幾何一般觀念指引助力學(xué)生思維發(fā)展

編者按：幾何一般觀念和代數(shù)一般觀念分別是什么？體現(xiàn)在哪些內(nèi)容的學(xué)習(xí)中？怎樣指引教師規(guī)劃教學(xué)過程、設(shè)計(jì)問題？怎樣引導(dǎo)學(xué)生理性地、自覺地提出系列問題？怎樣構(gòu)建體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系？本專題的兩篇文章對(duì)此進(jìn)行了全面分析和系統(tǒng)闡述，旨在引導(dǎo)廣大教師認(rèn)真研讀教材，理解和應(yīng)用一般觀念，助力學(xué)生思維能力的發(fā)展. 本專題文章持續(xù)刊登，歡迎廣大教師圍繞一般觀念做研究，踴躍投稿！

摘" 要：幾何中的一般觀念是指幾何的組成元素及其相關(guān)元素的關(guān)系. 認(rèn)識(shí)幾何體是通過觀察其組成元素及相互關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的，研究直線、平面的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為研究其基本組成元素及相關(guān)元素之間的位置關(guān)系. 這樣的研究思路包含通常所說的化歸思想，但又遠(yuǎn)不止于此. 幾何一般觀念還表現(xiàn)在與幾何有關(guān)的研究中，如向量的應(yīng)用、平面解析幾何等. 理解了幾何的一般觀念，就能讓學(xué)生有序提出值得研究的系列問題，就能讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，從而發(fā)展思維能力.

關(guān)鍵詞：幾何；一般觀念；方法論；向量的應(yīng)用；解析幾何

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）04-0004-06

引用格式：藺平愛，王曉玲，薛紅霞. 幾何一般觀念指引助力學(xué)生思維發(fā)展［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：4-9.

2024年初，山西省教育科學(xué)研究院組織了一次小學(xué)、初中、高中的跨學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)研討活動(dòng)，旨在探討一般觀念的統(tǒng)攝作用. 其中，小學(xué)的課題是“長方形的面積”，初中的課題是“矩形的性質(zhì)與判定”，高中的課題是“直線與平面垂直的性質(zhì)”.

在開始上課之前有一個(gè)聽課指引，介紹為什么選擇這三節(jié)課，在幾何一般觀念的指導(dǎo)下如何設(shè)計(jì)這三節(jié)課的教學(xué). 在上完課之后有一個(gè)點(diǎn)評(píng)，評(píng)析一般觀念指引下這三節(jié)課反映出來的研究思路和研究方法的一致性等. 聽課對(duì)象是小學(xué)、初中、高中各學(xué)科教師. 在互動(dòng)環(huán)節(jié)，不同學(xué)科教師的分析引發(fā)了大家的共鳴，他們都認(rèn)為這三節(jié)課體現(xiàn)了相同的研究思路，即都是按照幾何研究對(duì)象組成元素及其相互關(guān)系展開研究的. 這就是章建躍博士提出的“一般觀念”之“幾何性質(zhì)指什么”. 如果小學(xué)、初中、高中都能在一般觀念指引下開展教學(xué)，這將會(huì)對(duì)學(xué)生思維能力的發(fā)展產(chǎn)生正向的促進(jìn)作用. 即使小學(xué)、初中未能按照這樣的方法教學(xué)，在高中階段依然可為而且應(yīng)該為之.

下面我們將具體分析在一般觀念指引下應(yīng)該如何開展高中幾何教學(xué)，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.

一、在立體幾何初步的學(xué)習(xí)中理解典型的幾何一般觀念

幾何一般觀念在立體幾何學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得最為典型. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第二冊(cè)第八章“立體幾何初步”可以劃分為兩部分：前三節(jié)是整體認(rèn)識(shí)幾何體；后三節(jié)是微觀研究基本圖形的位置關(guān)系. 無論哪一部分，都體現(xiàn)了幾何的一般觀念.

1. 依據(jù)組成元素及其相互關(guān)系認(rèn)識(shí)簡單幾何體

（1）定性認(rèn)識(shí)簡單幾何體.

對(duì)于如何認(rèn)識(shí)幾何體，在“8.1 基本立體圖形”的節(jié)引言中指出：“本節(jié)我們主要從幾何體的組成元素及其相互關(guān)系的角度，認(rèn)識(shí)幾種最基本的空間幾何體.”接下來，先從整體入手，通過觀察想象圍成物體的每個(gè)面的形狀、面與面之間的關(guān)系. 首先，將幾何體劃分為多面體和旋轉(zhuǎn)體；緊接著指出：“下面，我們從多面體和旋轉(zhuǎn)體組成元素的形狀、位置關(guān)系入手，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一些特殊的多面體和旋轉(zhuǎn)體.”再次明確研究的方法. 這兩段話指明了研究本節(jié)內(nèi)容的方法論，如圖1所示.

在此方法論的指導(dǎo)下，教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生研究棱柱的程序是：首先，觀察圍成棱柱的面的形狀、位置關(guān)系，以及棱的位置關(guān)系，形成定義，明確其內(nèi)涵；其次，研究其外延，根據(jù)底面形狀不同，可以將棱柱劃分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……；再次，進(jìn)一步研究其外延，依據(jù)側(cè)棱和底面位置關(guān)系的不同，可以將棱柱劃分為直棱柱和斜棱柱；最后，研究特殊情況，依據(jù)底面形狀特點(diǎn)，可以找到特殊的棱柱，包括正棱柱和平行六面體等.

