摘 要:數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一,是一種基本的思維方式,是概念課教學(xué)中必不可少的一部分.文章以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例,通過問題驅(qū)動,聚焦數(shù)學(xué)抽象,探討在概念教學(xué)中立足教學(xué)實踐,落實培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略.
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)概念;數(shù)形結(jié)合
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),用數(shù)學(xué)語言予以表征.”[1]
概念是數(shù)學(xué)的核心,是數(shù)學(xué)思維的基本形式.在概念課教學(xué)中,教師可遵循章建躍博士建議的“概念教學(xué)七步曲”——揭示背景,豐富典例,歸納共性,下定義,概念辨析,概念判斷,概念精致化的步驟展開,注重過程引導(dǎo),為學(xué)生搭建腳手架,讓學(xué)生在積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗的過程中,體驗數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化過程,培養(yǎng)抽象性思考問題的習(xí)慣和思維方式.
“函數(shù)的單調(diào)性”是滬教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》《5.2函數(shù)的基本性質(zhì)》中的一節(jié)概念起始課.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性后學(xué)習(xí)的函數(shù)的一個重要性質(zhì),是函數(shù)學(xué)習(xí)中又一個用符號語言刻畫的概念,概念中蘊含的符號語言、數(shù)學(xué)邏輯和不等式證明的方法(作差變形)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)提供了理論和依據(jù).同時,函數(shù)的單調(diào)性也是后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)并深入研究函數(shù)性質(zhì)的知識基礎(chǔ).
函數(shù)本身較為抽象,作為初學(xué)者,還是會存在一些困難,具體困難主要表現(xiàn)在兩個方面:①用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的數(shù)學(xué)語言翻譯,從圖形直觀到數(shù)學(xué)抽象的轉(zhuǎn)變,從現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識對剛剛接觸函數(shù)單調(diào)性的學(xué)生是比較困難的;②單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)不等式證明,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.
為克服教與學(xué)上的難點,搭建學(xué)生理解概念的腳手架,本文以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例,探討在概念課教學(xué)中教師如何采取多種措施多維度發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).
1 課例呈現(xiàn)與分析
本文將從以下五個方面呈現(xiàn)聚焦數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計.
1.1 教學(xué)目標(biāo)聚焦數(shù)學(xué)抽象
數(shù)學(xué)概念的形成通常經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過程,一種是從數(shù)學(xué)外部的事物出發(fā),經(jīng)過數(shù)學(xué)化抽象出數(shù)學(xué)概念;另一種是在數(shù)學(xué)內(nèi)部,對已有數(shù)學(xué)概念進(jìn)一步歸納總結(jié).概念課教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計也應(yīng)圍繞兩種層次展開,旨在讓學(xué)生知道“是什么”“為什么”“還有什么”,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).基于此,本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)計如下.
(1)基于函數(shù)圖象,能用符號語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性,理解單調(diào)性的基本概念,歸納抽象出利用圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.
(2)通過對函數(shù)單調(diào)性概念的探究,滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法,在三種語言轉(zhuǎn)化的過程中,聚焦數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng),提升學(xué)生觀察,歸納以及推理論證的能力,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).
目標(biāo)(1)關(guān)注函數(shù)的單調(diào)性“是什么”,聚焦于數(shù)學(xué)抽象的第一層次——從生活中的氣溫圖出發(fā),經(jīng)過數(shù)學(xué)化抽象出函數(shù)單調(diào)性概念;目標(biāo)(2)關(guān)注概念的“為什么”以及“還有什么”,從多維度對單調(diào)性概念深入探究.
1.2 基于問題情境,注重過程引導(dǎo),積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗
函數(shù)性質(zhì)的研究,一般按照“圖形觀察(圖象語言)—定性描述(文字語言)—定量刻畫(符號語言)—性質(zhì)應(yīng)用”的流程展開.其中,從定性描述到定量刻畫的過程是概念形成的關(guān)鍵,也是學(xué)習(xí)的重點與難點.
本課例首先通過創(chuàng)設(shè)情境和圖象直觀引入概念,再由形到數(shù),歸納探索形成概念,最后完成從定性到定量的轉(zhuǎn)化,精確刻畫函數(shù)的單調(diào)性.
