從旋轉(zhuǎn)的角度慧眼識圖

徐奎奎

【典例重現(xiàn)】如圖1，△ABC、△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，圖1中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而互相得到？（八年級下冊第89頁第12題）

解析：若想通過旋轉(zhuǎn)得到，這兩個三角形必須全等，且對應(yīng)點到某一定點的距離必須相等. 根據(jù)“SAS”可知△ABD ≌ △ACE，且點B和點C、點D和點E、點A和點A分別是對應(yīng)點，且點A是旋轉(zhuǎn)中心. 因此，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)42°就可以得到△ACE;同樣將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)42°就可以得到△ABD.

【啟示】 用旋轉(zhuǎn)的視角觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，通常能夠發(fā)現(xiàn)其中隱含著三角形全等的關(guān)系. 旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的大?。ㄈ热切蔚膶?yīng)角相等、對應(yīng)邊相等），因此可用旋轉(zhuǎn)變換線段的位置，將幾個分散的條件聚集在一起，為順利求解奠定基礎(chǔ).

【慧眼識圖1】 以等腰直角三角形為載體的基本圖形，如圖2.

【旋轉(zhuǎn)策略】 如圖2①，P為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，∠ACB = 90°，將△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使CA與CB重合，經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，把△ACP移動到△BCQ的位置（如圖2②），從而解決問題.

例1（2020·內(nèi)蒙古·通遼）如圖3，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點P在斜邊AB上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ = 90°，探究PA2，PB2，PC2三者之間的數(shù)量關(guān)系.

解析：觀察圖3發(fā)現(xiàn)△BCQ是由△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，這樣將AP轉(zhuǎn)化到線段BQ的位置，把PA，PB聚集到Rt△PBQ中，于是連接BQ.

∵∠ACB = ∠PCQ = 90°，∴∠ACP = ∠BCQ，

∵AC = BC，PC = QC，∴△ACP ≌ △BCQ（SAS），

∴AP = BQ，∠CBQ = ∠A = 45°，

∵∠CBP = 45°，∴∠ABQ = ∠CBP + ∠CBQ = 90°，

∴在Rt△PBQ中，BQ2 + BP2 = PQ2，∴AP2 + BP2 = PQ2，

∵△PCQ是等腰直角三角形，

∴PQ2 = 2PC2，∴AP2 + BP2 = 2PC2.

【慧眼識圖2】 以等邊三角形為背景的基本圖形，如圖4.

【旋轉(zhuǎn)策略】 如圖4①，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AC重合，經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，把分散的線段PA，PB，PC聚集到圖4②的等邊三角形APQ中.

例2（2020·山東·威海）（1）如圖5①，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點F. 直線BD，AC交于點H. 求∠BFC的度數(shù).

（2）如圖5②，在平面直角坐標(biāo)系中，點O的坐標(biāo)為（0，0），點M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動點，連接MN. 將線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，OK. 求線段OK長度的最小值.

解析：（1）觀察圖5①發(fā)現(xiàn)△BAD與△CAE是一對繞點A旋轉(zhuǎn)60°的全等三角形，旋轉(zhuǎn)變換將∠ABD轉(zhuǎn)化至∠ACE的位置，在△BFC中，利用三角形內(nèi)角和定理獲取問題答案.

∵△ABC與△ADE是等邊三角形，

∴AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60° = ∠ABC = ∠ACB，

∴∠BAD = ∠CAE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），∴∠ABD = ∠ACE，

∵∠ABD + ∠FBC = ∠ABC = 60°，∴∠ACE + ∠FBC = 60°，

∴∠BFC = 180° - ∠FBC - ∠ACE - ∠ACB = 60°.

（2）將線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，

∴MN = MK，∠NMK = 60°，∴△MNK是等邊三角形，

∴MK = MN = NK，∠NMK = ∠NKM = ∠KNM = 60°，

由題意可知點K的位置隨著點N的變化而變化，受旋轉(zhuǎn)模型啟發(fā)，可將△MOK繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△MQN，連接OQ（如圖5③），可得NQ = OK，只需求QN的最小值，顯然當(dāng)QN⊥y軸時，NQ有最小值.

由旋轉(zhuǎn)可知△MOK ≌ △MQN，∠OMQ = 60°，

∴OK = NQ，MO = MQ，

∴△MOQ是等邊三角形，∴∠QOM = 60°，∴∠NOQ = 30°，

∵OK = NQ，∴當(dāng)NQ為最小值時，OK有最小值.

由垂線段最短可得：當(dāng)QN'⊥y軸時，N'Q有最小值，

此時，QN'⊥y軸，垂足為N'，∠N'OQ = 30°，

∴N'Q [=12]OQ [=32]，∴線段OK的最小值為[32].