例談數(shù)列復(fù)習(xí)中的七點(diǎn)注意事項(xiàng)

崔文華

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的“會(huì)而不對，對而不全”一直困擾著大多數(shù)學(xué)生，如何解決此問題，一條有效的途徑是“防范于未然”，從別人的錯(cuò)誤中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，爭取做到“墨水流到哪里，分?jǐn)?shù)得到哪里”。下面以數(shù)列中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤為例，提出八點(diǎn)要注意的問題。

一、注意定義域（項(xiàng)數(shù)的起始值）

數(shù)列可以看作是定義在自然數(shù)集或它的子集上的函數(shù)，而函數(shù)的學(xué)習(xí)中要注意它的定義域，因此，學(xué)習(xí)數(shù)列也應(yīng)注意它的定義域，即項(xiàng)數(shù)的起始值問題，否則會(huì)導(dǎo)致解題失誤。

例1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-1，求{an}。

錯(cuò)解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-1①

∴an=Sn-1 ②

以上兩式相減得an+1-an=Sn-Sn-1=an

即an+1=2an③

數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

∴an=2n-1

剖析：由于沒有注意起始值問題而導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上，①中n≥2，②中n≥1，從而③中應(yīng)當(dāng)n≥2，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起才是等比數(shù)列。顯然a2=S1=a1=1，所以正確的通項(xiàng)公式為an=

二、注意等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為零

由等比數(shù)列的定義可知等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均不為零，在解題中容易忽視此條件而導(dǎo)致解題失誤。

例2：⑴b2=ac是a，b，c成等差數(shù)列的（ ）。

A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

⑵若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=an-1(a≠0)，則數(shù)列{an}是（ ）。

A、等比數(shù)列

B、等差數(shù)列

C、可以是等比數(shù)列，也可以是等差數(shù)列

D、可以是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列

錯(cuò)解：⑴由b2=ac=知選C。

⑵由Sn=an-1，易知an=(a-1)an-1，故選A。

剖析：(1)b2=ac中a，b，c可以為0，故不能推出a，b，c成等比數(shù)列，正確答案為B。

(2)當(dāng)a=1時(shí)，an=0是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，正確答案為C。

三、注意an=Sn-Sn-1的使用條件

數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn的關(guān)系為

an=

故由Sn求an時(shí)需分n=1與n≥2兩種情況討論，學(xué)生容易忽視n=1而導(dǎo)致解題失誤。

例3：若數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn=n2+n+1，則a1+a3+a5+A+a99的值為。

錯(cuò)解：an=Sn-Sn-1=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n

∴a2n-1=2(2n-1)=4n-2

∴a1+a3+a5+A+a99=50?+?=5000

剖析：上述解法忽視了公式成立的條件，正確的通項(xiàng)公式為an=

故數(shù){an}從第二項(xiàng)為等差數(shù)列，從而數(shù)列{a2n-1}從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列，所以 a1+a3+a5+A+a99= a1+(a3+a5+A+a99)=3+(49?+?)=5001

四、注意不能以特殊代替一般

證明（或判斷）一個(gè)數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列時(shí)，不能僅用前幾項(xiàng)來證明或判斷。

例4：已知數(shù)列{cn}中，cn=2n+3n，且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p。

錯(cuò)解：由題意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比數(shù)列，

即(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)

∴(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)

解得p=2或3。

剖析：一個(gè)命題在特殊情況下不成立，則在一般情況下也不成立，但在特殊情況下成立時(shí)，在一般情況下不一定成立，故可以用特殊否定一般，但不能用特殊肯定一般，上述證明過程犯了以偏概全的錯(cuò)誤，正確解答過程是由cn+1-pcn，cn+2-pcn+1，cn+3-pcn+2成等比數(shù)列，求出p，或由c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比數(shù)列，求出p值后，再由定義證明{cn+1-pcn}是等比數(shù)列（即由特殊值求出結(jié)論后，再給出一般性的證明）。

五、注意子數(shù)列的公差（或公比）

例5：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=則lim(a1+a2+a3+A+a2n)的值為。

錯(cuò)解：由已知得{a2n-1}是首項(xiàng)為a1=，公比為的等比數(shù)列，{a2n}是首項(xiàng)為a2=，公比為的等比數(shù)列。

∴l(xiāng)im(a1+a2+a3+A+a2n)

=lim(a1+a3+A+a2n-1)+lim(a2+a4+A a2n)

=+=1+=

剖析：上述解法沒有分清子數(shù)列{a2n-1}與{a2n}的公比，事實(shí)上{a2n-1}的公比為=，{a2n}的公比為=，故正確答案應(yīng)為+=。

六、注意公比q的三個(gè)盲點(diǎn)

等比數(shù)列中關(guān)于公比q有三個(gè)“盲點(diǎn)”：0，?。

⑴公比q≠0是決定公比的首要條件；

⑵公比q≠1是使用等比數(shù)列求和公式公比Sn=的前提條件；

⑶公比q≠-1是一個(gè)較為隱蔽的條件。

這三個(gè)盲點(diǎn)始終伴著公比，稍有不慎，就會(huì)不知不覺地犯錯(cuò)誤。

例6：⑴已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)的和Sn滿足limSn=1，求a1的取值范圍。

⑵設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若S3，S6，S9成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的公比q。

⑶若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試判斷Sm，S2m-Sm，S3m-S2m是否為等比數(shù)列？

錯(cuò)解：⑴由題意得

limSn==1 ∴a1=1-q

又-1

⑵由已知，得S3+S6=S9

由等比數(shù)列的求和公式得

+=2

化簡得2q9-q6-q3=0

q≠0，∴2q6-q3-1=0解得q=1或q=

⑶ S2m=Sm+am+1+am+2+A+a2m=Sm+qm(a1+a2+A+am)

∴S2m-Sm=qmSm，同理S3m-S2m=q2mSm

∴(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)，

所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比數(shù)列。

剖析：⑴忽視了等比數(shù)列的公比q≠0，正確答案是0

⑶忽視了q=-1，m為偶數(shù)時(shí)，Sm=0，即當(dāng)q=-1時(shí)，m為偶數(shù)時(shí)，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m不成等比數(shù)列。

七、注意limqn=0，limqn存在，S=三者中q的取值范圍

limqn=0 -1

例7：⑴若lim(2x-1)n=0，則x的取值范圍是；

⑵若lim(2x-1)n存在，則x的取值范圍是；

⑶等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)的和Sn滿足limS=，則a1的取值范圍是。

解：⑴ lim(2x-1)n=0∴-1<2x-1<1即0

⑵lim(2x-1)n存在， ∴-1<2x-1≤1即0

⑶limSn==∴a12=1-q 又-1

∴0

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