解決高考排列問題的“四項(xiàng)基本原則”

任烜池

“重復(fù)”或者“遺漏”是排列題目常出現(xiàn)的錯誤，原因是對題目條件的信息理解不透徹.本文結(jié)合近幾年的高考題給出處理排列問題的“四項(xiàng)基本原則”，運(yùn)用這些“原則”處理高考排列問題，可以取得思路清晰、解答準(zhǔn)確的效果.不揣淺陋，就教于老師們.

1插空原則

對于要求某些元素不相鄰的問題，可以將其它元素“安置”好，然后將被要求不相鄰的元素進(jìn)行“插空”.

例1（2013年全國大綱版）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.（用數(shù)字作答）.

解析除甲、乙外，其余四個人的排列有A44種.四個人排好后，他們之間有5個空位，只要把甲、乙插入其中兩個空位即可，也就是從這5個位置中選兩個給甲乙占有，考慮到順序共有A25種排法.那么符合條件的排法有A44A25=480種.

評注從四個元素之間選擇位置，保證了甲、乙兩個元素不相鄰要求的滿足.

練習(xí)1（2010年北京）8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（ ）

A.A88A29B.A88C29C.A88A27D.A88C27

答案A.

練習(xí)2（2008年浙江改編）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是 （用數(shù)字作答）.

答案144.

2優(yōu)“限”原則

排列問題的要素有兩個：一是元素，二是位置.對于有限制條件的元素或者位置，解答時應(yīng)優(yōu)先予以考慮.

例2（2016年四川）用數(shù)字1，2，3，4，5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（ ）

A.24 B.48C.60D.72

解析1從有限制條件的元素看：題目要求排列的沒有重復(fù)的五位數(shù)字是奇數(shù)，從元素的角度考慮，需要1，3，5這三個數(shù)字需要有一個數(shù)字排在個位上，除此之外對其他元素沒有特殊要求，因此，我們可以先從1，3，5中選一個排在個位，其余的元素全排列即可，即有奇數(shù)A13A44=72，選D.

評注給每個有限制條件的元素找到合適的位置，問題也就解決了.

解析2從有限制條件的位置看：題目要求排列的沒有重復(fù)的五位數(shù)字是奇數(shù)，從位置的角度考慮，需要個位上排一個奇數(shù)，其它位置沒有特殊要求，因此，我們可以先從1，3，5中選一個排在個位上，其余的位置全排列即可，即有奇數(shù)A13A44=72，選D.

評注把所有有限制的位置安排完畢，問題也就得以解決了.值得說明的是，根據(jù)相對性，優(yōu)先考慮限制位置和優(yōu)先考慮限制元素在計算上可能相同，但從思考問題的角度卻截然不同.

練習(xí)1（2009年北京）用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（ ）

A.324B.328C.360D.648

答案B.

練習(xí)2（2010年山東）某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（ ）

A.36種B.42種

C.48種D.54種

答案B.

3整體性原則

對于要求某些元素必須相鄰，或者有順序及間隔位置有要求的問題，可以進(jìn)行整體考慮.

例3（2012年遼寧理科）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（ ）

A.3×3！ B. 3×（3！）3

C.（3?。? D. 9！

解析由于是每家人坐在一起，我們不妨把每家人看成一個整體，那三家人就是三個“大元素”，排列方法共有A33種，考慮到每家人之間的排列順序都有A33種，則所有的坐法有A334=3！4，選C.

評注除了將每家人看成一個整體外，每家人內(nèi)部的排列不能遺漏.

練習(xí)（2007年北京理科）記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）

A.1440種B.960種

C.720種 D.480種

答案B.

4正難則反的原則

對于某些問題正面考慮比較復(fù)雜時，可以考慮排除不符合條件的“反面”的情況.

例4（2013年山東理科）用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）

A.243B.252C.261D.279

解析根據(jù)優(yōu)“限”原則，十個數(shù)字取三個組成三位數(shù)有9×10×10=900個，而組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A19A29個，所以十個數(shù)字可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-A19A29=252，選B.

評注如果此題從正面處理非常復(fù)雜，考慮其反面則變得簡潔自然.正面信息或者限制條件越是復(fù)雜的問題，其反面問題往往越簡單明了.這個原則在解答“至多、至少”這類問題時效果更明顯.

練習(xí)1（2009年湖北）將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為（ ）

A.18B.24C.30D.36

答案C.

練習(xí)2（2010年湖南理科）在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（ ）

A.10 B.11C.12D.15

答案選B.