巧借三角形全等條件，妙設(shè)未知量解三角形

摘要：利用正弦定理與余弦定理解平面幾何問題是高考的熱點，其中需要設(shè)未知量的題目是一個難點.本文中巧借初中學的全等三角形的判定條件，先定性分析已知條件需要補充哪些條件可以唯一確定三角形，再妙設(shè)需要補充的邊或角為未知量，最后根據(jù)正弦定理、余弦定理進行定量計算，從而為學生尋找到解平面幾何復雜問題的方法.

關(guān)鍵詞：全等三角形;全等判定;解三角形;余弦定理；正弦定理

解三角形是高考中的熱點，一般考查正弦定理、余弦定理的合理使用，都比較簡單.新高考對學生利用正余弦定理（正弦定理與余弦定理的簡稱）解平面幾何圖形問題的能力提出了更高的要求.高中學生在解答平面幾何圖形問題時，最怕一類題：題目只給出部分邊和角，以及幾何圖形，但是邊角條件不足以直接求解圖形.此類題題干看似簡單，但條件分散到各個三角形中，學生容易被迷惑，是用正弦定理還是用余弦定理？是設(shè)邊還是設(shè)角？究竟選擇哪條邊或者哪個角設(shè)為未知量，有很多不確定性，使得很多中等生在此類解答題中丟分太多.為此，我們想尋求一些方法為解決此類題目提供思路.

1 知識溯源

蘇教版（2019）新教材，必修第二冊第11章第一節(jié)“余弦定理”的例1：

根據(jù)下列條件解三角形：

（1）已知b=3，c=1，A=60°，求a;

（2）已知a=4，b=5，c=6，求A.

我們可以看出，第（1）題已知兩條邊和兩邊的夾角，求解三角形，正好符合初中全等三角形的判定條件邊角邊（SAS）；第（2）題已知三條邊，求解三角形，正好符合初中全等三角形的判定條件邊邊邊（SSS）.教材中在例題旁邊提出探究問題“用余弦定理來解三角形，其結(jié)果是唯一確定的嗎？為什么？”根據(jù)初中平面幾何知識，可以知道這兩種情況對應的所有三角形都是全等的，因此是唯一確定的.而利用高中的余弦定理通過計算可以得出其余的邊和角也是唯一的.初中全等三角形從定性的角度，滿足一些條件的三角形是唯一的，高中余弦定理從定量的角度計算得出三角形也是唯一的.雖然二者是從不同角度研究三角形，但二者可以互相補充，定量驗證定性，定性反過來也可能為定量提供思路[1].

再看同一章的第二節(jié)“正弦定理”的例1：在三角形ABC中，A=30°，C=100°，a=10，求b，c.已知兩角和其中一角的對邊，可以看出符合全等三角形的判定條件角角邊（AAS）.課后練習的第2題的第（1）問：已知A=75°，B=45°，c=32，求a，b.已知兩角及其夾邊，符合全等三角形的判定條件角邊角（ASA）.正弦定理量化了全等三角形AAS和ASA的唯一確定性，從定性到定量，初中三角形全等的條件得到了升華，高中利用正余弦定理解三角形找到了源頭.

既然利用正余弦定理解三角形是過去已有知識的量化，那意味著能用兩個定理解決的平面幾何問題，是否可以先定性分析再定量計算呢？當遇到?jīng)]有思路的解三角形問題時，可以先借用定性分析，確定滿足全等三角形所缺少的條件，設(shè)缺少的條件為未知量，唯一確定三角形，從而進行定量計算.已有知識為新知識服務(wù)，新知識從已有知識得到啟發(fā)，全等三角形知識給與思考方向，正余弦定理實際去解決問題，為我們解決復雜平面幾何問題提供了思路.

初中平面幾何中利用舉反例的方法說明SSA不能唯一確定三角形，只能進行定性分析，但是利用正余弦定理可以解三角形，不過可能涉及兩組解、一組解或者無解的情況.邊角關(guān)系、全等判斷和對應的正余弦定理關(guān)系，如表1[2]所示：

2 試題剖析

下面以江蘇省南京市、鹽城市2022-2023學年高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題第18題第（2）問為例，分析如何利用全等三角形定性分析思考方向，從而解決未知量的選擇問題.

