初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中APOS理論的應(yīng)用探究

余玥剛

【摘要】APOS理論是關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論模型，一般包括實(shí)踐與活動階段（ACTION）、過程與經(jīng)過階段（PROCESS）、對象階段（OBJECT）、圖式階段（SCHEME）.融合APOS理論的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，需要注意過程靈活性、學(xué)生主體性、內(nèi)容探究性等應(yīng)用原則，同時在活動、過程、對象、圖式等不同階段靈活采用相應(yīng)的策略.鑒于此，文章以APOS理論為切入點(diǎn)，簡述了APOS理論應(yīng)用的原則，重點(diǎn)探討了APOS理論在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用策略，以期幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念教學(xué)；APOS理論；應(yīng)用原則；策略

引 言

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生“建造數(shù)學(xué)大廈”的基礎(chǔ).尤其對于初中階段的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)概念更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.初中數(shù)學(xué)有數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實(shí)踐四個板塊，其中數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個板塊會涉及數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).但是數(shù)學(xué)概念是人類對現(xiàn)實(shí)客觀世界在空間形式和數(shù)量關(guān)系等方面的概括與反映，具有很強(qiáng)的理論性與抽象性，這就造成了數(shù)學(xué)概念相對來說比較晦澀難學(xué). APOS理論使學(xué)生經(jīng)過思維的實(shí)踐、過程、對象、圖式等幾個階段的學(xué)習(xí)鍛煉后，更能理清問題情境，從而解決問題.在建構(gòu)主義的理論基礎(chǔ)之上，學(xué)生更能夠主動地感知概念形成的動態(tài)過程，投入更多的專注力，感知概念和背景之間的相關(guān)性，順暢地總結(jié)數(shù)學(xué)概念，從而有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).

一、APOS理論簡述

APOS理論是以美國人杜賓塞斯為代表的研究團(tuán)體提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論模型.大約在20世紀(jì)80年代末，杜賓塞斯團(tuán)隊(duì)就開始了APOS理論的相關(guān)研究，并于1991年在《高等數(shù)學(xué)思維》上面發(fā)表了第一篇關(guān)于APOS理論的文章，這正式拉開了關(guān)于APOS理論的研究.目前為止，國內(nèi)外都對APOS理論進(jìn)行了研究.其中，國外學(xué)者的研究主要針對理論本身.自1991年杜賓塞斯正式開始APOS理論的研究后，杜賓塞斯和諸多學(xué)者先后對其進(jìn)行了理論補(bǔ)充. 1996年，杜賓塞斯等人又發(fā)表了《在大學(xué)教育中一種研究和課程發(fā)展框架》，并在本科生群體中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，使得APOS理論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的使用更加廣泛，并且在現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行了實(shí)踐驗(yàn)證.國內(nèi)和國外的學(xué)者不同，國內(nèi)的學(xué)者更傾向于APOS理論的理解闡釋和教學(xué)應(yīng)用，并不注重理論本身的研究.馬曉丹的《APOS理論探索的反思與超越》就曾闡釋過其對APOS理論的見解，并指出不能把APOS理論的四個階段理解為線性結(jié)構(gòu)，不能把APOS理論簡單地理解為一種代數(shù)學(xué)習(xí)理論.此外，鄭云秀等人在《基于初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高效課堂教學(xué)策略研究》中就嘗試將APOS理論和具體的教學(xué)實(shí)踐結(jié)合起來進(jìn)行研究.此后，劉穩(wěn)華等人在2005年嘗試將APOS理論延伸到物理學(xué)科的教學(xué)上.

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者對APOS的研究都比較重視，都進(jìn)行了諸多研究，但有關(guān)APOS在數(shù)學(xué)概念的實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用原則和應(yīng)用策略的研究較少，因此還有較大的研究空間.

二、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中APOS理論的應(yīng)用原則

（一）教學(xué)過程中的靈活性原則

初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程融合APOS理論需要注意，活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段這四個過程是APOS理論必要的組成部分，但它們并不是簡單的線性結(jié)構(gòu)，需要堅(jiān)持靈活性原則.上文已提到，馬曉丹在《APOS理論探索的反思與超越》中就曾論證了“將APOS理論理解為一種簡單的線性結(jié)構(gòu)是極大的錯誤”，APOS理論的四個階段并不是線性結(jié)構(gòu)，而是可以根據(jù)情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整和融合的.換言之，因?yàn)閷W(xué)生的學(xué)情是不一樣的，所以存在對知識的接受能力和自學(xué)能力等方面的差異.

