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    繞點

    • 一道與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的動點最值問題的探究
      圖3,將△AOB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′O′B′,則Q′為直線A′B′上一動點,根據(jù)垂線段最短,OQ′的最小值為點O到直線A′B′的垂線段的長度d.圖3由題意,得O′(1,1),A′(3,1),B′(1,-3).點評:解法2由旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)出發(fā),直線AB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°所得直線A′B′即為動點Q′的軌跡,但直接求直線A′B′的解析式不方便,因此旋轉(zhuǎn)整個△AOB,先求出點A′和B′的坐標,再求直線A′B′的解析式,最后用面積法求出點O到直線A′B′

      中學數(shù)學 2023年20期2023-10-29

    • 巧用等腰三角形旋轉(zhuǎn)解題
      于α,將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.(1)求證:△COD是等邊三角形.(2)求∠OAD的度數(shù).思路分析:(1)因為△ADC是由△BOC旋轉(zhuǎn)60°得到的,所以OC = DC,∠ACD = ∠BCO,所以∠OCD = 60°,從而△COD為等邊三角形.(2)因為△ADC是由△BOC旋轉(zhuǎn)60°得到的,所以∠ADC = ∠BOC = α,∠OBC = ∠DAC.在△AOD中,∠AOD = 360° - 105° - α - 60° =

      初中生學習指導·中考版 2022年11期2022-12-11

    • 巧用旋轉(zhuǎn)法解正方形問題
      圖2,將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE,連接BE,EP,作AF⊥EP于點F. 易證△AEB ≌ △APD,所以AE = AP = 1,EB = PD = [3]. 根據(jù)勾股定理可得EP = [2],根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠PEB = 90°,所以∠APD = ∠AEB = 135°,點E,P,D三點共線. 在△APF中根據(jù)勾股定理可求得AF = [22],進而可得S△APD = [64].反思:上述解法以AB = AD,∠BAD = 90°

      初中生學習指導·中考版 2022年11期2022-12-11

    • 分類例說“角含半角”模型及其相應結(jié)論
      AC.將線段AF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG,連結(jié)BG,根據(jù)已知條件可證得?AFE≌?AGE(SAS),?ABG≌?ADF(HL),即可得到GE=FE,BG=DF,即EF=DF+BE.如圖2,∠BAC=90°,∠DAE=45°.將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF,連結(jié)DF,BF,根據(jù)已知條件可證得?AED≌?AFD(SAS),?AEC≌?AFB(SAS),即可得到DE=DF,CE=BF,在Rt?BDF中,由勾股定理可得BD2+CE2=DE2

      初中數(shù)學教與學 2022年18期2022-12-02

    • 巧用旋轉(zhuǎn)變換求解線段(和)的最值問題
      圖1,將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AG,連結(jié)GE,GC.∵D為等邊?ABC的BC邊的中點,∴AD⊥BC,∴∠ACD+∠CAD=90°,∴∠GAE=∠ACD.∵AG=BC,AE=CF,∴?AGE≌?CBF,∴GE=BF.說明當圖形中的線段比較分散時,可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的線段集中在一個三角形中來解決問題.2.構(gòu)造相似三角形例2[1]如圖2,在Rt?ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,點P為?ABC所在平面內(nèi)的一點,且點P到?ABC的頂點A,

      初中數(shù)學教與學 2022年17期2022-10-25

    • 動靜轉(zhuǎn)換 化繁為簡
      現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針的方向旋轉(zhuǎn)60°,如圖2所示,在三角板DEF轉(zhuǎn)動的過程中,點H移動的距離為.(結(jié)果保留根號)圖1 圖2分析:本題第(2)問中點H的運動過程比較復雜,直觀的感受是BH的長度慢慢變短,因此很多人都把初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)算一下就得出了結(jié)果.造成這種情況是因為在運動過程中很難看出BH長度變化.但利用相對運動的觀念,把三角板DEF看成不動的,三角板ABC繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°,這樣就很容易看出GH長度的變化是先變小,當GH⊥DF時,GH最

      中學數(shù)學雜志 2022年18期2022-09-24

    • 一“點”牽想象 全面引運動 ——《圖形的運動》總復習教學
      :把三角形ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)180度后得到,也可以把三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180度后得到。小結(jié):旋轉(zhuǎn)時,要說清楚繞點、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度,缺一不可。層次三:軸對稱。師:同樣是軸對稱圖形,為什么第一幅這個點是點B的對應點,而第二幅是點C的對應點?生:第一幅對稱軸在AC的位置,第二幅對稱軸則是在AC往右兩格的位置。師:軸對稱的特點是對稱點到對稱軸的距離相等,并且連線與對稱軸垂直。層次四:放大與縮小。師:下圖又是怎么運動的?生:三角形ABC按2∶1放大

