泰勒公式中各種余項的討論

[摘 要]泰勒公式顯示了“函數(shù)逼近”的重要思想，在科學(xué)計算中具有十分普遍的應(yīng)用.首先從誤差的源頭開始探討，探尋了泰勒公式的來源，對不同型泰勒公式的定義進(jìn)行了介紹.其次將泰勒公式余項從定性與定量角度來研究，從而加深了對泰勒余項定性與定量的理解.最后，介紹了帶不同型余項泰勒公式之間的聯(lián)系。

[關(guān)鍵詞]泰勒公式；余項；定性；定量

中圖分類號：TF046.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-914X（2016）16-0278-01

0 前言

隨著當(dāng)代技術(shù)的飛速發(fā)展，近似計算成為一種很重要的研究方法.泰勒公式體現(xiàn)了“函數(shù)逼近”的思想，在科學(xué)計算中有廣泛的應(yīng)用.很多大學(xué)生由于注重泰勒公式計算方面的應(yīng)用，但關(guān)于理論方面的應(yīng)用則顯得力不從心，糾其緣故，是因為對泰勒余項定性與定量形式缺乏理解。故有必要對泰勒公式從定性與定量方面進(jìn)行探討。

不少研究者已在對泰勒公式中各種余項的證明與應(yīng)用方面的研究領(lǐng)域取得無數(shù)研究成果.結(jié)合全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽和考研等的實際需要，有必要對泰勒公式進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

1 帶不同型余項泰勒公式的比較

能使可微函數(shù)用一個多項式函數(shù)與余項的和來表示的是泰勒公式[4]，它顯示了用多項式逼近可微函數(shù)的思想，在理論分析和近似計算中有重要作用.依照余項的不同可將泰勒公式分為四種類型：帶佩亞諾型、帶拉格朗日型、帶柯西型、帶積分型的泰勒公式。因為往往會用到帶佩亞諾型和帶拉格朗日型余項的泰勒公式，因此主要研究這兩種類型余項的泰勒公式。

1.1 帶佩亞諾型余項的泰勒公式

定理2.1.1[3] 若函數(shù)在點處階可導(dǎo)，則有

，即

（2-1）

（2-1）式稱為函數(shù)在處的泰勒多項式，其中稱為泰勒公式的余項，形的余項稱為佩亞諾型余項。

1.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式

定理2.1.2[3] 若函數(shù)在上階連續(xù)可導(dǎo)，在上階可導(dǎo)，則對任意給定的，，至少存在一點，使得

稱為函數(shù)在處的泰勒多項式，其中

， .

稱為拉格朗日余項。

1.3 帶有柯西型余項的泰勒公式

定理2.1.4[5]若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對有

其中.

特別當(dāng)，則有

，此處一并稱為柯西余項。

1.4 帶有積分型余項的泰勒公式

定理2.1.5[5] 若函數(shù)在點的某鄰域上有階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則對，有

其中稱為積分型余項，故（2-5）又稱為帶有積分型余項的泰勒公式。

2 對泰勒公式余項定性與定量的理解

對泰勒公式余項的定性與定量要有準(zhǔn)確的了解，首先得清楚泰勒余項的定義：

即函數(shù)與泰勒多項式的差為泰勒余項.故函數(shù)與泰勒多項式和余項的關(guān)系是整體和部分的關(guān)系.其次，要掌握佩亞諾型余項與拉格朗日型余項的本質(zhì).事實上，根據(jù)高階無窮小的定義，佩亞諾型余項的本質(zhì)，是泰勒余項是比更高階的無窮小，即：

嚴(yán)格意義上講，佩亞諾型余項原則上應(yīng)記為“

”.故（2-1）式原則上應(yīng)寫為

（2-5）

帶佩亞諾型余項的泰勒公式（2-1）中的事實上是一個變量.它在的某個鄰域內(nèi)變化.故所謂泰勒余項的定性，是指佩亞諾型余項

涉及的函數(shù)當(dāng)時為無窮小量的這一特殊性質(zhì)。

拉格朗日型余項本質(zhì)上表示一個量，即用在的階導(dǎo)數(shù)以及來表示余項.泰勒公式余項的定量，是指從量的角度用拉格朗日型余項來表示泰勒余項的實際大小。

3 泰勒公式四種余項之間的聯(lián)系

通過上述四個定理的證明能夠清楚地看到這幾種帶不同型余項的泰勒公式之間是能夠相互轉(zhuǎn)化的.

比較帶不同型余項的泰勒公式所反應(yīng)的特點：

1.余項的形式不同。

2.佩亞諾型余項只須在點階可導(dǎo)就可得出，因此在時，從階的估計為出發(fā)點，佩亞諾型余項更有優(yōu)越性，但在不明確是不是趨于而要估計余項時，佩亞諾型余項就沒有拉格朗日型與柯西型余項優(yōu)越了.

3.不管泰勒公式的余項是哪一種形式，本質(zhì)上都是統(tǒng)一的，僅僅是形式上不同，但在利用不同形式的余項時，所獲得的“余項估計”有可能不同.

4 結(jié)語

由于泰勒公式是用增量法原理推導(dǎo)而來的，故在許多近似題目中都有應(yīng)用，但并不是所有的近似題目都能用泰勒公式，使用泰勒公式有一些約束條件，務(wù)必是階連續(xù)可微函數(shù)，近似的階數(shù)越小，呈現(xiàn)的誤差就會越大.泰勒公式體現(xiàn)了用多項式迫近函數(shù)的思維，在微積分、科學(xué)計算等各個方面都有重要應(yīng)用.通過上面幾個方面的研究，使我們在平常的解題如考研或數(shù)學(xué)競賽中能將泰勒公式很好的應(yīng)用.只有理解了這些知識，然后不斷加強(qiáng)訓(xùn)練，才能熟練掌握，并且善于運用.

參考文獻(xiàn)

[1] 王素芳.泰勒公式在計算及證明中的應(yīng)用[J].洛陽工業(yè)高等?？茖W(xué)校，2012.

[2] 許紹元.泰勒公式的余項的定性與定量形式——談?wù)勗诖髮W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報，2014（03）：73-77.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上[M].北京：高等教育出版社，2010：137-147.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下[M].北京：高等教育出版社，2010：136～145.

[5] 姚海燕.帶有佩亞諾型余項的泰勒公式的新證明[J].教育教學(xué)論壇，2014（20）：120.

作者簡介

景嫄（1992—） 女，山西省晉中市人，學(xué)歷：碩士研究生，專業(yè)：-數(shù)學(xué)--。