比如，初中階段數(shù)學(xué)概念的板塊就存在很大的區(qū)別，“數(shù)與代數(shù)”板塊側(cè)重學(xué)生對數(shù)理的感知和理解，而“圖形與幾何”板塊明顯側(cè)重學(xué)生對空間能力的鍛煉.這些差異都說明，死板地把APOS理論的四個階段進(jìn)行線性理解是無法應(yīng)對這些千變?nèi)f化的教學(xué)實(shí)踐的，會嚴(yán)重影響APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用效果，甚至可能會產(chǎn)生適得其反的結(jié)果，而靈活的教學(xué)過程使得融入了APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)更加符合實(shí)踐需要，因此教師在教學(xué)過程中可以對四個階段進(jìn)行適當(dāng)取舍和重復(fù)，保證教學(xué)能夠根據(jù)不一樣的學(xué)情和教學(xué)內(nèi)容更具有針對性，從而最大限度地發(fā)揮APOS理論的作用.

（二）教學(xué)實(shí)施時的學(xué)生主體性原則

APOS理論的實(shí)質(zhì)就是充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生動起來，主動地融入課堂，積極參與教學(xué)活動，這體現(xiàn)了“學(xué)生主體性”的教學(xué)原則.所謂“學(xué)生主體性”原則，簡單來說就是課堂應(yīng)以學(xué)生為主體，教師只是引導(dǎo)者，這樣的教學(xué)理念也被稱為“學(xué)生本位思想”.受到建構(gòu)主義思想的影響，APOS理論認(rèn)為學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主要建構(gòu)者，能夠通過外界的各種活動形式，尤其是經(jīng)過專門設(shè)計的教學(xué)活動形成自己獨(dú)特的思維結(jié)構(gòu)，也就是學(xué)生自己形成對知識的獨(dú)特理解，搭建自己的知識架構(gòu).因此，“學(xué)生主體性”原則要求教師積極改變傳統(tǒng)的“教師一言堂”教學(xué)模式，改變“灌輸”“單一的講述”等教學(xué)形式，采取體現(xiàn)學(xué)生主體性且生動有趣的教學(xué)活動和教學(xué)環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，把知識的被動接受改為學(xué)生的主動學(xué)習(xí)，使學(xué)生真正成為課堂的“主人”.

教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，在教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)學(xué)生的主體性，巧妙安排教學(xué)環(huán)節(jié).首先，課堂開端的教學(xué)環(huán)節(jié)要稍微簡單且有趣，讓學(xué)生感受到成就感和趣味感，勾起學(xué)生學(xué)習(xí)的動力和欲望，為后續(xù)的教學(xué)環(huán)節(jié)做鋪墊.然后，教師在后面的教學(xué)環(huán)節(jié)中要有由淺入深的難度安排，為學(xué)生留下思考和交流的空間，爭取讓每一名學(xué)生都能夠親身體驗(yàn)到參與課堂活動的樂趣.當(dāng)然，教師要把握好“引導(dǎo)”的程度，把握好“引導(dǎo)”的力度和時機(jī)，這樣才能帶動整個課堂的節(jié)奏與氛圍.

（三）教學(xué)內(nèi)容的探究性原則

不管是教學(xué)活動，還是教學(xué)過程，對學(xué)生來說都應(yīng)有一定的探究性.探究性原則應(yīng)體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容的探究性和教學(xué)過程的探究性.就教學(xué)內(nèi)容來說，課堂教學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)概念知識應(yīng)深入其本質(zhì)，不能只停留在教材表面，也不能一味地為了融合APOS理論而丟棄數(shù)學(xué)概念原有的深度.就教學(xué)過程來說，探究性體現(xiàn)在教學(xué)活動由淺入深的過程.一般在課堂教學(xué)的開始階段，教師應(yīng)注重趣味性，以便學(xué)生能夠獲得學(xué)習(xí)的成就感.但是，教學(xué)過程決不能只停留在這樣的簡易階段，而是應(yīng)該向難度更高、內(nèi)涵更深的層次靠近.教師應(yīng)在循序漸進(jìn)的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識探索，由被動學(xué)習(xí)向主動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變.