      小學教學設計(數(shù)學) 2022年6期2022-07-07

    • 平行四邊形面積“變形記”
      中點,將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°,B的對應點為B′。如圖2,連接OB、OB′?!逴為AC的中點,∴OA=OC?!摺鰽BC繞點O旋轉(zhuǎn)180°,∴B、O、B′三點共線且BO=B′O,∴四邊形AB′CB是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)。∵△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△AB′C,∴△ABC≌△CB′A,∴S△ABC=S△AB′C,∴S△ABC=[12]S?AB′CB=[12]BC·AH。因此,三角形的面積公式為S=[12]×底×高。孔子云:“

      初中生世界·八年級 2022年5期2022-05-27

    • 平行四邊形面積“變形記”
      中點,將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°,B的對應點為B′。如圖2,連接OB、OB′?!逴為AC的中點,∴OA=OC?!摺鰽BC繞點O旋轉(zhuǎn)180°,∴B、O、B′三點共線且BO=B′O,∴四邊形AB′CB是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)。∵△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°得到△AB′C,∴△ABC≌△CB′A,∴S△ABC=S△AB′C,∴S△ABC=因此,三角形的面積公式為S=圖1圖2孔子云:“溫故而知新,可以為師矣?!痹诮窈蟮臄?shù)學學習中,我們要學

      初中生世界 2022年18期2022-04-20

    • 動靜轉(zhuǎn)換 化繁為簡
      現(xiàn)將三角板DEF繞點G按順時針的方向旋轉(zhuǎn)60°,如圖2所示,在三角板DEF轉(zhuǎn)動的過程中,點H移動的距離為.(結(jié)果保留根號)圖1 圖2分析:本題第(2)問中點H的運動過程比較復雜,直觀的感受是BH的長度慢慢變短,因此很多人都把初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)算一下就得出了結(jié)果.造成這種情況是因為在運動過程中很難看出BH長度變化.但利用相對運動的觀念,把三角板DEF看成不動的,三角板ABC繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)60°,這樣就很容易看出GH長度的變化是先變小,當GH⊥DF時,GH最

      中學數(shù)學 2022年18期2022-04-16

    • 45°特殊角的存在性處理策略
      ,B,將直線AB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°,交x軸于點C,則直線BC的函數(shù)表達式是 ? ? .解析:∵一次函數(shù)y = 2x - 1的圖象分別交x軸、y軸于點A,B,∴令x = 0,得y = - 1,令y = 0,則x = [12],∴A [12,0],B (0, - 1),∴OA = [12],OB = 1.過A作AF⊥AB交BC于F,過F作FE⊥x軸于E,如圖3.∵∠ABC = 45°,∴△ABF是等腰直角三角形,且AB = AF.∵∠OAB + ∠

      初中生學習指導·提升版 2022年2期2022-03-08

    • 一次數(shù)學探究之旅 ——記一道幾何證題的推廣
      出發(fā),將ΔBCO繞點C旋轉(zhuǎn)60°,于是就構(gòu)造出了一個等邊ΔOCO′.證明:將ΔBCO繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,連結(jié)OO′,BO′,易知ΔOCO′為等邊三角形,則OC=OO′.在ΔBOC中,∠BOC= 180° -10° -20°= 150°,而∠BOO′= 360° -60° -150°= 150°= ∠BOC,易得ΔBOC∽= ΔBOO′,可知∠CBO′= 20°,∠BO′O=∠BCO= 20°,則∠AOO′= ∠ACB= 50°,則點A、B、C、O′四點

      中學數(shù)學研究(廣東) 2021年22期2022-01-10

    • “旋轉(zhuǎn)型”相似在解題中的應用
      CD中,△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C',AB',AC'分別交對角線BD于點E,F(xiàn),若AE=4,則EF·ED的值為 ? ? .分析:根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠ADB=45°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EAF=∠BAC=45°,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解.解:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠ADB=45°,∵把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AB'C',∴∠EAF=∠BAC=45° = ∠EDA,∵∠AEF=∠DEA,∴△AEF∽△DEA,∴

      初中生學習指導·中考版 2021年11期2021-11-27

    • 旋轉(zhuǎn)變換助你解題
      圖2,將△ABP繞點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′位置,則有[AP=AP'],[BP=CP'],[∠APB=∠AP'C].連接[PP'],∵[AP=AP'],∴[∠APP'=∠AP'P].∵[∠AP'C=∠APB<∠APC],∴∠APC-∠APP′>∠AP′C-∠AP′P,即[∠CPP'>∠CP'P],∴[CP'>CP],∴[BP>CP].點評:若已知條件中出現(xiàn)共頂點的相等線段,則可考慮構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換,將分散的條件進行集中.二、旋轉(zhuǎn)60°例2 如圖3,已知正方形ABCD

      初中生學習指導·中考版 2021年10期2021-09-30

    • 慧眼識變換
      ′)是由△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,如圖2;選項B中三角形的三條邊分別與圖1中△ABC中的對應邊呈“V”字形,所以選項B中的三角形是由△ABC沿直線MN翻折得到的,如圖3;選項C中三角形的三條邊分別與圖1中△ABC中的對應邊平行,每條對應邊的兩個頂點的位置是互換的,由此想到中心對稱變換和平移,如圖4,由△ABC以點O為中心,旋轉(zhuǎn)180°得△A1B1C1,再將△A1B1C1沿OB1方向向左平移1個單位長度得到選項C中的三角形(△A′B′C′);選項

      初中生學習指導·中考版 2021年10期2021-09-30

    • 從旋轉(zhuǎn)的角度慧眼識圖
      因此,將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)42°就可以得到△ACE;同樣將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)42°就可以得到△ABD.【啟示】 用旋轉(zhuǎn)的視角觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征,通常能夠發(fā)現(xiàn)其中隱含著三角形全等的關(guān)系. 旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置,不改變圖形的大?。ㄈ热切蔚膶窍嗟?、對應邊相等),因此可用旋轉(zhuǎn)變換線段的位置,將幾個分散的條件聚集在一起,為順利求解奠定基礎.【慧眼識圖1】 以等腰直角三角形為載體的基本圖形,如圖2.【旋轉(zhuǎn)策略】 如圖2①,P為等腰直角三角形ABC內(nèi)

      初中生學習指導·提升版 2021年4期2021-09-10

    • 讓思維在動態(tài)的情境中延伸
      看作是由△DAC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的. 理由略.反思:觀察圖1,我們發(fā)現(xiàn)圖中有共頂點C的兩對相等的邊CA = CB,CD = CE,且∠ACB = ∠ECD = 60°,容易知道若將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°便可以與△ACD完全重合,由此啟發(fā)我們當給出的幾何圖形中,出現(xiàn)“相等的線段(等邊三角形或等腰三角形)且線段有公共端點時”,我們可考慮從“旋轉(zhuǎn)”的視角添加輔助線去探究問題. 簡言之,即為:等線段,共頂點,旋轉(zhuǎn)牽手助變換. 下面舉例說明.變式1

      初中生學習指導·中考版 2021年7期2021-08-21

    • “基于素養(yǎng),能力立意”引領下的思維培養(yǎng) ——運動軌跡為圓的問題常見類型
      若正方形OEDF繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得正方形OE′D′F′,記旋轉(zhuǎn)角為α. 若直線AE′與直線BF′相交于點P,求點P的縱坐標的最大值.圖6圖7分析: 如圖6, 當正方形旋轉(zhuǎn)時, ΔBOF′可以由ΔAOE′繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到, 所以BF′⊥AE′, 即∠APB= 90°恒成立,AB=是定值, 所以點P在以AB為直徑的圓上運動. 要求點P縱坐標的最大值, 即求∠E′AO的最大值, 因為E′的以O為圓心, 1 為半徑的圓上,當AE′與⊙O相切時,∠E′A

      中學數(shù)學研究(廣東) 2020年22期2021-01-11

    • 規(guī)律探索問題的解狀之道
      ,點P(O,2)繞點A旋轉(zhuǎn)1800得到點P1,點Pl繞點B旋轉(zhuǎn)1800得到點P2,點P2繞點C旋轉(zhuǎn)1800得到點P,點P3繞點A旋轉(zhuǎn)1800得到點P4,…,按此作法進行下去,則點P2019的塵標為_____,解析:先根據(jù)題意依次標出前幾個P點,如圖3,發(fā)現(xiàn)每旋轉(zhuǎn)6次為一個循環(huán).依次求得P1(-2,0),P2(2,-4),P3(0,4),P4(-2,-2),Ps(2,-2),P6(0,2),按照此規(guī)律循環(huán)下去,由2019÷6=336……3,可知點P2019的

      中學生數(shù)理化·中考版 2020年8期2020-10-29

    • “共頂點旋轉(zhuǎn)”的等邊三角形
      放到△CBD中,繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°.如圖1,作∠ABE = ∠CBD,截取BE = BD,連接ED,EA,∴△EBD是等邊三角形,∴△ABE ≌ △CBD,∴∠BEA = ∠BDC = 30°,∴∠DEA = 30°,∴△ABE ≌ △ADE,∴AB = AD.解法2:以B為旋轉(zhuǎn)中心,將BA放到△ABD中,繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°.如圖2,作∠CBE = ∠ABD,截取BE = BD,連接ED,EC,∴△EBD是等邊三角形,∴△ABD ≌ △CBE,∴C

