解決幾何問題的好幫手——輔助線

徐詩佳

在解決一些幾何問題時，輔助線的合理添加往往至關(guān)重要，它可以使問題大大簡單化。添加輔助線有以下作用：一是揭示圖形中隱含的性質(zhì)，二是聚攏集中原則，三是化繁為簡原則，四是發(fā)揮特殊點、線的作用，五是構(gòu)造圖形的作用。而如何添加輔助線，我們可以從兩個方面入手：第一，圖形本身的性質(zhì)特征；第二，題設(shè)條件。下面舉例說明。

一、如圖1：正方形ABCD的對角線AC與BD交與點O，以正方形的邊BC為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，則△OBE的面積是多少。（2014年初二希望杯第20題）

分析：求三角形面積，常規(guī)方法是利用面積公式：S=■ah（h為a這條邊上的高）。在△OBE中，已知BE的長，因此只要求出BE邊上的高OM即可（如圖2）。

分析1：這是一道填空題，如果沒有任何思路求OM的長，有一種方法大家不陌生，就是猜。如圖2，（圖形很精確）BE=5，CE=3，利用直尺度量5所對應(yīng)的厘米數(shù)，再量出OM的厘米數(shù)，估計出OM=1。所以S△OBE=■BE·OM=■×5×1=■。

■

分析2：（添加輔助線）

思路：我們知道正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，因此在考慮添加輔助線時，重點利用它這些對稱性。由于△BCE是RT△（解題突破口），繞點O旋轉(zhuǎn)，即可得到圖3。這個模型，就為我們添加輔助線找到了思路?；氐綀D1，我們在旋轉(zhuǎn)△BCE的同時，△OBE也在旋轉(zhuǎn)。因此，我們不妨過點A，作AN⊥BE，連接ON（如圖2）?！鱋BE旋轉(zhuǎn)90°到△ONA。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角相等，因此OE旋轉(zhuǎn)到ON的旋轉(zhuǎn)角也為90°，顯然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易證OM=■EN=1。

以下是解答過程：（如圖2）

過O點作OM⊥BE，垂足為點M過點A

作AN⊥BE，垂足為點N，連接ON，

∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠ABC=∠ABN+∠1=90°，AO=BO，

∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=90°

∵AN⊥BE ∴∠ANB=∠BEC=90°

∴∠ABN+∠2=90° ∴∠1=∠2

在△BCE和△ABN中

∠1=∠2AB=BC∠BEC=∠AMB

∴△BCE≌△ABN ∴CE=BN=2，BE=AN

∵∠BAO=∠CBO，∠2=∠1

∴∠BAO-∠2=∠CBO-∠1

即∠OAN=∠OBE

在△OAN和△OBE中

AO=BO∠OAN=∠OBEAN=BE

∴△OAN≌△OBE ∴∠AON=∠BOE，ON=OE

即∠AOB+∠BON=∠EON+∠BON

∴∠AOB=∠EON=90°∴△EON是等腰RT△

∵OM⊥BE ∴OM是EN邊上的中線 ∴OM=■EN=1

二、如圖4，四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求證BD2=AB2+BC2。

■

分析：（如圖5）要證明BD2=AB2+BC2，我們馬上想到的就是勾股定理，這就提示了我們證明的方向——構(gòu)造△（把AB，BC，BD放在同一個△）并證明其是RT△。如何構(gòu)造RT△，這時題設(shè)條件就顯得尤為重要了。由∠ADC=60°，AD=CD這兩個條件，自然聯(lián)想到等邊△。因此以這個等邊△為解題突破口，問題迎刃而解。若直接連接AC，不能把AB，BC，BD聯(lián)系起來。所以我們需要構(gòu)造其他的等邊△。根據(jù)AD=CD，可以把△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點C與點A重合，這樣就構(gòu)造出一個等邊△。

解題思路：△BCD旋轉(zhuǎn)到△EAD，旋轉(zhuǎn)角∠BDE=∠CDA=60°，BD=ED，則△BDE是等邊△。這樣就把BC轉(zhuǎn)換成AE，BD轉(zhuǎn)換成BE，因此我們就要證明△ABE為RT△即可。

證明：如圖5，把△BCD繞點D旋轉(zhuǎn)，使得點C與點A重合，得到△EAD，連接BE。

依題意得，△BCD≌△EAD，∠BDE=∠CDA=60°

∴BD=ED，BC=EA，∠CBD=∠AED

∴△BDE是等邊△ ∴BD=BE，∠DBE+∠BED=120°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°

