“線段關(guān)系”疑無路 “圖形變換”又一村

文 趙 軍（特級教師）

（作者單位：江蘇省東臺市新街鎮(zhèn)中學(xué)）

平移、折疊和旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)中的三大基本變換。同學(xué)們?nèi)绻趯W(xué)習(xí)中靈活用好這三種變換，往往能化難為易。下面老師以圖形變換中線段之間的關(guān)系為例，談?wù)勥@三種變換方法在解題中的應(yīng)用。

一、平移變換

例1如圖1，線段AB=CD，AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠AOC=60°，則AC+BD與AB的大小關(guān)系是（ ）。

A.AC+BD＜ABB.AC+BD＞AB

C.AC+BD≥ABD.AC+BD≤AB

圖1

【思路分析】題目給出AB=CD和∠AOC=60°，我們不難發(fā)現(xiàn)條件比較分散，且容易聯(lián)想“等腰+60°”得到等邊三角形。但如何將條件中的“AB=CD”和“∠AOC=60°”放到同一個三角形中呢？我們可以考慮通過對線段平移將條件集中，并在某一個三角形中來判斷AC+BD與AB的大小關(guān)系。

如圖2，將線段AB平移至CE（即過點(diǎn)C作CE∥AB，且使CE=AB，連接BE），得∠ECD=∠AOC=60°，連接DE可得等邊△CDE、?ABEC，從而將AC轉(zhuǎn)化為BE，AB轉(zhuǎn)化為CE再轉(zhuǎn)化為DE，最終在△BDE中，得到BE+BD＞DE，特別地，當(dāng)點(diǎn)D、B、E共線時BE+BD=DE，所以AC+BD≥AB，故選C。

圖2

【歸納反思】我們將分散的條件通過平移得以集中，形成合力，使得條件的使用更具有“可用性”。本題中將AB平移至CE的同時，實(shí)際上AC也平移到了BE。兩次平移將分散的三條線段AC、BD、AB得以集中在同一個三角形中，為確定三者關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

【變換思路】如圖3，如果平移線段CD至AE，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，其他條件不變，你能證明AC+BD≥AB嗎？

圖3

二、折疊變換

例2如圖4，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求證：BC=CD。

圖4

【思路分析】由AC平分∠BAD可知，沿AC折疊，可使射線AD與射線AB重合。如圖5，若將AD折疊至AB邊上，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，此時，CD=CE、∠D=∠AEC，由∠AEC+∠CEB=180°，∠B+∠D=180°，得∠CEB=∠B，所以BC=CE，最后等量代換得BC=CD。

圖5

【歸納反思】折疊變換的解題思路是研究翻折前與翻折后的變化，尤其是抓住翻折過程中的不變量——圖形全等，從而帶來線段相等等幾何元素的關(guān)系。從條件出發(fā)，我們還可以考慮過點(diǎn)C分別作AB、AD邊的垂線（通過折疊形成對稱），運(yùn)用角平分線定理并通過證明兩個直角三角形全等得到結(jié)論。

【變換思路】如圖6，若將AB折疊至AD邊上，使點(diǎn)B落在AD延長線上的點(diǎn)F處，你還能證得結(jié)論嗎？

圖6

三、旋轉(zhuǎn)變換

例3如圖7，在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AB=BC，試 探究：AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系。

圖7

【思路分析】由條件中的∠ABC=60°和AB=BC可知：BA繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°與BC重合。由∠ABC=60°，∠ADC=30°可知，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=270°。如圖8，若將BA繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°的同時，將△ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBE，則△BCE≌△BAD。此時可得BD=BE、∠A=∠BCE，所以∠BCE+∠BCD=270°，故∠DCE=90°。然后由BD=BE、∠DBE=60°證得△BDE是等邊三角形，于是將BD轉(zhuǎn)化為ED。由△BCE≌△BAD能將AD轉(zhuǎn)化為CE，在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，最后得到CD2+AD2=BD2。

圖8

【歸納反思】用旋轉(zhuǎn)變換解決問題的前提條件是：存在相等的線段，且通常相等的線段有一個公共點(diǎn)。我們可以繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并使相等的線段重合，在此基礎(chǔ)上帶動圖形的其他部分一起旋轉(zhuǎn)，將分散的條件集中到某一圖形中，以便于問題的解決。

【變換思路】既然能將BA繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°與BC重合，那么，能否反過來按逆時針方向旋轉(zhuǎn)呢？如圖9，若將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BAF，連接DF，你能證明三者之間的關(guān)系嗎？

圖9

在探究線段之間關(guān)系的過程中，當(dāng)我們面對問題，陷入困境的時候，如果能選準(zhǔn)圖形變換的方法，將分散的條件相對集中（如集中到某一個三角形中），往往能達(dá)到柳暗花明又一村的效果。