      初中生學習指導·中考版 2020年7期2020-09-10

    • 2020年本刊原創(chuàng)題(六)
      邊三角形,將OD繞點D旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中 DE的最小值為 .4.如圖3,四邊形ABCD是菱形,∠DAB = 60°,AB = 5,△BEF是邊長為4的等邊三角形,將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn),連接CF,AE,當∠BCF最大時,△ABE的面積為 .5.如圖4,D是邊長為6的等邊三角形ABC的邊AC的中點,△AEF是直角三角形.其中∠EAF = 90°,AE = 3,AF = 4,P是邊EF上的一個動點,將△EAF繞點A旋轉(zhuǎn)一周,那么PD長度的取值范圍是

      初中生學習指導·中考版 2020年10期2020-09-10

    • 幫你闖關(guān)“輔助線”(十二)
      B,則陰影①可以繞點C旋轉(zhuǎn)180°到②的位置,從而在圖中左側(cè)形成一個半徑是2的90°弓形,由此可得陰影面積 = 2(S扇形AOB - S△AOB) = 2-×2×2 = 2π - 4. 點評:通過旋轉(zhuǎn)拼接出規(guī)則圖形是解決本題的關(guān)鍵. 例2 如圖2,△ABC中,AC = 4,BC = 6,求中線CD的取值范圍. 分析:題目求線段長度的取值范圍,容易聯(lián)想到三角形三邊關(guān)系定理,故可以考慮通過等量位移將分散的條件集中起來. 中點D將線段AB平分,提供了180

      初中生學習指導·中考版 2020年3期2020-09-10

    • 圖形旋轉(zhuǎn)與中心對稱題型解析
      動:第一步:點D繞點A順時針旋轉(zhuǎn)180°得到點D1;第二步:點D1繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點D2;第三步:點D2繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°回到點D. (1)請用圓規(guī)畫出點D →D1→D2→D經(jīng)過的路徑; (2)所畫圖形是 對稱圖形; (3)求所畫圖形的周長(結(jié)果保留π). 解析:(1)點D →D1→D2→D經(jīng)過的路徑如圖8所示. (2)所畫圖形是軸對稱圖形. 故應填軸. (3)所畫圖形的周長等于半徑為4的圓的周長,該周長為8π. 三、旋轉(zhuǎn)

      初中生學習指導·提升版 2020年4期2020-09-10

    • “旋轉(zhuǎn)”中的最值問題
      將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周,當AE取最小值時,AG的長為?!窘馕觥坑伞鰽BC是等邊三角形,點D為BC邊上一點,BD=1/2DC=2,我們可以知道等邊三角形ABC的邊長是6,所以正方形DEFG的邊長也為6。將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周,則點E在以點D為圓心,6為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)一周,顯然,當正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上(如圖2,此時AD+AE=DE)時,AE取最小值,此時△ADG是直角三角形。要求AG的長,已經(jīng)有了DG的長,則必須

      初中生世界·九年級 2020年6期2020-09-08

    • “線段關(guān)系”疑無路“圖形變換”又一村
      =BC可知:BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°與BC重合。由∠ABC=60°,∠ADC=30°可知,在四邊形ABCD中,∠A+∠C=270°。如圖8,若將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°的同時,將△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)至△CBE,則△BCE≌△BAD。此時可得BD=BE、∠A=∠BCE,所以∠BCE+∠BCD=270°,故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°證得△BDE是等邊三角形,于是將BD轉(zhuǎn)化為ED。由△BCE≌△BAD能將AD轉(zhuǎn)化為CE,在Rt△CDE

      初中生世界·九年級 2020年6期2020-09-08

    • 踩點答對題 自信得滿分
      一點,將線段AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度,得到線段AN,連接NB。(1)如圖1,若M是線段BC上的任意一點,請直接寫出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是_____,NB與MC的數(shù)量關(guān)系是_____(2)如圖2,點E是AB延長線上一點,若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點,連接MC,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由。(二)拓展應用如圖3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=60°,∠B1A1C1=

      初中生世界·九年級 2020年6期2020-09-08

    • 想象先行 虛實相融 ——《圖形的運動(三)》教學實踐(一)
      1”的?生:指針繞點O,從“12”起順時針方向,旋轉(zhuǎn)30 度到“1”。師:通過學習,你知道描述旋轉(zhuǎn)運動必須具備哪些要素嗎?生:描述旋轉(zhuǎn)運動必須具備旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度三個要素。3.借助想象,深入理解旋轉(zhuǎn)要素。(1)想象旋轉(zhuǎn)過程。師:(出示一個空白鐘面)指針從“6”到“9”,你能想象出旋轉(zhuǎn)過程嗎?生:指針從“6”起,繞點O 順時針方向,旋轉(zhuǎn)90 度到“9”。師:只能這樣旋轉(zhuǎn)嗎?生:指針從“6”起,繞點O 逆時針方向,旋轉(zhuǎn)270 度到“9”。(2)深入

