泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析

李立新

【摘要】泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題方面應(yīng)用較廣，有尋求等價(jià)無窮小量、求極限、不等式的證明、近似計(jì)算幾方面的應(yīng)用.本文將就泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開探討，深入了解泰勒公式的內(nèi)涵，體會(huì)其特殊的數(shù)學(xué)價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；高等數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用分析

泰勒公式把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)變成簡單函數(shù)，涉及了函數(shù)增量，自變量增量，導(dǎo)數(shù)等微積分計(jì)算，充分體現(xiàn)了微積分“逼近法”思想，通過把非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題，簡略了計(jì)算過程且計(jì)算結(jié)果確保了一定的計(jì)算精度，具有極高的應(yīng)用價(jià)值.

1.用泰勒公式求等價(jià)無窮小量

在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，我們了解了無窮小量的概念，同時(shí)還會(huì)接觸等價(jià)無窮小量，同時(shí)還會(huì)了解等價(jià)無窮小量的運(yùn)算公式，即當(dāng)（x）～1（x），β（x）～β1（x），lim1（x）β1（x）存在時(shí)，則lim（x）β（x），同時(shí)lim（x）β（x）=lim1（x）β1（x）在實(shí)際習(xí)題演算過程中我們只能套用公式，沒法通過公式的使用來尋求無窮小量的等價(jià)無窮小量，等價(jià)無窮小量在實(shí)際的高等數(shù)學(xué)函數(shù)化簡過程中可以發(fā)揮著極大的作用，簡化我們的化簡任務(wù).在下面的定理探討中我們就可以有所了解.

定理：當(dāng)x=a時(shí)，f（x）存在無窮小量，此時(shí)f（x）的泰勒展開式如下所示：

尋求等價(jià)無窮小量，用泰勒展開式比較容易，通過舉例我們就可以發(fā)現(xiàn).如：ex=1+x1！+x2！+o（x2），所以當(dāng)x趨近于0時(shí)，ex-1等價(jià)于x.

如：sin（sinx）=sinx-sin3x3！+o（x4）=x-x33！+o（x4）-13！x-x3[]3！+o（x4）3+o（x4）=x-x33！+o（x4），所以sin（sinx）等價(jià)于x.

在上述的運(yùn)算中極大地減少了函數(shù)代換次數(shù)，減少了函數(shù)復(fù)雜度.

2.用泰勒公式求極限

例如求極限lim6e-x2sinx-x（6-7x2）3ln1+x1-x-2x（3+x2），其中x→0.

在對此函數(shù)展開化簡時(shí)，我們需要先分析該函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與傳統(tǒng)的化簡方法，如果使用洛必達(dá)法則，不僅使用次數(shù)增加，函數(shù)形式可能更加復(fù)雜，函數(shù)基點(diǎn)是x→0，這時(shí)就需要使用泰勒公式展開式.基點(diǎn)x→0，函數(shù)的余項(xiàng)是皮亞諾余項(xiàng)，

使用帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，函數(shù)階數(shù)展開原則是一階一階展開，逐階消去達(dá)到最簡.針對分子6e-x2sinx-x（6-7x2）展開分析，e-x2的泰勒展開式第一項(xiàng)是1，sinx的泰勒展開式第一項(xiàng)是x，所以6e-x2sinx泰勒展開式第一項(xiàng)是6x，與其后的-6x相消除，第二項(xiàng)展開式是-76x3，還需展開第三項(xiàng)方便計(jì)算.分母的展開過程相似，具體的解答過程如下：

3.用泰勒公式證明不等式

針對泰勒公式的第二大高數(shù)解題應(yīng)用，以下面的習(xí)題展開實(shí)際演算過程，從其證明過程我們體會(huì)出泰勒公式在證明不等式的高效性與簡易性.

例如：證明x>0，x-x22

證明：當(dāng)x>0時(shí)，根據(jù)泰勒公式，可以將ln（x+1）展開如下形式：

綜上得出結(jié)論：

結(jié)語 最符合實(shí)際生活的應(yīng)用是用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算，它不僅計(jì)算簡單還保證了計(jì)算結(jié)果具有極高的精確度，但在實(shí)際應(yīng)用中需要做好區(qū)分，并不是所有的近似計(jì)算函數(shù)估值都適用泰勒公式，泰勒公式的選擇需要控制好使用條件，限制條件中需要滿足函數(shù)需要具備n 階連續(xù)可微函數(shù)，并且階數(shù)越大函數(shù)的精確度越高，需要根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇.