基于數(shù)學(xué)邏輯一致性設(shè)計前后連貫的概念教學(xué)

曹淑艷

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)知識不是孤立的散點，而是一個邏輯連貫的體系. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要著眼于全局，將單一知識融于知識體系中引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)、去探索、去反思、去總結(jié)，以此幫助學(xué)生全面深刻理解知識的同時，建構(gòu)完善的知識體系. 在教學(xué)“函數(shù)概念”時，教師站在中學(xué)數(shù)學(xué)體系的高度審視教材，通過多環(huán)節(jié)的滲透與強(qiáng)化揭示函數(shù)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生體悟知識間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化與完善和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展與提升.

［關(guān)鍵詞］ 知識體系；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)中的地位和作用是不言而喻的. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生不單要理解和記憶概念，還要領(lǐng)悟概念本質(zhì)，提煉蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法，掌握其與其他知識間的聯(lián)系，以此建構(gòu)完善的知識體系，發(fā)展數(shù)學(xué)能力. 在概念教學(xué)中，教師要重視新舊知識間的“聯(lián)結(jié)點”，將分散的、碎片的知識有效地串聯(lián)起來，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí).

函數(shù)概念具有高度的抽象性，若教學(xué)中僅將概念具體內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，而不帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念抽象的過程，學(xué)生將難以理解和掌握，這樣勢必會影響后期對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等相關(guān)函數(shù)知識的學(xué)習(xí). 為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握函數(shù)概念，教師可以在不同知識內(nèi)容中滲透函數(shù)思想方法，通過分時段、分層次的逐層滲透，逐步建立函數(shù)概念.

關(guān)注知識的“聯(lián)結(jié)點”，滲透函數(shù)思想

周知，數(shù)學(xué)知識不是孤立存在的，數(shù)學(xué)知識之間存在著千絲萬縷的關(guān)系，因此教師在教學(xué)中要學(xué)會從整體、聯(lián)系的角度出發(fā)，站在中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的高度思考不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，將零散的、碎片化的知識聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系. 從整體視角審視函數(shù)概念不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)與求代數(shù)式的值、方程等內(nèi)容密切聯(lián)系，因此教師在教學(xué)“代數(shù)式的值”“方程”等內(nèi)容時，可以有意識地滲透函數(shù)思想，以此為函數(shù)概念的建立奠定基礎(chǔ).

1. 在“代數(shù)式的值”教學(xué)中滲透

在教學(xué)“代數(shù)式的值”時，教師可以讓學(xué)生思考這樣一個問題：若想知道20-4x的值，需要知道什么？根據(jù)學(xué)生的回答，教師可以適時地追問：當(dāng)x=1時，代數(shù)式20-4x的值為16，那么是不是可以說20-4x的值是16呢？這樣通過追問讓學(xué)生體會：代數(shù)式的值會隨著字母的值變化而變化，若字母的值被唯一確定，則代數(shù)式的值就被唯一確定，但是代數(shù)式的值有無數(shù)個，不能說20-4x的值是16. 在此基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生先按照要求填寫表1，然后歸納總結(jié)自己的發(fā)現(xiàn)，以此借助表格的直觀讓學(xué)生體會其中的“變化與對應(yīng)”.

2. 在“二元一次方程組”教學(xué)中滲透

教學(xué)“二元一次方程組”時，大多數(shù)教師會以生活實例為切入點，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，以此提高學(xué)生的探究欲. 在教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了這樣一個問題情境：進(jìn)入淘汰賽階段，每場比賽都要分出勝負(fù). 若勝一場積2分，負(fù)一場積1分，某籃球隊共參加22場比賽，總積分為40分，則該籃球隊勝幾場？負(fù)幾場？學(xué)生根據(jù)已知設(shè)該籃球隊勝x場，負(fù)y場，易得兩個方程：x+y=22和2x+y=40. 在求解過程中，教師讓學(xué)生思考這樣一個問題：滿足條件x+y=22且符合實際意義的x，y值有哪些？請將符合實際意義的x，y值填入表2中.

學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗得到了許多滿足方程x+y=22的x，y的值，在此基礎(chǔ)上教師讓學(xué)生思考x=-1，y=23和x=1.5，y=20.5是否符合條件，由此讓學(xué)生體會符合條件的x，y的值應(yīng)該在非負(fù)整數(shù)這個范圍內(nèi). 這樣通過經(jīng)歷以上探究過程，學(xué)生理解函數(shù)概念“在某個變化過程中”這一條件時自然輕車熟路. 另外，在此過程中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考滿足方程2x+y=40的x，y的值，進(jìn)一步體會一個值隨著另一個值變化而變化的過程. 同時在此基礎(chǔ)上教師順勢追問：每當(dāng)給定x一個值時，能夠得到幾個y值？以此進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對單值對應(yīng)的理解，為后續(xù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，前面知識往往是學(xué)習(xí)后面知識的基礎(chǔ)和保障，教師作為課堂教學(xué)的組織者和啟發(fā)者，要關(guān)注知識間的前后聯(lián)系，通過前期的滲透為后面的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，以此幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點.

