例談“旋轉(zhuǎn)法”構(gòu)造全等三角形，外顯解題思路與技巧

陳辰俠

證明三角形全等是解決線段與角相等或和、差、倍、分關(guān)系的重要方法，應(yīng)用“全等三角形”來解題時，通常需要添加輔助線，而很多同學(xué)在尋找輔助線的添法時往往感到無從下手，這也是很多學(xué)生認(rèn)為幾何比較難的重要原因.

平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是圖形運動中的三種全等變換，經(jīng)過全等變換后的圖形與原圖形是全等的. 因此，我們可以借助全等變換的方法幫助我們識別復(fù)雜圖形中的全等圖形，同時我們還可以利用全等變換將分散的條件集中，從而尋求添加輔助線的方法. 本文主要從圖形旋轉(zhuǎn)的角度，通過幾個具體的例題分析來談?wù)勈裁磿r候構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，怎樣構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，同時如何從學(xué)生的角度探索輔助線的敘述方法，從而幫助我們有效的解決問題，現(xiàn)呈現(xiàn)出來，希望得到指正.

1. 旋轉(zhuǎn)對應(yīng)線段

例1 已知如圖1（1），以△ABC的AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD，△ACE，連接CD，BE相交于點O.求證：OA平分∠DOE.

解析 本題是旋轉(zhuǎn)的基本模型，要證OA平分∠DOE，即證∠DOA = ∠EOA.可證∠DOA與∠EOA所在的三角形全等，或者證明∠DOA與∠EOA和同角（或等角）相等.由題目條件易知：AD = AB， ∠DAC = ∠BAE，AC = AE，所以△DAC ≌ △BAE.即△DAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與△BAE重合.所以可旋轉(zhuǎn)三角形的重要線段（或?qū)?yīng)線段），從而構(gòu)造三角形全等.

方法1 （構(gòu)造對應(yīng)高相等）如圖1（2），過點A作AP⊥CD于點P， AQ⊥BE于點Q，則∠APD = ∠AQB = 90°. 因為△DAC ≌ △BAE，所以∠ADP = ∠ABQ，AD = AB，所以△ADP ≌ △ABQ，所以AP = AQ，又AO = AO，所以△APO ≌ △AQO（HL）. 所以∠DOA = ∠EOA，即OA平分∠DOE.

方法2 （構(gòu)造一般對應(yīng)線段）如圖1（3），在線段BE上截取BF = DO，

因為△DAC ≌ △BAE，所以∠ADO = ∠ABF， AD = AB，所以△ADO ≌ △ABF， 所以∠DOA = ∠BFA，AO = BF，所以∠EOA = ∠BFA. 所以∠DOA = ∠EOA，即OA平分∠DOE.

說明：△DAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°與△BAE重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個三角形的對應(yīng)元素始終相等，線段AO作為△DAC中的線段，在旋轉(zhuǎn)過程中必有某線段AF與之對應(yīng)，因此可構(gòu)造△ADO ≌ △ABF. 但是我們在敘述輔助線的時候，不易在BE上取點F，使得AF = AO，所以要變換輔助線的敘述方法，在線段BE上截取BF = DO.

拓展：如圖2，以△ABC的AB、AC為邊向三角形外正方形ABDE、ACFG，連接CE交AB于點H，連接BG交CE于點O.

求證：（1）BG⊥CE；（2）OA平分∠EOG .

說明：還可以向外構(gòu)造正五邊形得到類似的結(jié)論.

2. 旋轉(zhuǎn)等腰三角形的頂角

例2 如圖3（1），△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC = 120°，以點D為頂點作∠MDN = 60°，分別交AB、AC于M、N，連接MN.

（1）探索線段BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，其他條件不變，如圖3（2），探索BM、CN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

分析 （1）如圖3（2），從△BDC是等腰三角形入手，可以將△BDM繞點D旋轉(zhuǎn)120°，則點B落在點C，點M落在點E，點N、C、E共線，然后證明△MDN ≌ △EDN即可.

（2）如圖3（4），同理將△BDM繞點D旋轉(zhuǎn)120°，則點B落在點C，點M落在點F，點A、F、C，在共線，然后證明△MDN ≌ △FDN即可.

解析 （1）MN = BM + CN. 如圖3（2）， 延長NC到E，使得CE = BM . 因為△BDC是等腰三角形，且∠BDC = 120°，所以 BD = CD，∠DBC = ∠DCB = 30°.

又因為△ABC是正三角形，所以∠ABC = ∠ACB = 60°，所以∠MBD = ∠ECD = 90°，所以△BMD ≌ △CED（SAS），所以DM = DE，∠BDM = ∠CDE. 因為∠MDN = 60°，∠BDC = 120°，所以∠MDN = ∠EDN = 60°， 所以△MDN ≌ △EDN（SAS）， 所以MN = EN. 所以MN = CE + CN，即MN = BM + CN.

（2）MN = CN - BM. 如圖3（4），在CN上截取CF = BM，由（1）可知∠MBD = ∠FCD = 90°，BD = CD，所以△BMD ≌ △CFD（SAS）. 所以DM = DF，∠BDM = ∠CDF，所以∠MDN = ∠FDN = 60°，所以△MDN ≌ △FDN（SAS），所以MN = FN. 所以MN = CN - CF，即MN = CN - BM.

說明：△BDM繞點D旋轉(zhuǎn)120°，則點B落在點C，點M落在點E，因為∠NCD + ∠ECD = 180°，因此點N、C、E共線. 本題說明點共線比較容易，而當(dāng)我們在旋轉(zhuǎn)后，證明共線問題較困難時，我們可借鑒本題解析中的方法，轉(zhuǎn)變角度，變換輔助線的敘述方法，來回避共線問題的證明.

總 結(jié)

當(dāng)然，利用“旋轉(zhuǎn)法”添加輔助線的題型還很多，例如旋轉(zhuǎn)30°、60°、90°、120°、150°、180°等. 只要我們心中有“旋轉(zhuǎn)”的思想，在具體問題中注意變換輔助線的方法，通常都會使問題迎刃而解.