三、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中APOS理論的應(yīng)用策略

APOS理論的應(yīng)用策略可以圍繞活動、過程、對象、圖式四個階段來思考.各個階段因?yàn)閭?cè)重的角度不一樣，所以采取的策略也會有很大的區(qū)別.

（一）活動階段

活動階段是數(shù)學(xué)概念教學(xué)融合APOS理論的基礎(chǔ)階段，主要任務(wù)是為后面幾個階段做鋪墊.在該階段，教師應(yīng)該基于學(xué)情分析，創(chuàng)設(shè)活動情境以引入新的概念，并結(jié)合班級的整體情況，選擇恰當(dāng)?shù)幕顒有问?，逐步培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

1.創(chuàng)設(shè)活動情境

創(chuàng)設(shè)活動情境是活動階段的重要策略.貼合生活和符合學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的情境有益于激發(fā)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，拉近學(xué)生與課堂的關(guān)系，初步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在這一階段，教師需要創(chuàng)設(shè)好情境，既不宜脫離學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又不宜超出學(xué)生的認(rèn)知水平.同時，教師要運(yùn)用視頻和圖片等多種形式，多角度地創(chuàng)設(shè)活動情境.

比如，在進(jìn)行“平面直角坐標(biāo)系”的數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，教師可以通過播放關(guān)于“建黨一百周年”的視頻創(chuàng)設(shè)情境.視頻中有排列整齊的、人山人海的景象，而這個動態(tài)的景象和“平面直角坐標(biāo)系”有著很強(qiáng)的聯(lián)系，即景象中關(guān)于人群方陣的行列、位置的確定等都是和平面直角坐標(biāo)系的位置相通的.同時，此次情境導(dǎo)入的對象是學(xué)生易于理解的簡單視頻.在播放視頻后，學(xué)生已經(jīng)在頭腦中形成了有關(guān)“位置確定”“行與列”等方面的意識.在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生把注意力轉(zhuǎn)移到課堂上，拋出“如何在教室中確定課桌的位置”這一問題，從而引出“有序數(shù)對”的相關(guān)概念.

2.構(gòu)建活動形式

活動形式是建立在情境創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)上的.活動形式的選擇直接影響著情境創(chuàng)設(shè)的效果.活動形式有很多，關(guān)鍵是教師要根據(jù)學(xué)生的接受能力、班級的整體狀況等具體條件來進(jìn)行選擇.比如，在上面提到的“平面直角坐標(biāo)系”的概念教學(xué)中，學(xué)生對視頻的導(dǎo)入有著極大的好感，同時視頻具有直觀、有趣等特點(diǎn)，因此教師選擇了視頻導(dǎo)入的活動形式.再如，學(xué)生對教室是比較熟悉的，因此教師選擇利用教室中課桌的位置確定來創(chuàng)設(shè)“有序數(shù)對”的概念情境.

（二）過程階段

過程階段是為了幫助學(xué)生在經(jīng)歷親身體驗(yàn)和探索后，對所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念形成初步的印象.教師需要在這個階段引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主概括，抽象出相關(guān)數(shù)學(xué)概念的定義，并形成初步理解.

1.深化活動內(nèi)容

活動階段之后，學(xué)生已經(jīng)初步接觸了將要學(xué)習(xí)的概念，此時就要承接過程階段，為學(xué)生形成初步的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行過渡.教師引導(dǎo)學(xué)生交流合作、歸納總結(jié)，深化活動內(nèi)容，加強(qiáng)學(xué)生對情境導(dǎo)入對象的特征認(rèn)識和概念感知.

我們同樣以“平面直角坐標(biāo)系”的教學(xué)實(shí)踐說明深化活動內(nèi)容的應(yīng)用策略.在觀看視頻和討論教室課桌位置的問題后，教學(xué)內(nèi)容逐步從具體到抽象，教師可向?qū)W生拋出曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的“數(shù)軸”的抽象知識.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過如何在數(shù)軸上確立一個點(diǎn)A的坐標(biāo)，因此教師可在此基礎(chǔ)上拋出問題：如何確定不在數(shù)軸上的點(diǎn)D的坐標(biāo).學(xué)生分組合作，交流討論，小組輪流發(fā)言.在討論過后，教學(xué)過程承接情境導(dǎo)入，教師聯(lián)系數(shù)軸和關(guān)于點(diǎn)D的位置確定，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“位置確定”從“一維”到“二維”的認(rèn)知發(fā)展，深化對“位置確定”的討論.