      小學教學設計(數(shù)學) 2020年5期2020-06-15

    • 插上“隱形的翅膀”,“翱翔”于三角形世界
      =6,將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC′,連接A′C,則A′C的長為 。同學們,你們覺得此題的突破點可能在哪里?除已知的特殊三角形外,常見的處理辦法是連接CC′得到等邊三角形C′BC(如圖6)。把A′C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A′BC′和等邊三角形△C′BC中求解。三角形考查的重點是特殊三角形:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等。“隱形”三角形是難點,它們還可以“隱形置身”于動態(tài)問題中。把一條線段繞端點旋轉(zhuǎn)任意角度

      初中生世界 2020年15期2020-06-05

    • “旋轉(zhuǎn)”中的最值問題
      將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周,當AE取最小值時,AG的長為______。圖1【解析】由△ABC是等邊三角形,點D為BC邊上一點我們可以知道等邊三角形ABC的邊長是6,所以正方形DEFG的邊長也為6。將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周,則點E在以點D為圓心,6為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)一周,顯然,當正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上(如圖2,此時AD+AE=DE)時,AE取最小值,此時△ADG是直角三角形。要求AG的長,已經(jīng)有了DG的長,則必須求出AD

      初中生世界 2020年23期2020-06-04

    • “線段關(guān)系”疑無路 “圖形變換”又一村
      =BC可知:BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°與BC重合。由∠ABC=60°,∠ADC=30°可知,在四邊形ABCD中,∠A+∠C=270°。如圖8,若將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°的同時,將△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)至△CBE,則△BCE≌△BAD。此時可得BD=BE、∠A=∠BCE,所以∠BCE+∠BCD=270°,故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°證得△BDE是等邊三角形,于是將BD轉(zhuǎn)化為ED。由△BCE≌△BAD能將AD轉(zhuǎn)化為CE,在Rt△CDE

      初中生世界 2020年23期2020-06-04

    • 踩點答對題 自信得滿分
      一點,將線段AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度,得到線段AN,連接NB。(1)如圖1,若M是線段BC上的任意一點,請直接寫出∠NAB與∠MAC的數(shù)量關(guān)系是________,NB與MC的數(shù)量關(guān)系是 ;圖1(2)如圖2,點E是AB延長線上一點,若M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點,連接MC,(1)中結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明,若不成立,請說明理由。圖2(二)拓展應用如圖3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=60°,∠B1A

      初中生世界 2020年23期2020-06-04

    • 插上“隱形的翅膀”,“翱翔”于三角形世界
      =6,將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BC',連接A'C,則A'C的長為_________。同學們,你們覺得此題的突破點可能在哪里?除已知的特殊三角形外,常見的處理辦法是連接CC'得到等邊三角形C'BC(如圖6)。把A'C拆分成兩條線段后分別放在等腰三角形A'BC'和等邊三角形△C'BC中求解。三角形考查的重點是特殊三角形:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直焦三角形等?!半[形”三角形是難點,它們還周以“隱形置身”于動態(tài)問題中。把一條線段繞

      初中生世界·九年級 2020年4期2020-05-03

    • 巧借“全等”突破坐標系中“旋轉(zhuǎn)”問題
      中點,將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)900后得到△A′BC′。則點A′、C′的坐標分別是______。【分析】由點C是OB的中點得點C的坐標為(0,3),繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點C′(3,6)。點A′是點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的點,如圖6,即AB⊥A′B,且AB=A′B。在此條件下,可通過向y軸作垂線段構(gòu)造全等三角形,從而求得點A′的坐標。解:如圖7,作A′H⊥OB,垂足為H?!逜B⊥A′B,∴∠ABO+∠A′BH=∠ABO+∠BA0=90°,∴∠BA

      初中生世界·八年級 2020年2期2020-03-08

    • 兩類“三線碰頭”問題的處理策略
      、PB的△PAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至△NAM,連接NP(如圖3).該旋轉(zhuǎn)變換的四大作用是:①通過全等變換(△PAB≌△NAM)將線段PB轉(zhuǎn)化為等長線段NM;②通過出現(xiàn)的等邊△APN使線段PA轉(zhuǎn)化為等長線段PN;③由①②實現(xiàn)“碰頭三線”→“連接三折線”的轉(zhuǎn)化;④使∠CAM=60°+60°=120°,于是可以構(gòu)造含有特殊角60°的直角三角形,通過解直角三角形求和的最小值.所以,由“兩點之間,線段最短”得知,(PA+PB+PC)min=(PN+NM+PC)m