例1在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P為△ABC內(nèi)的一點，滿足AP⊥CP，∠APB=2π3.若BC=7，求AP.

思路1：作出圖形，如圖1.

在△ABC中，已知AC=2，BC=7，∠BAC=π3，利用SSA思考可知，可以試著求解三角形，得出AB=3.本題是求AP的長，因此很多學生直接設(shè)AP=x，想去表示其余的量.若要求出x，則需要建立等式關(guān)系.在△ABP中，AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos2π3，可以用x表示出BP的長.在Rt△ACP中，CP2=AC2-AP2=4-x2.在△BPC中，

BC2=BP2+CP2-2BP·CP·cos5π6，①

此式中每個量都可以用x表示，理論上可解，但實際上BP的長度不方便表示，導致①也不方便求解.

評析：思路1，在△ABP中，設(shè)AP=x，相當于已知AB，AP和∠APB，滿足SSA條件，去求BP的長.再去建立①式方程.很明顯，由SSA不一定唯一確定三角形，從而BP長不一定有解，導致求解難以進行下去.因此，我們思考能不能利用其他全等的條件來設(shè)未知量.如在△ABP中，已知一邊AB和對角∠APB，可以再加一角，即可構(gòu)造AAS，唯一確定三角形.于是得到如下思路2.

思路2：同思路1求出AB=3.在△ABP中，構(gòu)造“AAS”，可設(shè)∠ABP=α，則∠BAP=π3-α，再由∠BAC=π3，得∠CAP=α，在△ACP中，AP=2cos α.

在△ABP中，ABsin∠APB=APsin∠ABP，即3sin2π3=2cos αsin α，得tan α=33.因為α∈0，π3，所以α=π6，從而AP=2×32=3.

反思：對于思路2，也可設(shè)∠BAP=α或∠CAP=α來表示其余的角，再求解.不管設(shè)哪個角，同樣都是定性構(gòu)造了AAS，再利用正弦定理定量求解三角形.因此，我們想到是否可以推廣為借用初中平面幾何全等的幾種判定條件，設(shè)未知邊或者未知角補齊判定條件，從而妙解三角形.

3 深入探究

3.1 一邊一對角，AAS引導，增加一角

若三角形中已知一邊和一對角，由三角形全等判定條件AAS知要唯一確定三角形，則可設(shè)另一角，構(gòu)造AAS解三角形.

例2在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足2a=b+2ccos B.

（1）求角C的大小；

（2）若c=23，∠ABC與∠BAC的平分線交于點I，求△ABI周長的最大值.

思路：（1）易得C=π3.

（2）由（1）知∠ABC+∠BAC=2π3，而∠BAC與∠ABC的平分線交于點I，則∠ABI+∠BAI=π3，于是∠AIB=2π3.如圖2，在△ABI中，已知一邊和一對角，即AB=23，∠AIB=2π3，補充一個角設(shè)∠ABI=θ，則∠BAI=π3-θ，且0lt;θlt;π3.

在△ABI中，由正弦定理得BIsinπ3-θ=AIsin θ=ABsin∠AIB=23sin2π3=4，所以BI=4sinπ3-θ，AI=4sin θ，從而△ABI的周長為23+4sinπ3-θ+4sin θ=23+4sinθ+π3.由0lt;θlt;π3，得π3lt;θ+π3lt;2π3，則當θ+π3=π2，即θ=π6時，△ABI的周長取得最大值4+23，所以△ABI周長的最大值為4+23.

評析：本思路也可設(shè)∠BAI=θ，同樣構(gòu)造AAS唯一確定三角形，其余各元素均可用θ的三角函數(shù)表示出來，方便周長最值的計算.若不設(shè)角，選擇設(shè)邊的話，構(gòu)造的是SSA，不一定能唯一確定三角形，其余元素也不能完全確定，可能會導致解三角形失敗.

