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    精心引導(dǎo)滲透方法彰顯探究魅力

    2017-01-05 20:35:51陸燕
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2016年6期
    關(guān)鍵詞:APOS理論探究學(xué)習(xí)概念教學(xué)

    陸燕

    【摘要】概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中很重要的環(huán)節(jié),概念教學(xué)要遵循學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的階段順序,讓學(xué)生主動(dòng)參與概念的生成、發(fā)展過程.本文結(jié)合APOS理論,通過課堂實(shí)踐來探討如何利用探究學(xué)習(xí)深化數(shù)學(xué)概念的教學(xué).

    【關(guān)鍵詞】概念教學(xué);探究學(xué)習(xí);APOS理論

    從教以來,每次到高三總復(fù)習(xí)時(shí),筆者總發(fā)現(xiàn)某些學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯概念性的錯(cuò)誤,而這些問題在高一高二已經(jīng)強(qiáng)調(diào)多遍,追根溯源,不難發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生對(duì)概念的理解并不到位,只是局限于通過反復(fù)的操練,所形成的假性的理解而已.因此,我們?cè)谛抡n中要利用探究學(xué)習(xí)來引導(dǎo)概念的生成,以促進(jìn)學(xué)生真正地掌握.

    “探究學(xué)習(xí)”是指學(xué)生通過主動(dòng)探索,相對(duì)獨(dú)立地作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造,包括由此而獲得科學(xué)活動(dòng)的實(shí)際體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)[1].通過探究學(xué)習(xí),讓學(xué)生在探究的過程中親歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展,自然類比得出概念,從而不僅把握概念的本質(zhì)含義,而且體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義,提升學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性.

    《分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》是蘇教版必修1第三章第一節(jié)內(nèi)容,以下筆者就結(jié)合APOS理論,用課堂實(shí)錄的方式呈現(xiàn)部分教學(xué)片段,以期能探討一下“探究學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)課堂新授課中的應(yīng)用:

    杜賓斯基認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要心理建構(gòu),個(gè)體在解決感性材料中的問題時(shí)獲得了數(shù)學(xué)知識(shí).建構(gòu)的過程有四個(gè)階段:操作或活動(dòng)階段,過程階段,對(duì)象階段,圖式階段.

    1實(shí)例探究引入,自然進(jìn)入活動(dòng)階段

    “活動(dòng)階段”是指學(xué)生通過一系列外顯性的指令去改變數(shù)學(xué)對(duì)象的過程,它是獲得數(shù)學(xué)概念的一個(gè)必要條件.許多概念的本質(zhì)是內(nèi)隱的,需要經(jīng)過一系列外顯的探究活動(dòng)來獲得.

    PPT:考古學(xué)家按照這樣的規(guī)律來推測(cè)生物所處的年代:生物體死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.

    根據(jù)此規(guī)律,人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系:P=12t5730.

    T:當(dāng)生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少?

    S:體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的12,122,123,……

    T:當(dāng)生物體死亡了6000年,10000年,100000年后,它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少?

    S:體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的1260005730,12100005730,121000005730,……

    T:同學(xué)們,你們觀察一下兩組數(shù)據(jù)的指數(shù)可發(fā)現(xiàn)第一組指數(shù)為整數(shù),而第二組呢?

    S:第二組指數(shù)為分?jǐn)?shù).

    T:很好,通過這個(gè)生活實(shí)例,我們發(fā)現(xiàn):指數(shù)的形式不僅可以是整數(shù),還可以是分?jǐn)?shù),為了更好地解決這類問題,我們今天將先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

    設(shè)計(jì)目的:

    數(shù)學(xué)的概念源于生活,充滿著人類探索的情意成分,其中需要人們依賴已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、實(shí)踐、歸納、抽象、概括等人類的理性思考活動(dòng)[2].數(shù)學(xué)概念本身比較抽象,而通過具體的生活例子引入,有利于讓學(xué)生主動(dòng)分析材料,進(jìn)行探究.在探究中深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)概念發(fā)展的必然性.而這種探究的過程促使學(xué)生主動(dòng)聯(lián)系知識(shí)體系中的相關(guān)概念,從而不斷地完善概念體系.本節(jié)課先從問題實(shí)例探究引入,依據(jù)APOS理論,通過改變同一個(gè)實(shí)例的問題,達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)指數(shù)的形式從以前熟悉的整數(shù)擴(kuò)充到了分?jǐn)?shù),從而自然引入新概念:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,并且為以后的指數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)下伏筆.

    2類比探究引領(lǐng),輕松掌控過程階段

    “過程階段”是對(duì)外顯數(shù)學(xué)活動(dòng)的進(jìn)一步思考過程,當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次重復(fù)活動(dòng)并對(duì)其熟悉后,便會(huì)在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述,通過一系列心理操作,抽象出概念的本質(zhì)特征.