      中學數(shù)學雜志(初中版) 2019年5期2019-11-25

    • 利用旋轉(zhuǎn)法妙解一類解三角形問題*
      0°,將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE,如圖2所示.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得△ADE是等腰直角三角形,∠CEA=135°,從而∠CED=135°-45°=90°,于是CD2=CE2+DE2.又由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知CE=BD,得CD2=BD2+DE2,因為△ADE是等腰直角三角形,所以DE2=2AD2,故CD2=BD2+2AD2,點評 從上面解題過程可以發(fā)現(xiàn):旋轉(zhuǎn)法非常巧妙,稍微旋轉(zhuǎn)一下居然就能扭轉(zhuǎn)乾坤,但細心之下不難發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)法的巧妙還是需要題目條件的“精心”配合

      中學教研(數(shù)學) 2019年7期2019-07-24

    • 一類對角互補型問題的解題策略
      圖2,將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得△CBE,則∠E=∠CAD=30°,BE=AD=5,AC=CE,得△ACE是一個頂角為120°的等腰三角形,作CM⊥AE于M,解此三角形可得AC的長。圖2解法二:運用角平分線策略。如圖3,過C作CE⊥AB,交AB延長線于E,CF⊥AD于F,借助角平分線性質(zhì)、兩次三角形全等、30°角特殊性質(zhì)、勾股定理等知識可得AC的長。圖3【模型解讀】如圖4,從原題中四邊形ABCD來看,結(jié)合“圓內(nèi)接四邊形對角互補”,可得這個四邊形

      初中生世界 2019年19期2019-05-25

    • 旋出等邊三角形和等腰直角三角形
      OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD,要使點D恰好落在BC上,求AP的長。圖1【解析】乍一看,這道題有兩個條件:(1)一個等邊三角形——△ABC;(2)兩條相等的線段——OD=OP。但單憑這兩個條件卻不容易解決問題。事實上,由于OD=OP,∠DOP=60°,我們可以得知△DOP也是等邊三角形,因此本題實際上是我們熟悉的一個特別簡單的圖形(如圖2)。圖2在圖2中,△COD≌△APO≌△BDP,這樣,問題就很容易解決了?!军c評】當一條線段繞著一個

      初中生世界 2019年15期2019-05-05

    • 旋出等邊三角形和等腰直角三角形
      OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD,要使點D恰好落在BC上,求AP的長。【解析】乍一看,這道題有兩個條件:(1)一個等邊三角形——△ABC;(2)兩條相等的線段——OD=OP。但單憑這兩個條件卻不容易解決問題。事實上,由于OD=OP,∠DOP=60°,我們可以得知△DOP也是等邊三角形,因此本題實際上是我們熟悉的一個特別簡單的圖形(如圖2)。在圖2中,△COD≌△APO≌△BDP,這樣,問題就很容易解決了。【點評】當一條線段繞著一個端點旋轉(zhuǎn)

      初中生世界·九年級 2019年4期2019-05-05

    • 對直線繞點旋轉(zhuǎn)問題的思考—對2017年深圳中考壓軸題的剖析、拓展及反思
      (3)將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點E,求BE的長.二、解析探究及模型構(gòu)建1.K型全等模型K型全等也稱半弦圖,同時是“一線三等角”相似模型的一種特例.由等腰直角三角形斜放通過作橫縱輔助線從而構(gòu)造的全等.通常思路是“45°?等腰直角三角形?K型全等”.如圖2,△ABC是等腰直角三角形,作AD,CE垂直過B點的水平線于D、E兩點.圖2結(jié)論:△ADB.證明因為 ∠D= ∠E= ∠ABC=90°,所以∠ABD+∠CBE=∠BCE+∠CBE=9

      中學數(shù)學研究(廣東) 2018年18期2018-10-16

    • 舉一反三 論劍中考
      圖1,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE,點C的對應點E恰好落在AB延長線上,連接AD.下列結(jié)論一定正確的是( ).A.∠ABC=∠E B.∠CBE=∠CC.AD∥BC D.AD=BC【分析】此題考查了全等中的旋轉(zhuǎn)變換,由題意知AB=BD,∠ABD=60°,可得△ABD為等邊三角形,從而可得∠DAB=60°.又∠CBE=60°,所以AD∥BC,故選C.圖1 圖2變式1 如圖2,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE,點C的對應點E恰好落在線段A

      初中生世界 2018年34期2018-09-21

    • 中考課題學習型試題
      畫圖:將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應點為B′,點C的對應點為C′,連接BB′;【問題解決】如圖2,在等邊三角形ABC中,AC=7,點P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.小明同學通過觀察、分析、思考,對上述問題形成了如下想法:想法一:將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系;圖1圖2想法二:將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得

      初中生 2018年24期2018-08-20

    • 旋轉(zhuǎn)在解中考數(shù)學試題中的應用
      如圖1,將DQ繞點D分別逆時針旋轉(zhuǎn)90°,順時針旋轉(zhuǎn)90°至DA、DB,連接AQ、AF、BQ、BE.由旋轉(zhuǎn)知∠QDA=90°,即∠1+∠4=90°.又∠1+∠5=90°,故∠4=∠5.結(jié)合DE=DF,易證ΔDEQ≌ΔDFA.從而有∠2=∠6.又由等腰RtΔDEF中得∠3+∠7=45°.又因為∠6=∠2=∠3,所以∠6+∠7=45°,即∠QFA=45°.又因為∠1=∠2,∠1+∠5=90°,所以∠2+∠5=90°,即∠EQD=90°.所以∠DAF=90°.