3.2 一邊一鄰角，ASA/SAS引導，增加角或邊，設(shè)角優(yōu)先若三角形中已知一邊和一鄰角，由三角形全等判定條件ASA知要唯一確定三角形，則可設(shè)另一角，構(gòu)造ASA解三角形.也可由三角形全等條件SAS唯一確定三角形，設(shè)角的另一邊，構(gòu)造SAS解三角形.

例3如圖3，在平面四邊形ABCD中，DC=2AD=42，∠BAD=π2，∠BDC=π6.若∠C=∠ADC，求BC.

思路1：在Rt△ABD中，已知AD=22，∠A=90°，根據(jù)SAS唯一確定三角形，補充一邊設(shè)AB=x，其余的量都用x表示，并根據(jù)∠C=∠ADC建立等式關(guān)系，從而解出x，再表示BC的長.

嘗試如下：設(shè)AB=x，則BD=x2+8，由余弦定理，可得BC=CD2+BD2-2CD·BD·cosπ6=32+x2+8-46（x2+8），則cos C=cos∠ADC=cos∠ADB+π6=32cos∠ADB-12sin∠ADB，可知上述等式中的量可用x表示，只需解方程即可得出x，從而可以得出BC的值.但是實際做題時，學生難以在有限的時間內(nèi)得出答案.換個角度，已知一邊和一鄰角，還可以構(gòu)造ASA解三角形.

思路2：在Rt△ABD中，已知AD=22，∠A=π2，由ASA唯一確定三角形，補充一角設(shè)∠ADB=θ，則cos θ=22BD，∠C=θ+π6.在△BCD中，由正弦定理，可以得到BDsin C=DCsin∠DBC，即22cos θsinθ+π6=42sin2π3-θ，整理得2sin2θ+π3-sinθ+π3-12=0，又sinθ+π3gt;0，解得sinθ+π3=1+54，又由正弦定理可得42sin2π3-θ=BCsinπ6，所以BC=210-22.

評析：已知一邊一鄰角，通過設(shè)邊，第三邊比較容易表示，但另外兩角較難表示，導致題目中角的相等條件很難轉(zhuǎn)換.設(shè)角解題，第三個角比較容易表示，再用正弦定理，另外兩邊也較容易表示，并且題目中角的相等條件也很方便轉(zhuǎn)換.因此在題目中給出一邊和一鄰角，并且伴有其他角的條件時，根據(jù)AAS，優(yōu)先選擇設(shè)角解題.

3.3 兩邊已知，SSS/SAS引導，邊角均可

若三角形已知兩條邊，由三角形全等判定條件，SSS和SAS均可以唯一確定三角形，因此可以考慮補充第三條邊，或者兩邊的夾角，唯一確定三角形，再根據(jù)正余弦定理表示其余的邊角，求解三角形.

例4如圖4，在△ABC中，D為AC的中點，且BD=12BC，若AC=3AB=6，求sin∠ABD.

思路1：在△ABD中，已知兩邊AD=3，AB=2，補充一角設(shè)∠A=θ，構(gòu)造“SAS”解三角形.由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos θ=13-12cos θ，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos θ=40-24cos θ，再由已知BD=12BC，聯(lián)立三式，可得cos θ=12，則BD2=7，即BD=7.又由正弦定理，得BDsin θ=ADsin∠ABD，可得sin∠ABD=32114.

思路2：在△ABD中，已知兩邊AD=3，AB=2，補充第三邊設(shè)BD=x，構(gòu)造“SSS”解三角形.由BD=12BC，得BC=2x，結(jié)合AC=3AB=6，在△BCD中，由余弦定理可得4x2=32+x2-6xcos∠BDC，在△ABD中，根據(jù)余弦定理可得22=32+x2-6xcos∠BDA，兩式相加得x=7.在△ABD中，由余弦定理可得32=22+72-2×27cos∠ABD，解得cos∠ABD=714.

又∠ABD∈（0，π），所以sin∠ABD=32114.

評析：思路1選擇補充角，思路2選擇補充邊，均是根據(jù)全等的判定條件，唯一確定三角形，再根據(jù)余弦定理算兩次的思想，解出三角形的其他元素.兩個思路的由來都可以歸結(jié)到全等的條件，因此可以看出，在選擇設(shè)邊或者設(shè)角時，以補充全等判定條件為原則，求解三角形較為方便.再如例5的第（2）問：

例5如圖5，在平面四邊形ABCD中，AD=BD，∠ADB=90°，CD=22，BC=2.

