以問題驅(qū)動改進隨機變量分布的教學(xué)

龔麗莎

【摘要】在隨機變量分布一章的教學(xué)中，存在一些學(xué)生不易掌握的難點如隨機變量，概率密度函數(shù)概念以及容易混淆的知識點如分布函數(shù)，分布律，概率密度.針對這些問題，采用幾個關(guān)鍵問題進行驅(qū)動，貫穿本章的整個教學(xué)過程.使各部分內(nèi)容層層遞進，自然銜接，促進學(xué)生主動思考，加深基本概念的理解，區(qū)分易混淆概念，從而達到提升教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的.

【關(guān)鍵詞】隨機變量的分布；問題驅(qū)動；教學(xué)模式

【基金項目】2015年1月—2017年12月電子科技大學(xué)教學(xué)改革研究項目：移植小班教學(xué)優(yōu)勢，促進大班工科概率統(tǒng)計課程的創(chuàng)新和應(yīng)用（2015XJYYB055）.

一、存在的問題

在講授概率統(tǒng)計課程中隨機變量及其分布這一章時，一種常見順序是：隨機變量的分布函數(shù)，離散型隨機變量及其分布律，連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)[1].這種安排基本合理，但在實際講授之后往往效果不佳，常出現(xiàn)學(xué)生對分布函數(shù)的重視程度不夠，難以理解概率密度函數(shù)概念，易混淆分布函數(shù)，分布律和密度函數(shù)以及書寫時符號混亂等問題.究其原因，主要是對初學(xué)者來說：隨機變量概念很難理解到位；概率密度函數(shù)概念的出現(xiàn)太過突兀；分布函數(shù)，分布律，概率密度三者相互之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，易造成混淆.

二、問題驅(qū)動式解決方案

針對以上癥結(jié)，在不改變上述順序的前提下，本文對隨機變量及其分布一章的主要知識點采用6個關(guān)鍵問題進行驅(qū)動，促進學(xué)生主動思考，加深基本概念的理解，區(qū)分易混淆概念，使內(nèi)容層層遞進，各部分自然銜接，知識點融會貫通.同時適當融入研究型教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生的思維和創(chuàng)造能力.

以下將按各教學(xué)內(nèi)容詳述此問題驅(qū)動式教學(xué)過程.

內(nèi)容一：隨機變量

隨機變量是本章的首個關(guān)鍵概念，它在概率統(tǒng)計中的重要地位和對后續(xù)內(nèi)容的深遠影響不言而喻.然而，此前學(xué)生關(guān)注的一直是各種隨機事件的概率計算，如何引入隨機變量概念才能讓他們認識到其必要性和重要性？為此提出第一個問題：

問題1何為隨機變量？為什么要引入隨機變量的概念？

從生活實例出發(fā)，讓學(xué)生初步體會隨機變量.如生活中常關(guān)心的一些量：某城市一個月的降雨量，某銀行一天接待的顧客數(shù)，這些量的取值看似隨機變化，但在多次觀察時又呈現(xiàn)某種確定的統(tǒng)計規(guī)律.這種變量就是隨機變量，對之常關(guān)注：（1）變量可能取哪些值；（2）取各值的可能性大小.

在引入隨機變量的概念之后，由以下問題自然帶入隨機變量的分布函數(shù).

問題2隨機變量的本質(zhì)特征在于其可能取值和取值的概率分布情況，用什么工具來描述隨機變量的概率分布情況？

直接給出分布函數(shù)的定義會稍顯生硬，可通過例子引入.

實際中，人們常關(guān)心隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率.如：產(chǎn)品質(zhì)量檢查時，隨機抽取的n件產(chǎn)品中次品件數(shù)X不超過3的概率P{X≤3}，某公司生產(chǎn)的某一型號液晶電視壽命X在（45000，55000）（小時）之間的概率P{45000

若對任意實數(shù)x，都存在概率P{ω：X（ω）≤x}=P{X≤x}=F（x），以上問題就迎刃而解（這也解釋了為什么隨機變量的定義中要求對任意實數(shù)x，事件{ω：X（ω）≤x}的概率都是可確定的）.這個函數(shù)F（x）就是隨機變量的分布函數(shù)，它可描述隨機變量在任一區(qū)間取值的概率P{x1

在此講解分布函數(shù)有如下好處：體現(xiàn)了分布函數(shù)的重要性和一般性，與本章最后內(nèi)容：隨機變量除了離散型，連續(xù)型外還有奇異型前后呼應(yīng).

內(nèi)容三：離散型隨機變量及其分布律

問題3對取值離散的隨機變量，如何描述其概率分布比較方便？

用一實例引入離散型隨機變量及其分布律，并用柱狀圖或火柴棍圖來直觀表示.提問：對離散型隨機變量來說，分布律和分布函數(shù)都可描述其概率分布，哪種描述方式比較直觀方便？學(xué)生能夠自己看出是分布律.在教師引導(dǎo)下討論總結(jié)：分布函數(shù)與分布律均可描述離散型隨機變量的概率分布，二者可互相轉(zhuǎn)化，只是描述方式不同而已.對離散型隨機變量往往選擇更直觀的工具——分布律.