    T:一般地,如果x2=a,那么x叫做a的S:平方根.T:如果x3=a,那么x叫做a的;

    S:立方根.T:以此類比,一般地,如果x4=a,則x叫做a的四次方根;如果x5=a,,則x叫做a的五次根;……那么:一般地,若,則x叫做a的;

    S:一般地,如果xn=a,,那么x叫做a的n次實(shí)數(shù)方根.

    T:很好,同學(xué)們通過類比的數(shù)學(xué)思想方法,得到了n次實(shí)數(shù)方根的概念.那么,你會(huì)求n次實(shí)數(shù)方根嗎?

    PPT:

    1)x2=25,則x=,即25的平方根是,

    2)x4=81,則x=,即81的四次方根是,

    3)x6=64,則x=,即64的六次方根是,

    4)x3=27,則x=,即27的三次方根是,

    5)x5=32,則x=,即32的五次方根是,

    6)x3=-8,則x=,即-8的三次方根是,

    7)x5=-32,則x=,即-32的五次方根是

    T:(學(xué)生口答填空后)通過分析,你有何發(fā)現(xiàn)?能否得到一個(gè)一般性的結(jié)論?

    S:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),n為奇數(shù)時(shí),n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè).

    T:真好.你們已經(jīng)會(huì)求這些數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根了,而且還知道了要分類討論.我們知道如果x2=25,則x=±5,即25的平方根是±5,那么將它改成x2=26呢?S:x=±26

    T:對(duì),我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)必須用根式來表示它了.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),記為±na,n為奇數(shù)時(shí),n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè),記為na.那么0的n次實(shí)數(shù)方根呢?

    S∶0的n次實(shí)數(shù)方根為0.

    板書:xn指數(shù)↑↓底數(shù)=a冪↑→n為偶數(shù)時(shí)x=±na,

    n為奇數(shù)時(shí)x=na.

    (n:根指數(shù),a:被開方數(shù))

    T:被開方數(shù)a有什么要求呢?S:n為奇數(shù)時(shí),a∈R,n為偶數(shù)時(shí),a≥0.

    PPT:觀察以下式子,并總結(jié)出規(guī)律:(a>0)

    210=252=25=2102,

    3312=3343=34=3123,

    4a12=4a34=a3=a124,

    5a10=5a25=a2=a105.

    T:以上式子將根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,我們觀察分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的指數(shù),有何發(fā)現(xiàn)?

    S:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的指數(shù)剛好是

    根式的被開發(fā)數(shù)的指數(shù)根指數(shù).

    T:很好.我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,那么,當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí),根式能表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式嗎?

    PPT:利用以上的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?(a>0)

    21=,32=,3211=,4315=,

    5a17=

    (學(xué)生回答時(shí)同步PPT顯示)21=212,

    32=313,3211=2113,4315=3154,5a17=a175.

    T:很好.我們發(fā)現(xiàn):當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.

    板書:amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1)

    T:為什么要限制a>0?……

    設(shè)計(jì)目的:

    結(jié)合APOS理論,本階段先設(shè)計(jì)了兩次概念類比探究:第一次探究得到了n次實(shí)數(shù)方根的概念,再設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單題組,讓學(xué)生在求n次實(shí)數(shù)方根的過程中發(fā)現(xiàn)有的有兩個(gè),有的只有一個(gè),進(jìn)而利用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想總結(jié)出n次實(shí)數(shù)方根要分奇偶討論,最后再設(shè)計(jì)開不出的n次實(shí)數(shù)方根,從而自然得到根式的概念.而第二次探究是探究根式如何轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,進(jìn)而得到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.這樣,通過不斷重復(fù)“活動(dòng)或操作”促進(jìn)學(xué)生分析類比,自覺對(duì)活動(dòng)進(jìn)行再整合,進(jìn)而通過一系列思考抽象出概念的本質(zhì)特征,不僅完善了數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng),而且增長(zhǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

    3實(shí)踐探究整合,精彩聚集對(duì)象階段

    “對(duì)象階段”是給抽象出的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號(hào),使其成為一個(gè)具體的對(duì)象.當(dāng)學(xué)生把過程看作一個(gè)整體,并對(duì)它進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作時(shí),過程也就凝聚成了對(duì)象.并能夠?qū)⑵渥鳛橐粋€(gè)具體的“實(shí)體”參與到其他數(shù)學(xué)問題的研究、轉(zhuǎn)化或其他概念操作過程之中.經(jīng)過該階段的學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)“概念”有了深刻的認(rèn)識(shí),不僅能夠具體而明確地指出“概念”所具有的各種性質(zhì),同時(shí)將概念用于實(shí)施特定的數(shù)學(xué)演算之中.

    PPT:例1求下列各式的值:

    (1)52,3-23,5-0.15.