（1）若∠BDC=45°，求線段AC的長；

（2）求線段AC長的最大值.

思路：第（1）問略.對于第（2）問，由（1）學生易想到設(shè)∠BDC=θ，求解AC.但是在△BCD中，已知CD=22，BC=2，這樣的話構(gòu)造的就是SSA了.求解時，發(fā)現(xiàn)會比較困難.而如果設(shè)∠BCD=θ，構(gòu)造SAS，唯一確定三角形，求解則較為方便.先在△BCD中，由余弦定理可得BD=22+（22）2-2×2×22cos θ=12-82cos θ，進而由正弦定理可得sin∠BDC=BCsin θBD=2sin θBD.又AD=BD=12-82cos θ，在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cosπ2+∠BDC=20+16sinθ-π4≤36，當且僅當θ-π4=π2，即θ=3π4時取“=”，此時AC=6.所以當θ=3π4時，線段AC的長取最大值6.

評析：很多學生在解第（2）問時，容易受到第（1）問的影響，直接設(shè)∠BDC=θ.而根據(jù)三角形全等的條件，已知兩邊，應該從SAS入手，直接設(shè)兩邊的夾角，能夠唯一確定三角形，從而使得邊角的表示都是唯一的，找到AC的函數(shù)表達式求出最值.

3.4 兩角已知，AAS/ASA引導，增加一邊

若三角形已知兩角，由AAS和ASA要唯一確定三角形，則只需設(shè)邊，即可唯一表示其余的邊角，從而求解三角形相關(guān)問題.

例6如圖6，在△ABC中，∠A=90°，點D在BC邊上，在平面ABC內(nèi)，過點D作DF⊥BC且DF=AC.若∠ABC=30°，且CD=3BD，求tan∠CFB.

思路1：題中已知∠A=90°，∠ABC=30°，補一夾邊，可構(gòu)造ASA，因此設(shè)AB=m，可得AC=33m，BC=233m，又DF=AC，CD=3BD，所以DF=33m，BD=36m，CD=32m.

又因為DF⊥BC，所以tan∠CFD=32m33m=32，tan∠BFD=36m33m=12.

所以tan∠CFB=tan （∠CFD+∠BFD）=8.

思路2：同樣已知兩角∠A=90°，∠ABC=30°，可以補一鄰邊，構(gòu)造AAS，可設(shè)AC=k，易得DF=k，BD=12k，CD=32k，從而也可以得到tan∠CFB=tan （∠CFD+∠BFD）=8.

評析：兩個思路，同樣是需要補充一邊，思路2構(gòu)造AAS也可以設(shè)另一鄰邊BC.可以看出，兩角確定時，只需要設(shè)三角形的其中一邊，即可表示其余的邊，從而求解三角形的各種問題.

4 教學思考

從上述探究中可以深刻體會到，初中三角形全等的判定，定性說明了已知兩角一邊或者兩角時，可以利用AAS或ASA來唯一確定三角形，再利用高中的正弦定理可以定量計算其余邊和角.同樣已知兩邊，可以利用SAS和SSS來唯一確定三角形，再利用高中的余弦定理也可以定量計算其余邊和角.

高中正余弦定理使得初中三角形全等判定得到了量化解釋，從定性到定量，二者互相聯(lián)系，互相印證，融為一體.在正余弦定理的學習過程中，應提醒學生多從已學三角形全等的角度思考，注意二者之間的聯(lián)系，借助已有知識促進新知識的理解.根據(jù)題目所得的條件，巧用三角形全等的判定條件提供思路，妙設(shè)合適的邊或角為未知量，提高解題效率.

參考文獻：

[1]郎麗芳.“正弦定理和余弦定理”的教學反思[J].新課程學習（下），2012（6）：116117.

[2]袁學東.解三角形的一種教學方式的探討[J].中學生數(shù)理化（教與學），2021（4）：94.