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      不等式教學(xué)中學(xué)生解題能力培養(yǎng)方法的初探

      2014-04-29 17:13:58陸新國
      成才之路 2014年6期
      關(guān)鍵詞:不等式解題能力

      陸新國

      摘 要:解題能力是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智力水平的重要組成部分。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練,積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法,逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高。教師要結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐,對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法進行解題活動進行研究。

      關(guān)鍵詞:不等式;解題能力;學(xué)習(xí)技能

      美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出:“問題是數(shù)學(xué)的心臟,掌握數(shù)學(xué)意味著什么?那就是善于解題。”問題案例作為數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)知識結(jié)構(gòu)體系以及知識點內(nèi)涵要義的高度概括和生動展現(xiàn),已成為培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力的重要抓手。長期以來,解題能力都是教學(xué)活動的重要內(nèi)容和目標要求。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練,積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法,逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高?!陡咧袛?shù)學(xué)新課程標準》指出:“要注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)能力,體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想?!爆F(xiàn)結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐,對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等進一步提高學(xué)生解題能力的舉措進行研究。

      一、抓住不等式數(shù)與形的特征,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題能力

      眾所周知,數(shù)學(xué)學(xué)科知識就是數(shù)學(xué)語言與圖形符號的有機結(jié)合體。問題案例的呈現(xiàn),需要利用數(shù)學(xué)語言的精準性和圖形符號的直觀性進行生動形象的展示。有效、靈活運用數(shù)學(xué)問題的“數(shù)”與“形”,成為解題能力的一個重要因素。下面以線性規(guī)劃問題為例,談?wù)勅绾巫プ?shù)與形的特征進行數(shù)形結(jié)合教學(xué)的。

      問題:要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格,每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的根數(shù)如下表所示:

      若分別需A、B、C三種規(guī)格的鋼管數(shù)為13、16、18根,則各截這兩種鋼管多少根可得所需的鋼管,且使用鋼管總根數(shù)最少?

      分析:本題是屬于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用中求整數(shù)解的問題,解答該問題案例時,首先要抽象出線性目標函數(shù)以及線性的約束條件,將該數(shù)學(xué)語言變?yōu)閳D形符號,采用數(shù)形結(jié)合的方法進行問題研析,然后在圖形的可行域內(nèi)求出整數(shù)解。

      解題過程略。

      點評:線性規(guī)劃問題中,若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,對畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域圖像有較高的精度要求。通過對圖形符號的分析,得到的解可能為非整數(shù)解。這時應(yīng)結(jié)合圖形和實際目標作出分析和調(diào)整。其方法是利用數(shù)形結(jié)合的方法,以原點到線性目標函數(shù)所表示的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與其最為接近的整點。

      二、抓住不等式內(nèi)涵的外延豐富特性,培養(yǎng)學(xué)生化歸方法

      解決問題能力

      不等式的知識與集合、簡易邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容關(guān)系密切,在解答不等式問題時,就可以“由此及彼”,聯(lián)想相關(guān)知識方法,相互轉(zhuǎn)化以達到解決問題的目的。

      問題:若方程中至少有一個方程有實數(shù)根,求a的取值范圍。

      分析:上述問題是求解參數(shù)的取值范圍,若直接解答,滿足至少有一個方程有實根的情況主要有三種:一是只有一個方程有實根,二是有兩個方程有實根,三是三個方程有實根。如果通過分類討論的方法,則顯得比較繁冗,此時,可以將這三種情況合稱為至少一個方程有實數(shù)根,“正難則反”,想到問題的反面只有一種情形:三個方程均無實根,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“反面求解”。

      解:假設(shè)三個方程都沒有實根,則

      △■=(4a■)-4(-4a+3)<0△■=(a-1)■-4a■<0△■=(2a)■-4(-a)<0

      解得-■

      從上述解題過程可見,本題是關(guān)于方程根的問題案例,根據(jù)問題解答要求,需要高中生在解析過程中,認清問題條件中存在的內(nèi)在聯(lián)系,通過化歸轉(zhuǎn)化的方法,將其問題變?yōu)椴坏仁絹磉M行理解探析。

      三、抓住不等式條件內(nèi)涵多樣特性,培養(yǎng)學(xué)生分類討論方法解決問題能力

      分類討論是數(shù)學(xué)問題解答中經(jīng)常性運用的一種策略,通過訓(xùn)練能夠使學(xué)生的思維能力更加嚴密,思考更為周全,有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

