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    2016年北京大學(xué)博雅計劃自主招生數(shù)學(xué)試題及解答

    2017-01-05 20:58:41甘志國
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2016年6期
    關(guān)鍵詞:題設(shè)三邊切點

    甘志國

    選擇題共20小題.在每小題的四個選項中,只有一項符合題目要求,請把正確選項的代號填在表格中,選對得5分,選錯扣1分,不選得0分.

    1.直線y=-x+2與曲線y=-ex+a相切,則a的值為( )

    A.-3B.-2C.-1D.前三個答案都不對

    2.已知三角形ABC的三邊長分別為a,b,c,則下面四個結(jié)論中正確的個數(shù)為( )

    (1)以a,b,c為邊長的三角形一定存在

    (2)以a2,b2,c2為邊長的三角形一定存在

    (3)以a+b2,b+c2,c+a2為邊長的三角形一定存在

    (4)以a-b+1,b-c+1,c-a+1為邊長的三角形一定存在

    A.2B.3C.4D.前三個答案都不對

    3.設(shè)AB,CD是⊙O的兩條垂直直徑,弦DF交AB于點E,DE=24,EF=18,則OE等于( )

    A.46B.53

    C.62D.前三個答案都不對

    4.函數(shù)

    f(x)=1p,若x為有理數(shù)qp,p與q互素,

    0,若x為無理數(shù),

    則滿足x∈(0,1)且f(x)>17的x的個數(shù)為( )

    A.12B.13C.14D.前三個答案都不對

    5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根,則a+b-2c的值為( )

    A.-13B.-9C.-5D.前三個答案都不對

    6.已知k≠1,則等比數(shù)列a+log2k,a+log4k,a+log8k的公比為( )

    A.12B.13C.14D.前三個答案都不對

    7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值為( )

    A.-116B.-132

    C.-164D.前三個答案都不對

    8.設(shè)a,b,c為實數(shù),a,c≠0,方程ax2+bx+c=0的兩個虛數(shù)根為x1,x2滿足x21x2為實數(shù),則∑2015k=0x1x2k等于( )

    A.1B.0C.3iD.前三個答案都不對

    9.將12個不同物體分成3堆,每堆4個,則不同的分法種類為( )

    A.34650B.5940

    C.495D.前三個答案都不對

    10.設(shè)A是以BC為直徑的圓上的一點,D,E是線段BC上的點,F(xiàn)是CB延長線上的點,已知BF=4,BD=2,BE=5,∠BAD=∠ACD,∠BAF=∠CAE,則BC的長為( )

    A.11 B.12 C.13 D.前三個答案都不對

    11.兩個圓內(nèi)切于K,大圓的弦AB與小圓切于L,已知AK∶BK=2∶5,AL=10,則BL的長為( )

    A.24 B.25 C.26 D.前三個答案都不對

    12.f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),滿足2f(x)+f(x2-1)=1,x∈R,則f(-2)等于( )

    A.0 B.12 C.13 D.前三個答案都不對

    13.從一個正9邊形的9個頂點中選3個使得它們是一個等腰三角形的三個頂點的方法是( )

    A.30 B.36 C.42 D.前三個答案都不對

    14.已知正整數(shù)a,b,c,d滿足ab=cd,則a+b+c+d有可能等于( )

    A.101B.301C.401D.前三個答案都不對

    15.三個不同的實數(shù)x,y,z滿足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2,則x+y+z等于( )

    A.-1B.0C.1D.前三個答案都不對

    16.已知a+b+c=1,則4a+1+4b+1+4c+1的最大值與最小值的乘積屬于區(qū)間( )

    A.[10,11)B. [11,12)

    C. [12,13)D.前三個答案都不對

    17.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,BD=6,∠ABD=∠CBD=30°,則四邊形ABCD的面積等于( )

    A.83 B.93

    C.123D.前三個答案都不對

    18.1!+2!+…+2016!除以100所得的余數(shù)為( )

    A.3B. 13C.27D.前三個答案都不對

    19.方程組x+y2=z3,

    x2+y3=z4,

    x3+y4=z5,的實數(shù)解組數(shù)為( )

    A.5B.6C.7D.前三個答案都不對

    20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有實根的平方和等于( )

    A.0B.2C.4D.前三個答案都不對

    參考答案

    1.A.由切點在切線y=-x+2上,可設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,2-x0).又切點(x0,2-x0)在曲線y=-ex+a上,可得2-x0=-ex0+a.

    再由y=-ex+a,得y′=-ex+a,可得曲線y=-ex+a在切點(x0,2-x0)處切線的斜率為-ex0+a.又切線y=-x+2的斜率為-1,所以-ex0+a=-1.進而可得2-x0=-ex0+a=-1,x0=3,a=-3.