教學(xué)片段1
問題1 觀察某市一天24小時的氣溫變化圖并回答在各個時間段氣溫是如何變化的?有怎樣的趨勢?
生:在0點~4點,氣溫下降;在4點~14點,氣溫上升;在14點~24點,氣溫下降.
師:在現(xiàn)實生活中有不少這種函數(shù)變化現(xiàn)象,今天我們就從數(shù)學(xué)角度來研究函數(shù)的單調(diào)性.
【設(shè)計意圖】由生活情境引入新課,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.請學(xué)生描述氣溫升高或下降的時間段這一行為為后面單調(diào)區(qū)間的概念的引出作鋪墊,并使學(xué)生對單調(diào)性概念形成第一次直觀圖形認(rèn)識.
截取氣溫圖在一段區(qū)間I上的圖象,如圖1.
問題2 觀察圖1,能否總結(jié)這段圖象在I上有怎樣的變化趨勢?
生:圖象在區(qū)間I上呈上升趨勢(圖象語言).
問題3 回顧初中階段的學(xué)習(xí),怎樣用文字刻畫圖象呈上升趨勢?
生: y隨著x的增大而增大(文字語言).
追問 初中階段對單調(diào)性給了一個定性的描述,到了高中階段如何精確刻畫這一性質(zhì)呢?
(1)利用問題串,剖析文字語言:x增大,y隨之增大.
師生共同抽象提煉出單調(diào)性符號語言:若對區(qū)間I內(nèi)任意x1,x2,當(dāng)x1 < x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是嚴(yán)格增函數(shù).
【設(shè)計意圖】教師通過一系列問題的提出,引導(dǎo)學(xué)生思考,逐步展現(xiàn)理解新知識的全過程,使學(xué)生在探究函數(shù)單調(diào)性定義的過程中感受圖象語言、文字語言和符號語言三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,提升語言轉(zhuǎn)化能力和抽象能力.
(2)歸納得到單調(diào)增函數(shù)的定義,并類比得到單調(diào)減函數(shù)的定義.
對于區(qū)間I內(nèi)任意x1,x2,當(dāng)x1 < x2時,總成立f(x1) < f(x2),則稱函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間I上是嚴(yán)格增函數(shù),I稱為增區(qū)間.
對于區(qū)間I內(nèi)任意x1,x2,當(dāng)x1 < x2時,總成立f(x1) gt; f(x2),則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是嚴(yán)格減函數(shù),I稱為減區(qū)間.
此外,如果總成立f(x1)≤f(x2),就稱函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間I上是增函數(shù);總成立f(x1)≥f(x2),就稱函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間I上是減函數(shù).
“嚴(yán)格增”“嚴(yán)格減”“增”及“減”統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性,區(qū)間 I 叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識從對圖象的定性認(rèn)識,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的定量認(rèn)識,由形到數(shù)實現(xiàn)數(shù)學(xué)符號語言的精確刻畫,完成對概念的第二次認(rèn)識.事實上此過程也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明函數(shù)單調(diào)性做好鋪墊.
1.3 從多維度多角度探索抽象概念的同時融入數(shù)學(xué)思想
借助數(shù)學(xué)抽象可以在不同層面上以不同形式去刻畫函數(shù)的單調(diào)性,由此形成數(shù)學(xué)的多級抽象性,同時又使函數(shù)的單調(diào)性這一概念具有了高度概括性.
數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)知識和方法形成規(guī)律性的理解認(rèn)識,是抽象的產(chǎn)物,同時其存在形式也是抽象的,[2]它的形成往往蘊含在數(shù)學(xué)概念等的抽象過程中.
在探索概念階段,課例需讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象,從特殊到一般再到特殊最終回歸一般,從感性到理性的認(rèn)知過程,通過正例和反例兩方面明確概念的外延,不斷追問為什么,進(jìn)一步加深學(xué)生對單調(diào)性定義本質(zhì)的認(rèn)識,保證學(xué)生對概念的認(rèn)識層層深入.并且在例題的選擇上也有考慮,例題1是已知圖形求單調(diào)區(qū)間,例題2和3是已知解析式判定、證明單調(diào)性,整個過程使學(xué)生深刻地感受數(shù)與形之間的有機(jī)結(jié)合與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.
