“旋轉”中的最值問題

王春玲

一、旋轉中線段的最值

例1如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，BD=12DC=2，以點D為頂點作正方形DEFG，且DE=BC，連接AE、AG。若將正方形DEFG繞點D旋轉一周，當AE取最小值時，AG的長為。

【解析】由△ABC是等邊三角形，點D為BC邊上一點，BD=1/2DC=2，我們可以知道等邊三角形ABC的邊長是6，所以正方形DEFG的邊長也為6。將正方形DEFG繞點D旋轉一周，則點E在以點D為圓心，6為半徑的圓上旋轉一周，顯然，當正方形DEFG繞點D旋轉到點E、A、D在同一條直線上（如圖2，此時AD+AE=DE）時，AE取最小值，此時△ADG是直角三角形。要求AG的長，已經有了DG的長，則必須求出AD的長。過點A作AM⊥BC于M，由已知得DC=4，得BC=BD+DC=6，由等邊三角形的性質得AB=AC=BC=6，BM=1/2BC=1/2×6=3，所以DM=BM-BD=1。在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM=33，進而Rt△ADM中，由勾股定理得AD=27，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得AG=8。故答案為8。

【點評】本題考查了旋轉的性質。正方形DEFG繞點D旋轉一周，討論AE的最小值，首先要能發(fā)現線段AE中端點A是定點，端點E是動點，而動點E是在以點D為圓心，6為半徑的圓上運動一周。發(fā)現了端點E的運動路徑，則問題不難解決，運用相關的知識（正方形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理以及線段最小值問題等）即可解決。由旋轉發(fā)現圓，是解決問題的關鍵突破口。

二、旋轉中角的最值

例2如圖3，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，連接BF、DE。若△AEF繞點A旋轉，當∠ABF最大時，S△ADE=。

【解析】我們先明確條件：正方形ABCD是確定的，△AEF是等腰直角三角形，它是繞直角頂點A旋轉的。在Rt△AEF繞點A旋轉的過程中，∠ABF是變化的，但變化中有不變的，那就是邊BA是不變的，變化的是點F。例1告訴我們，由旋轉聯想到圓，動點F的運動路徑就是在以點A為圓心，4為半徑的圓上，由此立即發(fā)現：當BF為此圓的切線時，∠ABF最大，如圖4、圖5。本題也就是當BF⊥AF時，求△ADE的面積。已知AE=4，則過點D作DH⊥AE于H，問題轉化為求高DH的長。觀察圖形，我們可以發(fā)現：△ADH≌△ABF，DH=BF，而在Rt△ABF中，AB=5，AF=4，利用勾股定理可得BF=3，因此問題進一步轉化為探索△ADH≌△ABF。

∵∠EAF=90°，

∴∠HAF=90°，

又∵∠BAD=90°，

∴∠DAH=∠BAF。

在△ADH和△ABF中，

∴△ADH≌△ABF（AAS），

∴DH=BF=3，

故答案為6。

【點評】本題同樣考查旋轉的性質。由旋轉發(fā)現圓，當BF為此圓的切線時，∠ABF最大，這是解決問題的關鍵突破口。

（作者單位：陜西師范大學出版總社）