      問題:設(shè)m∈R,解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

      思路解析:不等式的二次項系數(shù)中含有參數(shù),在求解過程中要注意針對m2是否為0分兩種情況進行討論;同時,當(dāng)m2不為0時,對應(yīng)的二次方程如果有實根,還要注意判斷其根的大小關(guān)系,如果不確定,還要進行下一個層次分類討論。

      解:(1)當(dāng)m=0時,不等式m2x2+2mx-3<0化為0·x2+0·x-3<0,此時不等式恒成立,其解集是R。

      (2)當(dāng)m≠0時,不等式m2x2+2mx-3<0即為(mx+3)(mx-1)<0。

      方程(mx+3)(mx-1)=0的根是-■,■。

      ①當(dāng)m>0時,■>-■,原不等式的解集是(-■,■);②當(dāng)m<0時,■<-■,原不等式的解集是(■,-■)。

      綜上所述,當(dāng)m=0時,原不等式的解集是R;當(dāng)m>0時,原不等式的解集是(-■,■);當(dāng)m<0時,原不等式的解集是(■,-■)。

      總之,高中生解題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕、一蹴而就的事情,需要教師的有效教學(xué)以及學(xué)生的長期的刻苦努力。以上的做法是筆者教學(xué)實踐中的一些粗淺體會,在此拋磚引玉,希望能夠有更多的教育工作者積極參與到解題能力的培養(yǎng)和實踐中來,為培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力獻計出力。

      (江蘇省如皋中學(xué))

      摘 要:解題能力是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智力水平的重要組成部分。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練,積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法,逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高。教師要結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐,對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法進行解題活動進行研究。

      關(guān)鍵詞:不等式;解題能力;學(xué)習(xí)技能

      美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出:“問題是數(shù)學(xué)的心臟,掌握數(shù)學(xué)意味著什么?那就是善于解題?!眴栴}案例作為數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)知識結(jié)構(gòu)體系以及知識點內(nèi)涵要義的高度概括和生動展現(xiàn),已成為培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力的重要抓手。長期以來,解題能力都是教學(xué)活動的重要內(nèi)容和目標要求。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練,積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法,逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高?!陡咧袛?shù)學(xué)新課程標準》指出:“要注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)能力,體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想?!爆F(xiàn)結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐,對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等進一步提高學(xué)生解題能力的舉措進行研究。

      一、抓住不等式數(shù)與形的特征,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題能力

      眾所周知,數(shù)學(xué)學(xué)科知識就是數(shù)學(xué)語言與圖形符號的有機結(jié)合體。問題案例的呈現(xiàn),需要利用數(shù)學(xué)語言的精準性和圖形符號的直觀性進行生動形象的展示。有效、靈活運用數(shù)學(xué)問題的“數(shù)”與“形”,成為解題能力的一個重要因素。下面以線性規(guī)劃問題為例,談?wù)勅绾巫プ?shù)與形的特征進行數(shù)形結(jié)合教學(xué)的。

      問題:要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格,每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的根數(shù)如下表所示:

      若分別需A、B、C三種規(guī)格的鋼管數(shù)為13、16、18根,則各截這兩種鋼管多少根可得所需的鋼管,且使用鋼管總根數(shù)最少?

      分析:本題是屬于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用中求整數(shù)解的問題,解答該問題案例時,首先要抽象出線性目標函數(shù)以及線性的約束條件,將該數(shù)學(xué)語言變?yōu)閳D形符號,采用數(shù)形結(jié)合的方法進行問題研析,然后在圖形的可行域內(nèi)求出整數(shù)解。

      解題過程略。

      點評:線性規(guī)劃問題中,若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,對畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域圖像有較高的精度要求。通過對圖形符號的分析,得到的解可能為非整數(shù)解。這時應(yīng)結(jié)合圖形和實際目標作出分析和調(diào)整。其方法是利用數(shù)形結(jié)合的方法,以原點到線性目標函數(shù)所表示的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與其最為接近的整點。

      二、抓住不等式內(nèi)涵的外延豐富特性,培養(yǎng)學(xué)生化歸方法

      解決問題能力

      不等式的知識與集合、簡易邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容關(guān)系密切,在解答不等式問題時,就可以“由此及彼”,聯(lián)想相關(guān)知識方法,相互轉(zhuǎn)化以達到解決問題的目的。