教學(xué)片段2
例1 如圖2,根據(jù)函數(shù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
學(xué)生總結(jié):圖形是研究函數(shù)單調(diào)性最直觀的工具,嚴(yán)格增則圖象上升,嚴(yán)格減則圖象下降.利用圖形判斷單調(diào)區(qū)間是常用方法.
【設(shè)計意圖】回歸圖形,通過觀察圖形的趨勢得到單調(diào)區(qū)間,呼應(yīng)引入的情境.從形的角度理解概念.
教學(xué)片段3
例2 證明函數(shù)f(x)=-(4/x2)" 在區(qū)間 (0,+∞)上是增函數(shù).
預(yù)設(shè):教師板書規(guī)范書寫,強(qiáng)調(diào)證明過程和格式.
問題4 證明函數(shù)單調(diào)性要經(jīng)過哪幾個步驟?
學(xué)生歸納證明步驟:任意取值—作差變形—判號—下結(jié)論.
【設(shè)計意圖】 教師示范具體的證明過程,學(xué)生初步掌握利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟,并在此基礎(chǔ)上歸納出函數(shù)單調(diào)性的一般證明方法,從正面完成對單調(diào)性概念的第四次認(rèn)識.
例3 證明函數(shù) f(x)=1/x 在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
【設(shè)計意圖】規(guī)范學(xué)生書寫,嚴(yán)格按照定義推理證明,同時也為下面的設(shè)問做鋪墊.
教學(xué)片段4
問題5 請寫出函數(shù)f(x)=1/x 的所有單調(diào)區(qū)間.
生1:由反比例函數(shù)圖象可知,(-∞,0)和 (0,+∞)為函數(shù)的減區(qū)間.
生2:可以兩個并起來,減區(qū)間是(-∞,0)∪ (0,+∞).
學(xué)生陷入爭論,議論紛紛.
師:兩個同學(xué)的說法都對嗎?
生3:-1<3, 但是f(-1)<f(3), 故函數(shù)在定義域內(nèi)不是減函數(shù).
師:單調(diào)區(qū)間能否隨意合并?
生4:單調(diào)區(qū)間不能隨意合并,必須緊扣定義中的“任意取值”研究單調(diào)性.
【設(shè)計意圖】通過例3糾正學(xué)生對單調(diào)區(qū)間概念的認(rèn)識上的偏差,再一次強(qiáng)調(diào)單調(diào)性定義中“任意取值”的重要性,從反面完成對單調(diào)性概念的第五次認(rèn)識.
1.4 關(guān)注抽象的概念表達(dá)形式,加強(qiáng)運用數(shù)學(xué)符號語言的訓(xùn)練
教材中的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等總是采用某種數(shù)學(xué)語言或符號表示,學(xué)生要真正理解掌握,就需要靈活運用它們,從而促進(jìn)抽象思維的發(fā)展.實踐證明,如果學(xué)生有盡可能多的機(jī)會用數(shù)學(xué)語言復(fù)述、辨析概念,他們對概念的理解就會更加深刻.
在例3請學(xué)生說明函數(shù)在某區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)的過程中,很多學(xué)生能夠理解問題但是不能準(zhǔn)確說出數(shù)學(xué)符號語言,舉反例對學(xué)生來說比較困難.
教師需要進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,故而設(shè)計了下面的開放式問題討論環(huán)節(jié),把自主權(quán)還給學(xué)生,讓學(xué)生上黑板自由繪圖且自己描述,深刻體會函數(shù)單調(diào)性的定義,借助這樣的形式培養(yǎng)學(xué)生不僅會做,還要會說,進(jìn)一步提升語言轉(zhuǎn)化能力.當(dāng)然,數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的提升非一朝一夕,需要教師在以后的課堂教學(xué)中給予關(guān)注,盡可能為學(xué)生創(chuàng)造表達(dá)的機(jī)會與平臺,授之以漁而非授之以魚.