2.初步形成概念

深化活動內(nèi)容后，學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)概念的初步認(rèn)識已基本形成.雖然學(xué)生形成了數(shù)學(xué)概念，但是整個教學(xué)行為并沒有結(jié)束.比如，在實(shí)現(xiàn)“從一維到二維”的概念認(rèn)識之后，教師還要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的邏輯之美和抽象之美，組織學(xué)生進(jìn)行必要的概念表述活動.

（三）對象階段

對象階段的重點(diǎn)在于所要學(xué)習(xí)的概念，這一階段是在初步理解數(shù)學(xué)概念后，進(jìn)行完整消化的過程.

1.細(xì)化概念理解

大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念都是抽象的，因此學(xué)生對概念的理解存在偏差.在這種情況下，教師應(yīng)該借助分析辨別、變化探討、逐步探究等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將其理解的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深化，從而充分掌握數(shù)學(xué)概念.

2.鞏固概念生成

細(xì)化概念理解本身就是為了鞏固學(xué)生生成的數(shù)學(xué)概念，因此教師應(yīng)積極組織各種探究活動.比如，在學(xué)生形成關(guān)于“平面直角坐標(biāo)系”的初步概念后，教師可以安排其他點(diǎn)的坐標(biāo)探究.

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，存在C，D，E，F(xiàn)四個點(diǎn)，分別處于坐標(biāo)系的第一、二、三、四象限中，存在G，H兩個點(diǎn)，分別處于X軸、Y軸上.

A.原點(diǎn)O的坐標(biāo)是什么？

B.X軸上的G點(diǎn)和Y軸上的H點(diǎn)各有什么特點(diǎn)？

C.各個象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)有什么特征？

教師將學(xué)生分成幾個小組，討論學(xué)習(xí)后，各小組選出代表發(fā)言，發(fā)表小組探究學(xué)習(xí)的結(jié)果.

學(xué)生在經(jīng)歷了本次探究后，對平面直角坐標(biāo)系的特征、構(gòu)成、作用等認(rèn)識都能得到強(qiáng)化，對平面直角坐標(biāo)系的概念認(rèn)識也得到了極大的鞏固.

（四）圖式階段

一般來說，圖式階段是數(shù)學(xué)概念教學(xué)融合APOS理論的最后階段，其主要作用是幫助學(xué)生完成對相關(guān)數(shù)學(xué)概念的綜合理解，令其在“知其然”的基礎(chǔ)上“知其所以然”.教師在這一過程中要積極發(fā)揮學(xué)生的主動性，幫助其自主構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)網(wǎng).

1.分組合作歸納

分組合作歸納承接小組合作探究活動，但是其側(cè)重點(diǎn)不同，其所涉及的范圍也更加廣，主要任務(wù)是幫助學(xué)生回顧整個概念學(xué)習(xí)的過程，疏通各個階段之間的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生對所學(xué)概念的整體感知和綜合把握.

2.完善知識結(jié)構(gòu)

最后，教師應(yīng)該幫助學(xué)生進(jìn)行知識結(jié)構(gòu)的把握，完成思維導(dǎo)圖.比如，教師引導(dǎo)學(xué)生在“平面直角坐標(biāo)系”的學(xué)習(xí)中完成以下知識結(jié)構(gòu)圖解（如圖1）.

結(jié) 語

總體來說，APOS理論在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有著很大的優(yōu)勢，但是教師在教學(xué)過程中要注意四個階段的靈活安排，堅(jiān)持“學(xué)生本位思想”.同時，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程需要具備探究性.在應(yīng)用策略方面，活動階段注重情境創(chuàng)設(shè)，應(yīng)靈活選擇活動形式；過程階段側(cè)重活動內(nèi)容，幫助學(xué)生初步形成概念；對象階段重點(diǎn)鞏固所學(xué)概念；圖式階段梳理教學(xué)過程，完成知識結(jié)構(gòu)的搭建.

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