      問題:若方程中至少有一個方程有實數(shù)根,求a的取值范圍。

      分析:上述問題是求解參數(shù)的取值范圍,若直接解答,滿足至少有一個方程有實根的情況主要有三種:一是只有一個方程有實根,二是有兩個方程有實根,三是三個方程有實根。如果通過分類討論的方法,則顯得比較繁冗,此時,可以將這三種情況合稱為至少一個方程有實數(shù)根,“正難則反”,想到問題的反面只有一種情形:三個方程均無實根,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“反面求解”。

      解:假設(shè)三個方程都沒有實根,則

      △■=(4a■)-4(-4a+3)<0△■=(a-1)■-4a■<0△■=(2a)■-4(-a)<0

      解得-■

      從上述解題過程可見,本題是關(guān)于方程根的問題案例,根據(jù)問題解答要求,需要高中生在解析過程中,認清問題條件中存在的內(nèi)在聯(lián)系,通過化歸轉(zhuǎn)化的方法,將其問題變?yōu)椴坏仁絹磉M行理解探析。

      三、抓住不等式條件內(nèi)涵多樣特性,培養(yǎng)學(xué)生分類討論方法解決問題能力

      分類討論是數(shù)學(xué)問題解答中經(jīng)常性運用的一種策略,通過訓(xùn)練能夠使學(xué)生的思維能力更加嚴密,思考更為周全,有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

      問題:設(shè)m∈R,解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

      思路解析:不等式的二次項系數(shù)中含有參數(shù),在求解過程中要注意針對m2是否為0分兩種情況進行討論;同時,當(dāng)m2不為0時,對應(yīng)的二次方程如果有實根,還要注意判斷其根的大小關(guān)系,如果不確定,還要進行下一個層次分類討論。

      解:(1)當(dāng)m=0時,不等式m2x2+2mx-3<0化為0·x2+0·x-3<0,此時不等式恒成立,其解集是R。

      (2)當(dāng)m≠0時,不等式m2x2+2mx-3<0即為(mx+3)(mx-1)<0。

      方程(mx+3)(mx-1)=0的根是-■,■。

      ①當(dāng)m>0時,■>-■,原不等式的解集是(-■,■);②當(dāng)m<0時,■<-■,原不等式的解集是(■,-■)。

      綜上所述,當(dāng)m=0時,原不等式的解集是R;當(dāng)m>0時,原不等式的解集是(-■,■);當(dāng)m<0時,原不等式的解集是(■,-■)。

      總之,高中生解題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕、一蹴而就的事情,需要教師的有效教學(xué)以及學(xué)生的長期的刻苦努力。以上的做法是筆者教學(xué)實踐中的一些粗淺體會,在此拋磚引玉,希望能夠有更多的教育工作者積極參與到解題能力的培養(yǎng)和實踐中來,為培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力獻計出力。

      (江蘇省如皋中學(xué))

      摘 要:解題能力是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)和智力水平的重要組成部分。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練,積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法,逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高。教師要結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐,對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法進行解題活動進行研究。

      關(guān)鍵詞:不等式;解題能力;學(xué)習(xí)技能

      美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出:“問題是數(shù)學(xué)的心臟,掌握數(shù)學(xué)意味著什么?那就是善于解題?!眴栴}案例作為數(shù)學(xué)學(xué)科章節(jié)知識結(jié)構(gòu)體系以及知識點內(nèi)涵要義的高度概括和生動展現(xiàn),已成為培養(yǎng)和提高學(xué)生解題能力的重要抓手。長期以來,解題能力都是教學(xué)活動的重要內(nèi)容和目標要求。高中生經(jīng)過階段性的實踐和訓(xùn)練,積累了一定的觀察問題、分析問題、解決問題的技能和方法,逐步形成了一定的解題能力。但是學(xué)生的聯(lián)想能力以及綜合分析判斷能力還有待于進一步提高?!陡咧袛?shù)學(xué)新課程標準》指出:“要注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的數(shù)學(xué)能力,體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想?!爆F(xiàn)結(jié)合不等式章節(jié)教學(xué)實踐,對高中生運用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等進一步提高學(xué)生解題能力的舉措進行研究。

      一、抓住不等式數(shù)與形的特征,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合解決問題能力

      眾所周知,數(shù)學(xué)學(xué)科知識就是數(shù)學(xué)語言與圖形符號的有機結(jié)合體。問題案例的呈現(xiàn),需要利用數(shù)學(xué)語言的精準性和圖形符號的直觀性進行生動形象的展示。有效、靈活運用數(shù)學(xué)問題的“數(shù)”與“形”,成為解題能力的一個重要因素。下面以線性規(guī)劃問題為例,談?wù)勅绾巫プ?shù)與形的特征進行數(shù)形結(jié)合教學(xué)的。

      問題:要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格,每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的根數(shù)如下表所示:

      若分別需A、B、C三種規(guī)格的鋼管數(shù)為13、16、18根,則各截這兩種鋼管多少根可得所需的鋼管,且使用鋼管總根數(shù)最少?