內(nèi)容四：連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)

很多現(xiàn)行教材都直接給出連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)的定義[1，2]，這固然是由于教材限制所致，但若在課堂講授時也直接拋出此概念，會讓學(xué)生覺得非常突兀，造成理解和學(xué)習上的困難.實際上，離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量有諸多可類比性質(zhì)[3]，故本文的解決辦法是由離散型隨機變量的分布律進行類推，過渡到連續(xù)型隨機變量的概率密度.具體為講完分布律后提出如下問題.

問題4對取值連續(xù)的隨機變量來說，能否用分布律來直觀描述其概率分布？

例：一半徑為2米的圓盤靶子，擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，若射擊均能中靶，用X表示彈著點與圓心的距離.能用分布律來描述X的概率分布嗎？

學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不行，因為X的取值是連續(xù)的！繼續(xù)提問：

問題5能否找到類似離散型隨機變量分布律的工具來直觀描述這種取值連續(xù)的隨機變量的概率分布？

此處需事先做好兩項準備工作.

1.理解頻率直方圖.

例：為了解某地區(qū)成年男子的身高情況，從該地區(qū)所有成年男子中隨機抽取100名進行調(diào)查.問：如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)（略，單位：cm）分析該地區(qū)成年男子身高X的分布情況？

用此例講解頻率直方圖的做法以及含義.重點在于指出：頻率直方圖利用將連續(xù)取值離散化的手段直觀體現(xiàn)了身高X這個取值連續(xù)的隨機變量的大致分布情況，具有與分布律類似的特征.

2.基本弄清頻率與概率的關(guān)系.

因后面學(xué)習大數(shù)定律時才能明確頻率依概率收斂于概率，現(xiàn)只需學(xué)生理解隨試驗次數(shù)增多頻率會逐漸穩(wěn)定于概率即可，用拋硬幣例子數(shù)據(jù)進行說明.

現(xiàn)在可向概率密度過渡.在頻率直方圖中，隨機變量在某一區(qū)間取值的頻率，為該區(qū)間上小矩形的面積之和.當樣本數(shù)據(jù)很多，組距很小時，各小矩形會非常密集.設(shè)想：n趨于無窮，組距趨于0時，直方圖中變量的有限多個離散取值范圍將趨于無限多個連續(xù)取值，而圖中小矩形邊緣將逐漸穩(wěn)定在一條光滑（或分段光滑）曲線附近，設(shè)為函數(shù)f（x）.

易知f（x）非負，但怎樣具體確定函數(shù)f（x）？考慮隨機變量在任一區(qū)間[a，b]取值的頻率：該區(qū)間上小矩形的面積之和.它將逐漸穩(wěn)定于隨機變量在該區(qū)間取值的概率：曲線f（x）下方曲邊梯形的面積.即P{a

單位長度上的質(zhì)量相對應(yīng)，故稱為概率密度.于是根據(jù)概率密度曲線的高低，就能大致判斷連續(xù)型隨機變量在各處取值概率的大小，它正是我們所尋找的直觀描述連續(xù)型隨機變量概率分布的工具.

與離散型情況類似：分布函數(shù)和概率密度均可描述連續(xù)型隨機變量的概率分布，只是方式不同，二者可相互轉(zhuǎn)化，但概率密度較分布函數(shù)更為直觀.

內(nèi)容五：其他類型的隨機變量

問題6除了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量之外，還有其他類型的隨機變量嗎？

例：若隨機變量X的分布函數(shù)為F（x）=0，x<01+x2，0≤x<11，x≥1，判斷X是哪種類型的隨機變量.

在教師引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)此分布函數(shù)不符合離散型或連續(xù)型變量分布函數(shù)的特征，故其對應(yīng)隨機變量既非離散型，也非連續(xù)型.這時不能用分布律或概率密度來描述其概率分布，但分布函數(shù)仍適用，體現(xiàn)了分布函數(shù)的一般性和重要性.

三、總結(jié)

如上，通過六個問題逐步帶出本章各重要概念和知識點，有利于激發(fā)學(xué)生自主探索的欲望，使本章內(nèi)容保持一致性與連貫性，學(xué)生對分布函數(shù)，分布律，概率密度各概念的理解更深入，應(yīng)用時不易產(chǎn)生混淆.并利用類推與研究式教學(xué)較好地處理了概率密度這個教學(xué)難點，其中運用的微積分知識還加強了不同學(xué)科知識的融合，提高了學(xué)生分析處理問題的能力.

【參考文獻】

[1]徐全智，呂恕.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]馬生昀.概率統(tǒng)計教學(xué)改革中兩類隨機變量的類比教學(xué)[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2012（06）：119-123.