橢圓中一類三角形面積最值問題再探

陸崢

貴刊文[1]給出了橢圓中三角形面積最大值的兩個結論，文[2]又給出了此類問題的一般性結論，讀來很受啟發(fā).兩位老師都用常規(guī)的處理三角形面積的方法，比較繁瑣，且探究出一般性的結論難度很大.筆者嘗試了用伸縮變換的方法將橢圓問題化為圓來解決，運算量大大減少，且得到一般的結論顯得很自然，同時發(fā)現(xiàn)利用同樣的方法，還能較容易地解決其它條件下的三角形面積最值問題，現(xiàn)整理如下，供大家參考.

不妨假設橢圓方程：x2a2+y2b2=1（a>b>0），O為坐標原點，一直線與橢圓交于A、B兩點，△AOB（簡稱橢圓的中心三角形）的面積為S.

1直線過定點的三角形面積最值問題

設直線AB過定點P（m，n）（異于原點），顯然不管點P位置如何，中心△AOB面積S均無最小值，下面探究其最大值，采用伸縮變換來處理：

對橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）作伸縮變換x′=xa，

y′=yb，則橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，點P變成P′（ma，nb），橢圓上的A，B點變成圓上的點A′，B′，因為OP′=m2a2+n2b2，所以當OP′≥22，

即m2a2+n2b2≥12，O到A′B′的距離為22時，∠A′OB′=90°，所以（S△A′OB′）max=12，由伸縮變換的性質(zhì)，S△AOBS△A′OB′=ab，得Smax=ab2.顯然此時A、B為橢圓的一對共軛直徑的兩端點.

當OP′<22，即090°，由S△A′OB′=12OA′OB′sin∠A′OB′=12sin∠A′OB′知，當∠A′OB′最小，即A′B′最小時，S△A′OB′最大，由平面幾何知識不難得到，當P′為A′B′中點時（S△A′OB′）max=12A′B′OP′=m2a2+n2b21-m2a2-n2b2，

即有Smax=abm2a2+n2b21-m2a2-n2b2，

此時P為AB中點.

綜上探究，有

結論1設過點P（m，n）（異于原點）的直線與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B兩點.

當m2a2+n2b2≥12時，A、B為橢圓的一對共軛直徑的兩端點時Smax=ab2；

當0

Smax=abm2a2+n2b21-m2a2-n2b2.

注在結論1推導過程中，當m2a2+n2b2≥12時，直線A′B′與圓x′2+y′2=12相切時，即直線AB與橢圓x2a2+y2b2=12相切時，Smax=ab2；當0

下面用同樣的方法，探究其它兩種條件下的中心三角形面積最值問題：

2直線AB方向一定時的三角形面積最值問題

設一傾斜角為θ的直線與橢圓交于A，B兩點，顯然不管θ如何，中心△AOB面積S均無最小值，下面探究其最大值，仍采用伸縮變換處理：假設直線AB方程為xsinθ-ycosθ+t=0，作伸縮變換x′=xa，

y′=yb，則變換以后橢圓變成單位圓x′2+y′2=1，橢圓上的A，B點變成圓上的點A′，B′，直線A′B′的方程為ax′sinθ-by′cosθ+t=0，當△A′OB′面積最大時，∠A′OB′=90°，此時O點到直線A′B′的距離為22，于是ta2sin2θ+b2cos2θ=22，

所以t=±a2sin2θ+b2cos2θ2，

所以（S△A′OB′）max=12，從而Smax=ab2.于是有

結論2設傾斜角為θ的直線與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于A，B兩點，則當直線方程為xsinθ-ycosθ±a2sin2θ+b2cos2θ2=0時，Smax=ab2.

3弦長一定時的三角形面積最值問題

設橢圓的弦AB長l（0

對橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）作伸縮變換x′=xa，

另外，當中心角∠AOB一定時，S一定既有最大值又有最小值，探究過程過于繁瑣，這里不再贅述，有興趣讀者不妨一試.

參考文獻

[1]江邊.橢圓中兩個三角形面積最大問題[J].中學數(shù)學雜志，2015（7）.

[2]馬現(xiàn)嶺.橢圓中一個三角形面積最大問題又探[J].中學數(shù)學雜志，2016（3）.