∴∠ABD+∠AED=30°

（∠DBE+∠BED）-（∠ABD+∠AED）

=∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°

∴∠BAE=180°-（∠ABE+∠AEB）=90°

∴BE2=AB2+AE2 ∵BD=ED，BC=EA ∴BD2=AB2+BC2

在解決一些幾何問題時，輔助線的合理添加往往至關(guān)重要，它可以使問題大大簡單化。添加輔助線有以下作用：一是揭示圖形中隱含的性質(zhì)，二是聚攏集中原則，三是化繁為簡原則，四是發(fā)揮特殊點、線的作用，五是構(gòu)造圖形的作用。而如何添加輔助線，我們可以從兩個方面入手：第一，圖形本身的性質(zhì)特征；第二，題設(shè)條件。下面舉例說明。

一、如圖1：正方形ABCD的對角線AC與BD交與點O，以正方形的邊BC為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，則△OBE的面積是多少。（2014年初二希望杯第20題）

分析：求三角形面積，常規(guī)方法是利用面積公式：S=■ah（h為a這條邊上的高）。在△OBE中，已知BE的長，因此只要求出BE邊上的高OM即可（如圖2）。

分析1：這是一道填空題，如果沒有任何思路求OM的長，有一種方法大家不陌生，就是猜。如圖2，（圖形很精確）BE=5，CE=3，利用直尺度量5所對應(yīng)的厘米數(shù)，再量出OM的厘米數(shù)，估計出OM=1。所以S△OBE=■BE·OM=■×5×1=■。

■

分析2：（添加輔助線）

思路：我們知道正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，因此在考慮添加輔助線時，重點利用它這些對稱性。由于△BCE是RT△（解題突破口），繞點O旋轉(zhuǎn)，即可得到圖3。這個模型，就為我們添加輔助線找到了思路?；氐綀D1，我們在旋轉(zhuǎn)△BCE的同時，△OBE也在旋轉(zhuǎn)。因此，我們不妨過點A，作AN⊥BE，連接ON（如圖2）。△OBE旋轉(zhuǎn)90°到△ONA。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角相等，因此OE旋轉(zhuǎn)到ON的旋轉(zhuǎn)角也為90°，顯然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易證OM=■EN=1。

以下是解答過程：（如圖2）

過O點作OM⊥BE，垂足為點M過點A

作AN⊥BE，垂足為點N，連接ON，

∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠ABC=∠ABN+∠1=90°，AO=BO，

∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=90°

∵AN⊥BE ∴∠ANB=∠BEC=90°

∴∠ABN+∠2=90° ∴∠1=∠2

在△BCE和△ABN中

∠1=∠2AB=BC∠BEC=∠AMB

∴△BCE≌△ABN ∴CE=BN=2，BE=AN

∵∠BAO=∠CBO，∠2=∠1

∴∠BAO-∠2=∠CBO-∠1

即∠OAN=∠OBE

在△OAN和△OBE中

AO=BO∠OAN=∠OBEAN=BE

∴△OAN≌△OBE ∴∠AON=∠BOE，ON=OE

即∠AOB+∠BON=∠EON+∠BON

∴∠AOB=∠EON=90°∴△EON是等腰RT△

∵OM⊥BE ∴OM是EN邊上的中線 ∴OM=■EN=1

二、如圖4，四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求證BD2=AB2+BC2。

■

分析：（如圖5）要證明BD2=AB2+BC2，我們馬上想到的就是勾股定理，這就提示了我們證明的方向——構(gòu)造△（把AB，BC，BD放在同一個△）并證明其是RT△。如何構(gòu)造RT△，這時題設(shè)條件就顯得尤為重要了。由∠ADC=60°，AD=CD這兩個條件，自然聯(lián)想到等邊△。因此以這個等邊△為解題突破口，問題迎刃而解。若直接連接AC，不能把AB，BC，BD聯(lián)系起來。所以我們需要構(gòu)造其他的等邊△。根據(jù)AD=CD，可以把△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點C與點A重合，這樣就構(gòu)造出一個等邊△。

解題思路：△BCD旋轉(zhuǎn)到△EAD，旋轉(zhuǎn)角∠BDE=∠CDA=60°，BD=ED，則△BDE是等邊△。這樣就把BC轉(zhuǎn)換成AE，BD轉(zhuǎn)換成BE，因此我們就要證明△ABE為RT△即可。

證明：如圖5，把△BCD繞點D旋轉(zhuǎn)，使得點C與點A重合，得到△EAD，連接BE。

依題意得，△BCD≌△EAD，∠BDE=∠CDA=60°

∴BD=ED，BC=EA，∠CBD=∠AED

∴△BDE是等邊△ ∴BD=BE，∠DBE+∠BED=120°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°

∴∠ABD+∠AED=30°

（∠DBE+∠BED）-（∠ABD+∠AED）

=∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°

∴∠BAE=180°-（∠ABE+∠AEB）=90°

∴BE2=AB2+AE2 ∵BD=ED，BC=EA ∴BD2=AB2+BC2

在解決一些幾何問題時，輔助線的合理添加往往至關(guān)重要，它可以使問題大大簡單化。添加輔助線有以下作用：一是揭示圖形中隱含的性質(zhì)，二是聚攏集中原則，三是化繁為簡原則，四是發(fā)揮特殊點、線的作用，五是構(gòu)造圖形的作用。而如何添加輔助線，我們可以從兩個方面入手：第一，圖形本身的性質(zhì)特征；第二，題設(shè)條件。下面舉例說明。