教學(xué)片段5 開放性問題環(huán)節(jié)
問題6 對于一般的函數(shù) y=f(x),x∈D, 若f(-1)<f(3),能否說函數(shù)單調(diào)遞增,或確定函數(shù)的單調(diào)性?請畫出滿足條件的函數(shù)圖象,并描述所畫圖象的單調(diào)性.
圖3~圖6為學(xué)生繪制圖象節(jié)選,學(xué)生繪制好圖形后描述所繪函數(shù)單調(diào)性,如下.
(1)函數(shù)在[-1,3]上嚴(yán)格增.
(2)函數(shù)在[-1,3]上不是單調(diào)函數(shù),可舉反例說明.
(3)函數(shù)在 [-1,0) 上嚴(yán)格增,在(0,3]上也嚴(yán)格增,但是在[-1,0)∪(0,3]上不是單調(diào)函數(shù).
(4)函數(shù)在 [-1,0) 上嚴(yán)格增,在(0,3]上也嚴(yán)格增.
追問:(4)中的函數(shù)在定義域[-1,0)∪(0,3]上是單調(diào)函數(shù)嗎?
生:在 [-1,0)∪(0,3]上是嚴(yán)格增函數(shù).
追問:為什么(3)中的單調(diào)區(qū)間不能合并,(4)中的單調(diào)區(qū)間卻可以合并呢?
學(xué)生構(gòu)造出了兩個單調(diào)區(qū)間可以合并后仍然是單調(diào)區(qū)間的例子,與(3)中的兩個單調(diào)增區(qū)間不能合并的例子進(jìn)行對比,兩個例子進(jìn)一步讓學(xué)生體會到單調(diào)性的局部性以及取值的任意性,也為后期研究分段函數(shù)單調(diào)性埋下了伏筆. 學(xué)生在一次又一次地把圖象語言翻譯成符號語言的過程中,加深了對單調(diào)性概念中“任意性”的理解與認(rèn)識.
【設(shè)計意圖】借著學(xué)生的反例追問,引導(dǎo)學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為圖象語言,再把自己所繪的圖象翻譯成符號語言,在繪圖、描述的過程中提升語言切換能力,深刻體會函數(shù)單調(diào)性的定義.由數(shù)回形,從形上完成對單調(diào)性概念的第六次認(rèn)識.
1.5 小結(jié)
回顧整節(jié)課探索知識的過程,師生一起歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性“是什么”“為什么”“怎么做”“還有什么”,概括的過程是一次完整的數(shù)學(xué)抽象過程,鞏固學(xué)生對單調(diào)性概念的理解,具體內(nèi)容如下.
(1)一個定義:函數(shù)單調(diào)性定義.
(2)兩個思想:從特殊到一般,數(shù)形結(jié)合.
(3)三個注意點:規(guī)范格式,如何舉反例,單調(diào)區(qū)間不能輕易合并.
(4)四個步驟:從任意取值,到作差變形,再到判號,最后下結(jié)論.
2 結(jié)語
本節(jié)課是一節(jié)概念原理課,是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流的方式使學(xué)生最終歸納抽象形成概念.在教學(xué)實踐后有以下幾方面體會.
(1)教師要有意識地搭建臺階,為歸納抽象的過程作鋪墊,幫助學(xué)生突破難點.
(2)教師要注重在學(xué)生抽象的過程中結(jié)合數(shù)學(xué)思想和方法.
(3)教師需要盡可能多地創(chuàng)造學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)知識的機(jī)會.
(4)教師需要更精準(zhǔn)地準(zhǔn)備教案,關(guān)注每個環(huán)節(jié)的遞進(jìn)與呼應(yīng),優(yōu)化課堂效率,幫助學(xué)生沉浸式習(xí)得概念.
這些都是聚焦數(shù)學(xué)抽象,滲透概念的可行教學(xué)方法,以實現(xiàn)新課標(biāo)“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、方法和體系,積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗,養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習(xí)慣,運用數(shù)學(xué)的抽象思維解決問題”的要求.
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