    (2)4-24,3-π2,51-35.

    (學(xué)生口答,教師板演)

    T:比較一下兩組題目,我們可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)的位置有什么不同?

    S:第一組題目的指數(shù)在根號(hào)外面,第二組題目的指數(shù)在根號(hào)里面.

    T:很好,那么我們先將第一組題目的式子一般化后可寫成:(na)n=,第二組題目的式子一般化后可寫成:

    S:(na)n=a,nan=a,n為奇數(shù)

    a,n為偶數(shù)

    PPT:例2求值:(1)10012;(2)823;(3)9-32;(4)181-34.(學(xué)生口答,教師板演)

    T:從剛才的計(jì)算中,你能探究出此類題目的解題方法嗎?

    S:將底數(shù)先寫成指數(shù)冪的形式,然后就可以利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算了.

    T:那么將若干個(gè)指數(shù)冪用符號(hào)連起來,就變成以下形式,你會(huì)做嗎?

    PPT:823×100-12×14-3×1681-34.

    設(shè)計(jì)目的:

    從“概念的形成”的角度看,重要是獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本方法,蘊(yùn)含了用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)刻畫和研究現(xiàn)實(shí)事物的方法和途徑,這是一個(gè)帶有“本源”性質(zhì)的過程[3].從過程階段螺旋上升到對(duì)象階段的過程正是探究概念相關(guān)性質(zhì)的過程,例1中兩組題目代表不同的類型,通過同組,相鄰組類比歸納,自然總結(jié)出根式的相關(guān)公式,而例2的運(yùn)算從簡(jiǎn)單的題目入手,發(fā)現(xiàn)利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的妙處,即學(xué)習(xí)該新概念的用處,之后,再將它作為實(shí)體對(duì)象,去指導(dǎo)進(jìn)行新的“活動(dòng)”,即參與到更復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算中.這樣層層遞進(jìn),自然引導(dǎo),深化了概念的理解,更新了認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu).

    4歸納探究總結(jié),構(gòu)建完善圖式階段

    “圖式階段”是與初始階段的圖式建立聯(lián)系,并把這個(gè)圖式納入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,逐步建立與其它概念、規(guī)則和圖形的聯(lián)系,進(jìn)而形成系統(tǒng)化的概念框架,構(gòu)建完善成綜合心理圖式.

    T:同學(xué)們,你們能自己總結(jié)一下這節(jié)課的內(nèi)容嗎?(學(xué)生小組討論后回答)

    S:我們學(xué)習(xí)了根式的概念,n次實(shí)數(shù)方根的性質(zhì),分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

    T:(結(jié)合板書)我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)概念、一個(gè)性質(zhì)、一個(gè)公式及一組運(yùn)算性質(zhì).你能總結(jié)一下這節(jié)課用到的數(shù)學(xué)思想方法嗎?S:分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸.

    設(shè)計(jì)目的:

    通過前三個(gè)階段的循序漸進(jìn)的引導(dǎo),本節(jié)課的新概念及相關(guān)的性質(zhì)等已經(jīng)在學(xué)生的頭腦中形成了初步的認(rèn)知模型,而初始圖示僅反映概念的表征,這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫向、縱向比較聯(lián)系,逐級(jí)總結(jié)抽象,不斷完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此,本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)小結(jié)時(shí)利用板書稍加修改形成知識(shí)框架圖,而數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)又讓學(xué)生重新回顧了相關(guān)概念及性質(zhì)的推導(dǎo)過程,領(lǐng)會(huì)并加以總結(jié).這樣,不僅加深了概念的理解,而且將新舊知識(shí)點(diǎn)匯聚成一個(gè)整體,從而構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖式.

    APOS理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論,強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)要重視數(shù)學(xué)問題的社會(huì)背景,并需要圍繞概念教學(xué)設(shè)計(jì)探究活動(dòng),通過探究促進(jìn)學(xué)生自然思考概念與生活的聯(lián)系,理解概念的本質(zhì),并在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立抽象概念與相關(guān)知識(shí)間的相互統(tǒng)一.

    總之,概念教學(xué)要遵循學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的階段順序,要讓學(xué)生主動(dòng)參與概念的生成、發(fā)展過程,從中體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活而又服務(wù)于生活.而這種探究概念的過程,不僅促進(jìn)了概念的理解和應(yīng)用,而且能從中領(lǐng)會(huì)到解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)而提升了學(xué)生解決問題的能力,體現(xiàn)了概念的教學(xué)價(jià)值.

    參考文獻(xiàn)

    [1]鄭毓信,吳曉紅.數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)之省思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2005第2期.

    [2]湯炳興.在概念教學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)做數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2002年11月第11卷第4期.

    [3]章建躍,陶維林.概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2010年第49卷第1期.

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