一、如圖1：正方形ABCD的對角線AC與BD交與點O，以正方形的邊BC為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，則△OBE的面積是多少。（2014年初二希望杯第20題）

分析：求三角形面積，常規(guī)方法是利用面積公式：S=■ah（h為a這條邊上的高）。在△OBE中，已知BE的長，因此只要求出BE邊上的高OM即可（如圖2）。

分析1：這是一道填空題，如果沒有任何思路求OM的長，有一種方法大家不陌生，就是猜。如圖2，（圖形很精確）BE=5，CE=3，利用直尺度量5所對應(yīng)的厘米數(shù)，再量出OM的厘米數(shù)，估計出OM=1。所以S△OBE=■BE·OM=■×5×1=■。

■

分析2：（添加輔助線）

思路：我們知道正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，因此在考慮添加輔助線時，重點利用它這些對稱性。由于△BCE是RT△（解題突破口），繞點O旋轉(zhuǎn)，即可得到圖3。這個模型，就為我們添加輔助線找到了思路?；氐綀D1，我們在旋轉(zhuǎn)△BCE的同時，△OBE也在旋轉(zhuǎn)。因此，我們不妨過點A，作AN⊥BE，連接ON（如圖2）?！鱋BE旋轉(zhuǎn)90°到△ONA。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角相等，因此OE旋轉(zhuǎn)到ON的旋轉(zhuǎn)角也為90°，顯然△EOM是等腰RT△。而由BN=CE=3，所以EN=BE—BN=5-3=2。易證OM=■EN=1。

以下是解答過程：（如圖2）

過O點作OM⊥BE，垂足為點M過點A

作AN⊥BE，垂足為點N，連接ON，

∵正方形ABCD

∴AB=BC，∠ABC=∠ABN+∠1=90°，AO=BO，

∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=90°

∵AN⊥BE ∴∠ANB=∠BEC=90°

∴∠ABN+∠2=90° ∴∠1=∠2

在△BCE和△ABN中

∠1=∠2AB=BC∠BEC=∠AMB

∴△BCE≌△ABN ∴CE=BN=2，BE=AN

∵∠BAO=∠CBO，∠2=∠1

∴∠BAO-∠2=∠CBO-∠1

即∠OAN=∠OBE

在△OAN和△OBE中

AO=BO∠OAN=∠OBEAN=BE

∴△OAN≌△OBE ∴∠AON=∠BOE，ON=OE

即∠AOB+∠BON=∠EON+∠BON

∴∠AOB=∠EON=90°∴△EON是等腰RT△

∵OM⊥BE ∴OM是EN邊上的中線 ∴OM=■EN=1

二、如圖4，四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求證BD2=AB2+BC2。

■

分析：（如圖5）要證明BD2=AB2+BC2，我們馬上想到的就是勾股定理，這就提示了我們證明的方向——構(gòu)造△（把AB，BC，BD放在同一個△）并證明其是RT△。如何構(gòu)造RT△，這時題設(shè)條件就顯得尤為重要了。由∠ADC=60°，AD=CD這兩個條件，自然聯(lián)想到等邊△。因此以這個等邊△為解題突破口，問題迎刃而解。若直接連接AC，不能把AB，BC，BD聯(lián)系起來。所以我們需要構(gòu)造其他的等邊△。根據(jù)AD=CD，可以把△BCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點C與點A重合，這樣就構(gòu)造出一個等邊△。

解題思路：△BCD旋轉(zhuǎn)到△EAD，旋轉(zhuǎn)角∠BDE=∠CDA=60°，BD=ED，則△BDE是等邊△。這樣就把BC轉(zhuǎn)換成AE，BD轉(zhuǎn)換成BE，因此我們就要證明△ABE為RT△即可。

證明：如圖5，把△BCD繞點D旋轉(zhuǎn)，使得點C與點A重合，得到△EAD，連接BE。

依題意得，△BCD≌△EAD，∠BDE=∠CDA=60°

∴BD=ED，BC=EA，∠CBD=∠AED

∴△BDE是等邊△ ∴BD=BE，∠DBE+∠BED=120°

∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°

∴∠ABD+∠AED=30°

（∠DBE+∠BED）-（∠ABD+∠AED）

=∠ABE+∠AEB=120°-30°=90°

∴∠BAE=180°-（∠ABE+∠AEB）=90°

∴BE2=AB2+AE2 ∵BD=ED，BC=EA ∴BD2=AB2+BC2