      理科考試研究·初中 2017年11期2018-03-06

    • 基于反思的旋轉(zhuǎn)復習課教學設計與思考
      生2:將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC,得到△BE′A,連接DE′(如圖3).由第一題可知DE=DE′,由旋轉(zhuǎn)可知CE=AE′,∠E′AD= 90°,所以DE′2=AD2+AE′2,所以DE2=AD2+EC2.圖3二、比較法反思1——比較條件和解法的共同處師:兩問中條件有什么共同處?生3:都有BA=BC,∠DBE=∠ABC.師:兩問中解法有什么共同處?生4:都將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)∠ABC,得到△BE′A.【設計意圖】掌握比較法反思策略中方法之一,比

      中學數(shù)學雜志 2017年12期2017-06-26

    • 共點又等長 旋轉(zhuǎn)來變換
      考慮將△BA P繞點B旋轉(zhuǎn)60°得△B C Q,此時P A=Q C,P B=Q B,這相當于把P A、P B分別變換到Q C、Q B.易知△B P Q是等邊三角形,從而Q B=P Q,這樣以P A、P B、P C為邊的三角形就是△P Q C.在△P Q C中,∠PQ C=∠BQ C-60°=140°-60°=80°,∠Q PC=∠B P Q-60°=(360°-140°-130°)-60°=30°,∠PC Q=180°-80°-30°=70°.例2 如圖2

      初中生天地 2016年30期2016-12-07

    • 旋轉(zhuǎn)經(jīng)常見 解法靈活變
      A C所在的直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角α (0°<α<90°)后得直線l,直線l與A D、B C兩邊分別相交于點E和點F.(1)求證:△A O E≌△C O F;(2)當α=30°時,求線段E F的長度.圖1解析:(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)有A O=O C,∠O AE=∠O C F,又∵ ∠A O E=∠C O F,∴ △A O E≌△C O F.(2)∵ A B=B C=2,∠A B C=60°,∴ △A B C為等邊三角形.∴ A C=2,∠A C B=60°,

      初中生天地 2016年30期2016-12-07

    • “三角形”復習專題
      如圖,將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED,若線段AB=3,則BE=_______.2. 如圖,△ABC三邊的中線AD,BE,CF相交于點G,若S△ABC=12,則圖中陰影部分面積是_______.16. 數(shù)學活動——求重疊部分的面積.問題情境:數(shù)學活動課上,老師出示了一個問題:如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=EF=8,頂點D與邊AB的中點重合.(1) 獨立思考:若D

      初中生世界·九年級 2016年6期2016-05-27

    • 例談“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形,外顯解題思路與技巧
      AE.即△DAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與△BAE重合.所以可旋轉(zhuǎn)三角形的重要線段(或?qū)€段),從而構(gòu)造三角形全等.方法1 (構(gòu)造對應高相等)如圖1(2),過點A作AP⊥CD于點P, AQ⊥BE于點Q,則∠APD = ∠AQB = 90°. 因為△DAC ≌ △BAE,所以∠ADP = ∠ABQ,AD = AB,所以△ADP ≌ △ABQ,所以AP = AQ,又AO = AO,所以△APO ≌ △AQO(HL). 所以∠DOA = ∠EOA,即OA平分∠D

      數(shù)學學習與研究 2015年8期2015-07-06

    • 解決幾何問題的好幫手——輔助線
      (解題突破口),繞點O旋轉(zhuǎn),即可得到圖3。這個模型,就為我們添加輔助線找到了思路。回到圖1,我們在旋轉(zhuǎn)△BCE的同時,△OBE也在旋轉(zhuǎn)。因此,我們不妨過點A,作AN⊥BE,連接ON(如圖2)?!鱋BE旋轉(zhuǎn)90°到△ONA。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)角相等,因此OE旋轉(zhuǎn)到ON的旋轉(zhuǎn)角也為90°,顯然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3,所以EN=BE—BN=5-3=2。易證OM=■EN=1。以下是解答過程:(如圖2)過O點作OM⊥BE,垂足為點M過點A作AN⊥