      分析:本題是屬于線性規(guī)劃的實際應(yīng)用中求整數(shù)解的問題,解答該問題案例時,首先要抽象出線性目標函數(shù)以及線性的約束條件,將該數(shù)學(xué)語言變?yōu)閳D形符號,采用數(shù)形結(jié)合的方法進行問題研析,然后在圖形的可行域內(nèi)求出整數(shù)解。

      解題過程略。

      點評:線性規(guī)劃問題中,若要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,對畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域圖像有較高的精度要求。通過對圖形符號的分析,得到的解可能為非整數(shù)解。這時應(yīng)結(jié)合圖形和實際目標作出分析和調(diào)整。其方法是利用數(shù)形結(jié)合的方法,以原點到線性目標函數(shù)所表示的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與其最為接近的整點。

      二、抓住不等式內(nèi)涵的外延豐富特性,培養(yǎng)學(xué)生化歸方法

      解決問題能力

      不等式的知識與集合、簡易邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容關(guān)系密切,在解答不等式問題時,就可以“由此及彼”,聯(lián)想相關(guān)知識方法,相互轉(zhuǎn)化以達到解決問題的目的。

      問題:若方程中至少有一個方程有實數(shù)根,求a的取值范圍。

      分析:上述問題是求解參數(shù)的取值范圍,若直接解答,滿足至少有一個方程有實根的情況主要有三種:一是只有一個方程有實根,二是有兩個方程有實根,三是三個方程有實根。如果通過分類討論的方法,則顯得比較繁冗,此時,可以將這三種情況合稱為至少一個方程有實數(shù)根,“正難則反”,想到問題的反面只有一種情形:三個方程均無實根,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“反面求解”。

      解:假設(shè)三個方程都沒有實根,則

      △■=(4a■)-4(-4a+3)<0△■=(a-1)■-4a■<0△■=(2a)■-4(-a)<0

      解得-■

      從上述解題過程可見,本題是關(guān)于方程根的問題案例,根據(jù)問題解答要求,需要高中生在解析過程中,認清問題條件中存在的內(nèi)在聯(lián)系,通過化歸轉(zhuǎn)化的方法,將其問題變?yōu)椴坏仁絹磉M行理解探析。

      三、抓住不等式條件內(nèi)涵多樣特性,培養(yǎng)學(xué)生分類討論方法解決問題能力

      分類討論是數(shù)學(xué)問題解答中經(jīng)常性運用的一種策略,通過訓(xùn)練能夠使學(xué)生的思維能力更加嚴密,思考更為周全,有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力。

      問題:設(shè)m∈R,解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3<0。

      思路解析:不等式的二次項系數(shù)中含有參數(shù),在求解過程中要注意針對m2是否為0分兩種情況進行討論;同時,當(dāng)m2不為0時,對應(yīng)的二次方程如果有實根,還要注意判斷其根的大小關(guān)系,如果不確定,還要進行下一個層次分類討論。

      解:(1)當(dāng)m=0時,不等式m2x2+2mx-3<0化為0·x2+0·x-3<0,此時不等式恒成立,其解集是R。

      (2)當(dāng)m≠0時,不等式m2x2+2mx-3<0即為(mx+3)(mx-1)<0。

      方程(mx+3)(mx-1)=0的根是-■,■。

      ①當(dāng)m>0時,■>-■,原不等式的解集是(-■,■);②當(dāng)m<0時,■<-■,原不等式的解集是(■,-■)。

      綜上所述,當(dāng)m=0時,原不等式的解集是R;當(dāng)m>0時,原不等式的解集是(-■,■);當(dāng)m<0時,原不等式的解集是(■,-■)。

      總之,高中生解題能力的培養(yǎng)不是一朝一夕、一蹴而就的事情,需要教師的有效教學(xué)以及學(xué)生的長期的刻苦努力。以上的做法是筆者教學(xué)實踐中的一些粗淺體會,在此拋磚引玉,希望能夠有更多的教育工作者積極參與到解題能力的培養(yǎng)和實踐中來,為培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力獻計出力。

      (江蘇省如皋中學(xué))

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