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    例談“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形,外顯解題思路與技巧

    2015-07-06 06:11:58陳辰俠
    關(guān)鍵詞:旋轉(zhuǎn)法繞點平分

    陳辰俠

    證明三角形全等是解決線段與角相等或和、差、倍、分關(guān)系的重要方法,應(yīng)用“全等三角形”來解題時,通常需要添加輔助線,而很多同學(xué)在尋找輔助線的添法時往往感到無從下手,這也是很多學(xué)生認(rèn)為幾何比較難的重要原因.

    平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是圖形運動中的三種全等變換,經(jīng)過全等變換后的圖形與原圖形是全等的. 因此,我們可以借助全等變換的方法幫助我們識別復(fù)雜圖形中的全等圖形,同時我們還可以利用全等變換將分散的條件集中,從而尋求添加輔助線的方法. 本文主要從圖形旋轉(zhuǎn)的角度,通過幾個具體的例題分析來談?wù)勈裁磿r候構(gòu)造旋轉(zhuǎn),怎樣構(gòu)造旋轉(zhuǎn),同時如何從學(xué)生的角度探索輔助線的敘述方法,從而幫助我們有效的解決問題,現(xiàn)呈現(xiàn)出來,希望得到指正.

    1. 旋轉(zhuǎn)對應(yīng)線段

    例1 已知如圖1(1),以△ABC的AB,AC為邊向三角形外作等邊△ABD,△ACE,連接CD,BE相交于點O.求證:OA平分∠DOE.

    解析 本題是旋轉(zhuǎn)的基本模型,要證OA平分∠DOE,即證∠DOA = ∠EOA.可證∠DOA與∠EOA所在的三角形全等,或者證明∠DOA與∠EOA和同角(或等角)相等.由題目條件易知:AD = AB, ∠DAC = ∠BAE,AC = AE,所以△DAC ≌ △BAE.即△DAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與△BAE重合.所以可旋轉(zhuǎn)三角形的重要線段(或?qū)?yīng)線段),從而構(gòu)造三角形全等.

    方法1 (構(gòu)造對應(yīng)高相等)如圖1(2),過點A作AP⊥CD于點P, AQ⊥BE于點Q,則∠APD = ∠AQB = 90°. 因為△DAC ≌ △BAE,所以∠ADP = ∠ABQ,AD = AB,所以△ADP ≌ △ABQ,所以AP = AQ,又AO = AO,所以△APO ≌ △AQO(HL). 所以∠DOA = ∠EOA,即OA平分∠DOE.

    方法2 (構(gòu)造一般對應(yīng)線段)如圖1(3),在線段BE上截取BF = DO,

    因為△DAC ≌ △BAE,所以∠ADO = ∠ABF, AD = AB,所以△ADO ≌ △ABF, 所以∠DOA = ∠BFA,AO = BF,所以∠EOA = ∠BFA. 所以∠DOA = ∠EOA,即OA平分∠DOE.

    說明:△DAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與△BAE重合,在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個三角形的對應(yīng)元素始終相等,線段AO作為△DAC中的線段,在旋轉(zhuǎn)過程中必有某線段AF與之對應(yīng),因此可構(gòu)造△ADO ≌ △ABF. 但是我們在敘述輔助線的時候,不易在BE上取點F,使得AF = AO,所以要變換輔助線的敘述方法,在線段BE上截取BF = DO.

    拓展:如圖2,以△ABC的AB、AC為邊向三角形外正方形ABDE、ACFG,連接CE交AB于點H,連接BG交CE于點O.

    求證:(1)BG⊥CE;(2)OA平分∠EOG .

    說明:還可以向外構(gòu)造正五邊形得到類似的結(jié)論.

    2. 旋轉(zhuǎn)等腰三角形的頂角

    例2 如圖3(1),△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC = 120°,以點D為頂點作∠MDN = 60°,分別交AB、AC于M、N,連接MN.

    (1)探索線段BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

    (2)當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,其他條件不變,如圖3(2),探索BM、CN、MN之間的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.

    分析 (1)如圖3(2),從△BDC是等腰三角形入手,可以將△BDM繞點D旋轉(zhuǎn)120°,則點B落在點C,點M落在點E,點N、C、E共線,然后證明△MDN ≌ △EDN即可.

    (2)如圖3(4),同理將△BDM繞點D旋轉(zhuǎn)120°,則點B落在點C,點M落在點F,點A、F、C,在共線,然后證明△MDN ≌ △FDN即可.

    解析 (1)MN = BM + CN. 如圖3(2), 延長NC到E,使得CE = BM . 因為△BDC是等腰三角形,且∠BDC = 120°,所以 BD = CD,∠DBC = ∠DCB = 30°.

    又因為△ABC是正三角形,所以∠ABC = ∠ACB = 60°,所以∠MBD = ∠ECD = 90°,所以△BMD ≌ △CED(SAS),所以DM = DE,∠BDM = ∠CDE. 因為∠MDN = 60°,∠BDC = 120°,所以∠MDN = ∠EDN = 60°, 所以△MDN ≌ △EDN(SAS), 所以MN = EN. 所以MN = CE + CN,即MN = BM + CN.

    (2)MN = CN - BM. 如圖3(4),在CN上截取CF = BM,由(1)可知∠MBD = ∠FCD = 90°,BD = CD,所以△BMD ≌ △CFD(SAS). 所以DM = DF,∠BDM = ∠CDF,所以∠MDN = ∠FDN = 60°,所以△MDN ≌ △FDN(SAS),所以MN = FN. 所以MN = CN - CF,即MN = CN - BM.

    說明:△BDM繞點D旋轉(zhuǎn)120°,則點B落在點C,點M落在點E,因為∠NCD + ∠ECD = 180°,因此點N、C、E共線. 本題說明點共線比較容易,而當(dāng)我們在旋轉(zhuǎn)后,證明共線問題較困難時,我們可借鑒本題解析中的方法,轉(zhuǎn)變角度,變換輔助線的敘述方法,來回避共線問題的證明.

    總 結(jié)

    當(dāng)然,利用“旋轉(zhuǎn)法”添加輔助線的題型還很多,例如旋轉(zhuǎn)30°、60°、90°、120°、150°、180°等. 只要我們心中有“旋轉(zhuǎn)”的思想,在具體問題中注意變換輔助線的方法,通常都會使問題迎刃而解.

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