      新校園·中旬刊 2014年7期2014-10-16

    • 巧拼三角板求tan15°的值
      法1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°即是方法2的拼接方式.方法3將一副三角板按圖5所示的方式拼接,其中等腰直角三角形的斜邊與半等邊三角形的較長直角邊重合,BD與AE交于點M,則∠BAE=45°-30°=15°.以下解法同方法1.評注將方法1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°再沿直線AC翻折即是方法3的拼接方式.圖5 圖6方法4將一副三角板按圖6所示的方式拼接,其中AB與AE在一條直線上,BC與AD交于點M,則∠CAD=45°-30°=15°.以下解法同方

      中學教研(數(shù)學) 2012年4期2012-11-06

    • “旋轉(zhuǎn)變換”迷人眼,“見微知著”深追問——2012年浙江義烏市中考第23題的思路突破與反思追問
      5°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1.(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數(shù).(2)如圖2,連AA1,CC1.若△ABA1的面積為4,求△CBC1的面積.(3)如圖3,點E為線段AB的中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中,點P的對應點是點P1,求線段EP1長度的最大值與最小值.思路突破:第一步,“特例引路”初感知可以發(fā)現(xiàn)第(1)問中“點C1在線段CA的延長線上”是旋轉(zhuǎn)后的特殊位

      中學數(shù)學雜志 2012年16期2012-08-27

    • 一道經(jīng)典習題的其他結(jié)論
      ,將等邊△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度,以上結(jié)論是否還成立,如果成立,給出證明,如果不成立,請說明理由.圖1圖2本題是一道經(jīng)典的運用等邊三角形的性質(zhì)、圖形變換、全等三角形的判定的動態(tài)習題,很多版本的教材都不約而同的將它選為例題或練習.這兩個小題都是證明△ACE≌△DCB,從而得出AE=BD.其實,對這個問題,在條件不變的前提下,還有其他一些結(jié)論,下面對此進行探究.結(jié)論1 如圖3,將等邊△BCE繞點C旋轉(zhuǎn),當點A,D,B三點在同一直線上時,AE+AC=AB

      中學數(shù)學雜志 2011年32期2011-08-25

    • 巧分割 妙拼圖
      四邊形AMH1P繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)180°,把四邊形CNH2Q繞點N順時針旋轉(zhuǎn)180°,再把四邊形BQH2M沿射線BD的方向平移線段BD的長度,即可拼接成如圖2所示的矩形。你知道如此剪拼能成功的道理嗎?(可連結(jié)線段PM、PN、QM、QN得“中點∪PMQN”,證得MH1=NH2,MH2=NH1,進而分析可得)事實上,在圖1中,當H1為MN上任意一點時,連結(jié)PH1,再過點Q作QH2//PH1,交MN于點H2(如圖3)。在拼法不變的情況下,可得到平行四邊形(如圖4

      發(fā)明與創(chuàng)新·中學生 2009年9期2009-11-02

    • 圖形的旋轉(zhuǎn)中考題精選
      的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′,圖中陰影部分的面積為().A. 1- B. C. 1- D. 4. 正方形ABCD在坐標系中的位置如圖4,將正方形ABCD繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后,B點到達的位置的坐標為().A. (-2,2) B. (4,1) C. (3,1) D. (4,0)5. 下面四個三角形中,不能由圖5經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是().6. 汽車緊急轉(zhuǎn)彎時方向盤快速轉(zhuǎn)動,其形狀、大小______發(fā)生改變(“將會”或“不會”

      中學生數(shù)理化·中考版 2008年9期2008-12-01

    • 旋轉(zhuǎn)習題大展評
      如圖1,△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40°后,到了△AB′C′的位置,若∠B=35°,∠C=60°,則∠B′AC=______.解析: 本題中的旋轉(zhuǎn)角是∠BAB′和∠CAC′,都為40°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,可得∠BAC=85°,所以∠B′AC=85°-40°=45°.二、作圖題例2 如圖2,Rt△ABC的邊長分別為a,b,c,將這個三角形繞點O按順時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次,每次都旋轉(zhuǎn)90°.(1) 作出每次旋轉(zhuǎn)后的三角形.(2) 從所得圖形中,你能推導出勾股定

      中學生數(shù)理化·中考版 2008年9期2008-12-01

    • 《全等三角形》測試題
      0°.將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)25°后得到△ADE,則∠CAD=__.8. 如圖5,△ABC≌△DEC,∠A∶∠BCA∶∠ABC=3∶10∶5,則∠D=__,∠BCD=__.二、選擇題(每小題4分,共32分)9. 下列各組圖形中是全等圖形的是().10. 有下列說法:①所有的等邊三角形都全等;②兩個全等三角形的最大邊是對應邊;③兩個全等三角形的對應角相等;④面積相等的兩個三角形全等.其中正確的有().A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個11

      中學生數(shù)理化·八年級數(shù)學人教版 2008年8期2008-09-27

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