關(guān)注知識的“生長點”，建立函數(shù)概念

函數(shù)概念所呈現(xiàn)的是一個量隨著另一量變化而變化的關(guān)系，這種變化和對應(yīng)關(guān)系對于學(xué)生來說并不陌生——生活中許多問題都有這種變化和對應(yīng)關(guān)系. 不過值得注意的是，雖然在前面教學(xué)中教師有意識地滲透了變化和對應(yīng)關(guān)系，但是學(xué)生對這種兩個變量之間的單值變化關(guān)系并未形成深刻的認(rèn)識，因此在實際教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生已有知識和經(jīng)驗為出發(fā)點，借助實例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感悟這種變化和對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而通過探索、交流、歸納等逐漸建立函數(shù)概念.

1. 巧借實例，滲透概念的實質(zhì)

問題1? 行程問題是我們非常熟悉的問題，行程問題中涉及哪些量？

預(yù)設(shè)：速度（v）、時間（t）、路程（S）.

問題2? 若一輛汽車勻速行駛，其行駛速度為60 km/h，那么時間（t）和路程（S）存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

預(yù)設(shè)：S=60t.

問題3? 在S=60t中，兩個變量按照怎樣的規(guī)律變化？若其中一個量是定值，那么另外一個量是否可以確定？若可以確定，有幾個值與之對應(yīng)？

預(yù)設(shè)：學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)經(jīng)驗及生活經(jīng)驗可以輕松判定路程（S）隨著時間（t）的增加而變大，若t為定值，則S的值也隨之唯一確定.

設(shè)計意圖? 以學(xué)生熟悉的實例為研究背景，引導(dǎo)學(xué)生探索蘊含其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，讓學(xué)生自主建構(gòu)常量與變量之間的關(guān)系，體會一個量隨著另一個量變化而變化的規(guī)律，理解單值對應(yīng)，為抽象函數(shù)概念打下堅實的基礎(chǔ).

2. 對比分析，生成函數(shù)的概念

問題4? 表3是某校近幾年的學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計表.

思考：觀察表3，對于表中每一個確定的年份（x），是否都有確定的學(xué)生人數(shù)（y）與之唯一對應(yīng)呢？

問題5? 圖1是某地某天的氣溫變化圖.

（1）4時、12時、20時的氣溫分別是多少？

（2）若時間t是確定的，那么對應(yīng)的氣溫T是唯一且確定的嗎？

思考：（1）以上實例具有怎樣的共同特征？請結(jié)合其共同特征嘗試給函數(shù)下定義.

（2）函數(shù)和函數(shù)值有何區(qū)別？函數(shù)值和之前我們學(xué)習(xí)的哪些內(nèi)容存在聯(lián)系？

（3）結(jié)合以上實例說一說，可以用什么形式來呈現(xiàn)兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計意圖? 以學(xué)生熟悉的生活實例為背景，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，能夠調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，使抽象的概念更加具體化、生動化，使概念的生成變得自然、順暢. 另外，在此過程中，教師運用三種不同表示形式的實例既引導(dǎo)學(xué)生深刻地感悟兩個變量之間的唯一對應(yīng)關(guān)系，又為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示形式做準(zhǔn)備，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系.

3. 思考辨析，理解概念的本質(zhì)

問題6? 生活中有許多體現(xiàn)函數(shù)關(guān)系的實例，你能列舉一些嗎？

設(shè)計意圖? 教師預(yù)留時間讓學(xué)生根據(jù)自己對函數(shù)概念的理解列舉一些生活實例，以此進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解. 同時，通過分析實例，讓學(xué)生初步體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，以培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力.

問題7? 圖2所示的曲線中，哪些表示y是x的函數(shù)？

問題給出后，教師讓學(xué)生獨立思考，然后組織學(xué)生合作交流. 學(xué)生根據(jù)函數(shù)的概念得到如下結(jié)論：①②③中的y是x的函數(shù)；④⑤中的y不是x的函數(shù)，但是④⑤中的x是y的函數(shù)，其理由是④⑤中的每一個確定的x值，不止一個y值與之對應(yīng)，但是每一個確定的y值，都有唯一的x值與之對應(yīng).

設(shè)計意圖? 通過前面實例的探究，學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了函數(shù)的概念，在此基礎(chǔ)上，教師給出實例繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考辨析，以此拓寬概念的外延，為高中學(xué)習(xí)函數(shù)概念打下堅實的基礎(chǔ).

問題8? 已知一輛汽車的平均油耗量為0.1 L/km，油箱中油量y（單位：L）隨著行駛路程x（單位：km）的變化而變化.