    2.B.可不妨設(shè)0c.

    結(jié)論(1)正確:因為可得a+2ab+b>c,(a+b)2>(c)2,a+b>c.

    結(jié)論(2)錯誤:2,3,4是一個三角形的三邊長,但22,32,42不會是某個三角形的三邊長.

    結(jié)論(3)正確:因為可得a+b2≤c+a2≤b+c2,a+b2+c+a2>b+c2.

    結(jié)論(4)正確:因為|a-b|+1=b-a+1,

    |b-c|+1=c-b+1,|c-a|+1=c-a+1,

    所以|a-b|+1≤|c-a|+1,

    |b-c|+1≤|c-a|+1,

    (|a-b|+1)+(|b-c|+1)≥|(a-b)+(b-c)|+2>|c-a|+1.

    3.解法1C.如圖1所示,設(shè)⊙O的半徑為r,由相交弦定理和勾股定理,可得

    24·18=AE·EB=(r+OE)(r-OE)=r2-OE2,

    242=r2+OE2,

    把它們相加后,可求得OE=62.

    4.D.由x∈(0,1)知,在f(x)的解析式中可不妨設(shè)p,q∈N,p>q,(p,q)=1.

    由f(x)>17,可得x=qp,f(x)=1p>17;p=2,3,4,5,6,進而可得

    x=12,13,23,14,34,15,25,35,45,16,56

    所以滿足題設(shè)的x的個數(shù)為11.

    5.A.解法1D.因為x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)(x2+3x+a+10)+(3a+b+33)x+a+c+10,所以由題意,得方程x2-3x-1=0的兩個根3+132,3-132均是方程(3a+b+33)x+a+c+10=0的根,所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=(3a+b+33)-2(a+c+10)-13=-13.

    解法2D.由題設(shè),可得(x2-3x-1)(x4+ax2+bx+c).又注意到x4+ax2+bx+c不含x3項,所以x4+ax2+bx+c=(x2-3x-1)(x2+3x-c),x4+ax2+bx+c=x4-(c+10)x2+3(c-1)x+c.

    8.B.因為實系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根是一對共軛復(fù)數(shù),所以可設(shè)x1=r(cosθ+isinθ),x2=r[cos(-θ)+isin(-θ)](r>0).

    得x21x2=r(cos3θ+isin3θ),

    因為x21x2為實數(shù),所以θ=kπ3(k∈Z),再得

    x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1

    x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016

    =cos(2kπ·672)+isin(2kπ·672)=1,

    所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.

    9.D.這是均勻分組問題,不同的分法種類為

    C412C48C443!=5775.

    10.A.如圖3所示,由∠BAF=∠CAE,∠BAC=90°,得∠EAF=90°.

    又因為∠BAD=∠ACD,所以AD⊥BC.得

    DE·DF=AD2=BD·DC,

    (5-2)(4+2)=2DC,

    DC=9,

    BC=BD+DC=2+9=11.

    圖3圖411.B.如圖4所示,設(shè)BK與小圓交于點M,連結(jié)ML,設(shè)CD為兩圓在公共點K處的公切線.

    由弦切角定理,得∠BAK=∠DKM=∠KLM.

    又因為∠KLA=∠KML,所以∠AKL=∠BKL.

    再由三角形角平分線性質(zhì),可得ALBL=AKBK,

    可求得BL=25.

    12.C.在題設(shè)所給的等式中分別令x=0,1,-1,

    得2f(0)+f(-1)=1,

    2f(1)+f(0)=1,

    2f(-1)+f(0)=1,

    可解得f(0)=f(1)=f(-1)=13.

    再在題設(shè)所給的等式中令x=-2,得2f(-2)+f(1)=1,所以f(-2)=13.

    圖513.A.在圖5所示的正9邊形ABCDEFGHI中,以A為頂角的頂點的等腰三角形有且僅有4個(△ABI,△ACH,△ADG,△AEF),其中有且僅有△ADG是正三角形.

    所以所求答案是3·9+93=30.

    14.B.考慮a=mn,b=pq,c=mp,d=nq(m,n,p,q∈N*),得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p),所以只要選a+b+c+d是合數(shù)即可.

    而101,401都是質(zhì)數(shù),且301=7·43=(1+6)(1+42),

    所以取m=1,q=6,n=1,p=42,得a=1,b=252,c=42,d=6,所以本題選B.

    15.D.可設(shè)x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m,得x,y,z是關(guān)于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三個實數(shù)根.

    由韋達定理,得x+y+z=3.

    16.解法1C.設(shè)f(x)=4x+1,得

    f′(x)=24x+1,f″(x)=-4(4x+1)-32<0,

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