Rn（x）有多種形式，譬如o（x-x0）n被稱為Peano-型余項(xiàng)，確切地講，公式（1）應(yīng)當(dāng)被稱著帶有Peano-型余項(xiàng)的泰勒公式.另一個常見形式為

f（n+1）（ξ）（x-x0）（n+1）/（n+1）！

被稱為Lagrange-型余項(xiàng)，帶有此余項(xiàng)的泰勒公式形如

f（x）=Tn（x）+f（n+1）（ξ）（x-x0）n+1/（n+1）！，（2）

當(dāng)我們用Tn（x0）來近似函數(shù)值f（x0）時，它經(jīng)常被用于估計由此引起的誤差.公式（2）也常常被稱為泰勒中值定理.

定義2假設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0無窮次可微，則無窮級數(shù)

f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）2/2！+…+f（n）（x0）（x-x0）n/n！+…

被稱為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的泰勒級數(shù).

以下定理由Brook Taylor建立，它指出了泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別.

定理2假設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某個領(lǐng)域U（x0，r）存在各階導(dǎo)數(shù)，則在U（x0，r）內(nèi)，f（x）=∑∞n=0f（n）（x0）n?。▁-x0）n充要條件是limn∞Rn（x）=0，這里，Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）?。▁-x0）n+1為Lagrange-型余項(xiàng).

二、泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別、作用與應(yīng)用

我們首先來澄清這兩個相似概念中的細(xì)微區(qū)別.一般而言，計算一個已知函數(shù)在某個固定點(diǎn)處的近似值，其精度往往依賴于兩個方面.其一是函數(shù)自身的屬性，即當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)只能有限次求導(dǎo)時，函數(shù)在該點(diǎn)處不能展為無窮泰勒級數(shù)，我們只能利用有限項(xiàng)的泰勒公式來近似計算其函數(shù)值.其二是具體要求，如果僅僅需要有限近似，我們往往選擇泰勒公式進(jìn)行處理，這種情況經(jīng)常在多個領(lǐng)域的工程計算中會出現(xiàn).當(dāng)要求無限近似時，我們就選取泰勒級數(shù)，譬如在相關(guān)問題的數(shù)學(xué)證明時.

總而言之，我們有如下結(jié)論：泰勒公式常用于不要求足夠精度的近似計算，而泰勒級數(shù)是用于研究具有無窮可微性質(zhì)的函數(shù)，特別在函數(shù)性質(zhì)證明方面.

進(jìn)一步地，我們來討論二者在實(shí)際問題與科學(xué)研究的共同作用，即它們在近似計算中的應(yīng)用.近似計算的本質(zhì)思想是用簡單的多項(xiàng)式函數(shù)來代替相對復(fù)雜的一般的非線性函數(shù).為了闡述此思想，我們通過一個簡單的例子說明如下.

例估算以下近似計算所引起的誤差：

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8，x∈[0，1].

由公式（2），易得

（1+x）1/2≈1+x/2-x2/8+…+（-1）n-1（2n-3）?。n/2nn！+（-1）n（2n-1）！?。?+θx）-n-1/2xn+1/2n+1（n+1）！，0<θ<1，

因此，若取n=2，則有

|R2（x）|=3|x3（1+θx）|-5/2/233！≤1/16（1+θ）-5/2≤1/16.

例題表明當(dāng)x∈[0，1]時，我們用二階多項(xiàng)式1+x/2-x2/8去近似代替非線性函數(shù)（1+x）1/2的誤差不超過1/16.

實(shí)際上，泰勒公式與泰勒級數(shù)在數(shù)學(xué)中還有以下廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)列舉如下.

（1）它們可用于計算極限問題；

（2）在求解微分方程的解時，我們可以先驗(yàn)地假設(shè)存在無窮級數(shù)解，然后代回方程逐次確定各項(xiàng).即所謂的無窮級數(shù)解法；

（3）泰勒公式常?？捎糜谧C明不等式問題；

（4）它們可以用來研究函數(shù)的極值相關(guān)等問題，如凹凸性和拐點(diǎn)等；

（5）它們可以用來證明其他級數(shù)的斂散性.

當(dāng)然，它們還有很多其他方面的應(yīng)用，不一而足.而且，隨著學(xué)科的發(fā)展也許還會有一些新的突破性的應(yīng)用.最近泰勒公式與泰勒級數(shù)已經(jīng)被利用于研究多變量函數(shù)的性質(zhì)，請參閱Reshetnyak的工作.

三、結(jié)論

本文旨在幫助大學(xué)新生學(xué)習(xí)與理解泰勒公式與泰勒級數(shù)的差異與作用.有鑒于此，我們首先介紹了二者最新的應(yīng)用以激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣.然后，我們指出了二者的細(xì)微差別，即在近似計算的精度方面，泰勒公式是有限精度而泰勒級數(shù)是無限精度.此外，為了啟發(fā)大家的學(xué)習(xí)，我們還列舉出了二者的常見的應(yīng)用.

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