（1）油箱內(nèi)有50 L的油，在不加油的情況下，請寫出表示油箱內(nèi)的油量y（單位：L）與行駛路程x（單位：km）的函數(shù)關(guān)系的式子，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）圖3中哪個圖象能夠正確表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系？

從學(xué)生反饋來看，學(xué)生根據(jù)已知易得函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=50-0.1x，不過在求自變量x的取值范圍時，部分學(xué)生給出的答案是“自變量x取一切實數(shù)”，可見學(xué)生因忽視問題的實際意義而出現(xiàn)了錯誤. 在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，根據(jù)實際意義求得自變量x的取值范圍為0≤x≤500. 這樣通過具體問題的解決讓學(xué)生體會這個變化是在自變量的取值范圍內(nèi)的變化，以此加深學(xué)生對函數(shù)定義域的理解，為后續(xù)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)積累認(rèn)知經(jīng)驗. 問題（2）中，引導(dǎo)學(xué)生對圖象進(jìn)行辨析，讓學(xué)生直觀體驗一個量隨著另一個量變化而變化的過程，加深學(xué)生對“變化與對應(yīng)”這一函數(shù)本質(zhì)的理解，為后續(xù)函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.

問題9? x與x之間是否存在函數(shù)關(guān)系？如果存在，x是x的函數(shù)，還是x是x的函數(shù)？

學(xué)生根據(jù)函數(shù)概念通過正反兩個方面進(jìn)行驗證順利得到結(jié)論，以此進(jìn)一步強(qiáng)化對單值對應(yīng)的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

在教學(xué)中，教師通過典型例題加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解，從而為應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ). 同時，在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從文字、表格、圖象中提取信息，一方面可以規(guī)避單一練習(xí)所帶來的枯燥感，有效激發(fā)學(xué)生參與課堂的積極性和主動性；另一方面可以提高學(xué)生看圖識圖能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，推動學(xué)生綜合能力和綜合素養(yǎng)的發(fā)展與提升.

關(guān)注知識的“延伸性”，深化對函數(shù)概念的理解

學(xué)習(xí)是一個不斷發(fā)展、不斷完善的過程，學(xué)生對函數(shù)概念的理解亦是如此. 在后續(xù)函數(shù)圖象、三角函數(shù)等相關(guān)知識的教學(xué)中，教師可以函數(shù)概念為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生自主參與相關(guān)知識的建構(gòu)，進(jìn)一步深化對函數(shù)概念的理解，促進(jìn)個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善與生長.

1. 在“函數(shù)圖象”教學(xué)中深化

函數(shù)圖象因其具有直觀、形象、簡潔等特點而成為研究函數(shù)的重要工具. 在函數(shù)圖象教學(xué)中，教師應(yīng)以函數(shù)概念的本質(zhì)為抓手，在探索新知的過程中促進(jìn)學(xué)生深化對函數(shù)概念的理解. 如在繪制函數(shù)圖象的過程中，不僅要讓學(xué)生掌握繪制函數(shù)圖象的方法，還要引導(dǎo)學(xué)生理解畫法背后的意義，從而掌握函數(shù)的三要素；在讀圖識圖的過程中，通過圖形變化讓學(xué)生體會函數(shù)是一個變化過程，而函數(shù)圖象可以直觀地反映函數(shù)這一變化過程；在應(yīng)用函數(shù)圖象的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)圖象去探索兩個變量之間的變化趨勢和變化規(guī)律，以此進(jìn)一步加深學(xué)生對“變化和對應(yīng)”的理解. 這樣通過逐層深入，不僅能深化學(xué)生對函數(shù)的理解，還能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識.

2. 在“銳角三角函數(shù)”教學(xué)中深化

銳角三角函數(shù)以函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)為知識背景，其所呈現(xiàn)的是一邊隨著另一邊變化而變化的關(guān)系. 在銳角三角函數(shù)教學(xué)中，教師以函數(shù)的本質(zhì)為抓手，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建銳角三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的邏輯一致性，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)并完善知識體系.

特定情境：在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）觀察圖4，說一說在變化中哪些量是不變的？

（2）若∠A=30°，那么它所在的三角形的每條邊的比值是否被唯一確定？如圖5，若∠A取其他數(shù)值呢？此時三角形每條邊的比值是否被唯一確定？

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)觀點審視“銳角三角函數(shù)”，自主建構(gòu)銳角三角函數(shù)的定義，這樣既可以突出函數(shù)的應(yīng)用價值，加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解和掌握，又能拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 因此在新知教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生回頭看，讓學(xué)生用已有知識和經(jīng)驗解決問題，這樣一方面可以鞏固已有知識，另一方面可以將陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，推動學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，應(yīng)該認(rèn)真研究教材、認(rèn)真研究教學(xué)，站在數(shù)學(xué)知識體系的高度設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，實施教學(xué)計劃，以此順利突破教學(xué)重難點，切實提高教學(xué)品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.