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    兩個(gè)值得商榷的高中數(shù)學(xué)教材中的概念

    2013-04-29 12:11:44周宇劍譚冰
    教育教學(xué)論壇 2013年52期
    關(guān)鍵詞:不等式

    周宇劍 譚冰

    摘要:本文對(duì)二元一次不等式及二元一次不等式組的概念進(jìn)行了簡(jiǎn)要辨析,有利于教師在教學(xué)中準(zhǔn)確把握,有助于學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的理解與應(yīng)用。

    關(guān)鍵詞:二元一次;不等式;不等式組

    中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1674-9324(2013)52-0092-02

    人教A版《數(shù)學(xué)必修5》的3.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一節(jié)中,有兩個(gè)概念:把含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式。由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。[1]這兩個(gè)概念容易讓學(xué)生引起認(rèn)識(shí)上的混亂。

    按照上述概念,xy+5x-3y<7、2xy-3y≥-7等都是二元一次不等式。不等式組x-2y+5>32y+5t-7<14x+4t-1≥3m+n≤4可視為二元一次不等式組,不等式組x-2y+5>32y<5x≥3、2y<5x≥3、x≥-1y<5x≤3y>-2卻不是二元一次不等式組。顯然,這都和事實(shí)不相符。因此,筆者認(rèn)為這兩個(gè)概念值得商榷。

    從教材的銜接和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性來(lái)看,教材中的這兩個(gè)概念需要進(jìn)一步完善。最新的湘教版初中教材有這些概念:含有兩個(gè)未知數(shù)(二元),并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程為二元一次方程。把兩個(gè)含有相同未知數(shù)的二元一次方程(或者一個(gè)二元一次方程,一個(gè)一元一次方程)聯(lián)立起來(lái),組成的方程組,叫做二元一次方程組。[2]含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)均為1,并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組。[3]并且該課本中的三元一次方程組的練習(xí)中出現(xiàn)了方程組x+y=72y+z=6x-z=7和 3x-2z=13z+2y=23y-x=-18。既然上述方程組算作三元一次方程組,那么由類比推理,不等式組2y<5x≥3也可算作二元一次不等式組。由于二元一次不等式(組)的概念是在高中學(xué)的,而一元一次不等式(組)是在初中學(xué)的。且都是在一元一次方程與二元一次方程的學(xué)習(xí)之后。按初中教材的編排,一元一次不等式的概念與解法都是類比于一元一次方程得出的。故二元一次不等式(組)的概念應(yīng)該也與二元一次方程(組)的概念在某種認(rèn)識(shí)上要達(dá)成一致,這樣,才不至于產(chǎn)生矛盾,讓人懷疑概念的嚴(yán)謹(jǐn)性、連貫性與正確性。從教材編排的體系和意圖來(lái)看,二元一次不等式(組)的知識(shí)點(diǎn)放在簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題前面呈現(xiàn)。也就是說(shuō)是利用線性關(guān)系來(lái)解決規(guī)劃問(wèn)題的。而只有未知項(xiàng)的次數(shù)是1次的二元不等式才能體現(xiàn)出線性關(guān)系。未知數(shù)的次數(shù)是1的二元不等式如xy<1就能體現(xiàn)出兩個(gè)未知數(shù)之間是線性關(guān)系。從概念的內(nèi)涵與外延來(lái)看,教材中的二元一次不等式的概念的內(nèi)涵被縮小,因而外延被擴(kuò)大。我們需要認(rèn)識(shí)“未知數(shù)的次數(shù)為1”與“未知項(xiàng)的次數(shù)為1”的含義?!拔粗獢?shù)的次數(shù)為1”意思很清楚,只要未知數(shù)的次數(shù)為1就行,但未知數(shù)的次數(shù)為1,并不保證含該未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1。而“未知項(xiàng)的次數(shù)為1”意為含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1,不但包括未知數(shù)的次數(shù)一定為1的意思,而且排除了含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)不為1的不等式。同時(shí)它還隱含了一個(gè)條件,就是該項(xiàng)必須是整式,只有整式才談得上次數(shù),對(duì)于分式和根式等是沒(méi)有次數(shù)而言的。如在不等式xy-x>7中,xy與x都是含未知數(shù)的項(xiàng),xy這一項(xiàng)含有兩個(gè)未知數(shù),并且每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1次,但該項(xiàng)的次數(shù)卻是2次;這一項(xiàng)的次數(shù)是1次,該項(xiàng)的次數(shù)也為1次。而■是分式,■是根式,這些項(xiàng)都不存在次數(shù)之說(shuō)。

    綜上所述,二元一次不等式的概念可為:把含有兩個(gè)未知數(shù),并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式。二元一次不等式組的概念可為:共含兩個(gè)未知數(shù)且每個(gè)不等式中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)均為1的幾個(gè)不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。這樣一來(lái),xy+5x-3y<7與2xy-3y≥-7就不是二元一次不等式了。不等式組x-2y+5>32y+5t-7<14x+4t-1≥3m+n≤4雖然都由二元一次不等式組成,但由于不同的不等式所包含的未知量不同,因而包含的未知數(shù)的個(gè)數(shù)就不再是兩個(gè),而是包含5個(gè)未知數(shù),因而該不等式組不是二元一次不等式組。不等式組x-2y+5>32y<5x≥3與x≥-1y<5x≤3y>-2可算作二元一次不等式組。同時(shí),形如■-3y≥-7的不等式也不是二元一次不等式,因?yàn)槠渲械摹鲋形粗獢?shù)x的次數(shù)并不是1次。

    由于二元一次不等式(組)在線性規(guī)劃問(wèn)題一節(jié)中提出,必須讓學(xué)生理解這兩個(gè)概念,這樣,他們才能清楚在何種情況下可以運(yùn)用線性規(guī)劃解決問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程中,在呈現(xiàn)出相關(guān)的二元一次不等式(組)的概念后,為了讓學(xué)生對(duì)概念有清楚地認(rèn)識(shí)和理解,可以設(shè)計(jì)如下概念辨析題,促進(jìn)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)。

    例1.判斷以下不等式是否為二元一次不等式?并說(shuō)明理由。

    (1)2x-y2<-6 (2)2x-x>7 (3)2x-y<5

    (4)2xy-3x>4 (5)■-3x>4 (6)■>4

    例2.判斷以下不等式組是否為二元一次不等式組?并說(shuō)明理由。

    (1)x-3y<-32y<4x≥-3 (2)x>0y≤2x<6y>-2 (3)x>0y≤2t<6 (4)x>0y-5t≤2

    (5)x-y>0y+■≤2 (6)■>5 y-x≤2

    參考文獻(xiàn):

    [1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版數(shù)學(xué)必修5[M].北京:人民教育出版社,2007:82.

    [2]嚴(yán)士健,黃楚芳.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,2003年11月第一版,2012年12月第2版:3.

    [3]嚴(yán)士健,黃楚芳.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)[M].長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,2003年11月第一版,2012年12月第2版:21.

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