這種研究方法可以遷移到認(rèn)識(shí)棱錐，因此可以讓學(xué)生通過類比研究棱錐.

事實(shí)上，可以類比多面體，用同樣的方法認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)體. 例如，圓柱有兩個(gè)面是平行且全等的圓面，側(cè)面垂直于這兩個(gè)面，而且是光滑的曲面. 這樣做，“8.1 基本立體圖形”的研究思路就完全統(tǒng)一了，只是不容易表述. 在此基礎(chǔ)上，再研究旋轉(zhuǎn)體的形成過程，得到其定義. 這樣設(shè)計(jì)能讓學(xué)生感受到立體幾何研究思想的一致性，體會(huì)到教材中采取的發(fā)生定義法表述的簡潔性和準(zhǔn)確性.

（2）定量認(rèn)識(shí)簡單幾何體.

“8.3 簡單幾何體的表面積與體積”中表面積的計(jì)算完全體現(xiàn)了幾何一般觀念，正如教材必修第二冊(cè)第114頁所述：“多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.”教材必修第二冊(cè)第116頁再次強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)：“與多面體的表面積一樣，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積也是圍成它的各個(gè)面的面積和.” 從簡單幾何體的體積公式可以看出，所有公式都是用確定幾何體的基本元素表示的，即其表面積、高、半徑.

如果用祖暅原理推導(dǎo)幾何體的體積，可以看出，該原理是將幾何體的體積問題轉(zhuǎn)化為對(duì)其基本組成元素的度量問題：一是度量兩個(gè)幾何體的高，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，其高相等”；二是度量組成幾何體的所有面的大小，即“被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積相等”. 完成這兩個(gè)度量，并且度量結(jié)果是“相等”，那么就可以得到結(jié)論，即“這兩個(gè)幾何體的體積相等”.

“8.2 立體圖形的直觀圖”也是抓住幾何體的基本量進(jìn)行繪制.

據(jù)此，教學(xué)中在設(shè)計(jì)問題串時(shí)思路就會(huì)很清晰，即先引導(dǎo)學(xué)生觀察圍成幾何體的面的形狀，再觀察特殊的棱（即高）. 這樣的設(shè)計(jì)思路，起點(diǎn)應(yīng)該在小學(xué)，如在“長方形的面積”的探索發(fā)現(xiàn)過程中，并一以貫之. 如果這樣做了，到了高中階段，方法的應(yīng)用則已經(jīng)嫻熟自然. 這是我們的期盼.

2. 借助組成元素及其相互關(guān)系認(rèn)識(shí)簡單幾何體

（1）依據(jù)一般觀念首先要明確組成幾何體的基本圖形.

從“8.4 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”開始，微觀研究組成幾何體的基本圖形及其位置關(guān)系，為此要先明確研究對(duì)象，即空間中的點(diǎn)、直線和平面. 在平面幾何中，已經(jīng)明確了點(diǎn)和直線，此處只需要明確平面即可，于是就有了“8.4.1 平面”. 明確平面的方法是按照平面的組成元素——點(diǎn)、直線依次進(jìn)行的. 基本事實(shí)1是用點(diǎn)與平面的位置關(guān)系表示平面具有的特征，基本事實(shí)2是用直線與平面的位置關(guān)系表示平面具有的特征，基本事實(shí)3是用兩個(gè)平面的位置關(guān)系表示平面具有的特征，而且是借助其相交線表示的. 這種思路依然體現(xiàn)了幾何的一般觀念.

“8.4.2 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”全部借助于各自組成元素的特點(diǎn)表達(dá). 可以說是用公共點(diǎn)個(gè)數(shù)定義了“空間中直線與直線的位置關(guān)系”“空間中直線與平面的位置關(guān)系”“空間中平面與平面的位置關(guān)系”，只是在“兩個(gè)平面相交”這種位置關(guān)系中，因?yàn)橐磉_(dá)兩層含義：有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都共線，所以合并為“有一條公共直線”，簡潔明了，其本質(zhì)依然是用公共點(diǎn)及其位置關(guān)系表達(dá)平面與平面的位置關(guān)系.

在日常教學(xué)中，就要依據(jù)這樣的研究方法設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考和表達(dá)，并形成一種思維的自覺.

（2）在直線與平面的特殊位置關(guān)系研究中彰顯一般觀念的方法論作用.

空間直線、平面的平行與垂直關(guān)系是特殊的位置關(guān)系，刻畫這些位置關(guān)系要借助其組成元素及其位置關(guān)系.

“8.5.2 直線與平面平行”中的判定定理和性質(zhì)定理，都是借助直線與平面內(nèi)的直線間的位置關(guān)系表達(dá)的. 通俗地說，要研究直線、平面平行，就是研究直線與平面的組成元素——直線之間的位置關(guān)系. 因此，教學(xué)中設(shè)計(jì)問題的思路，就是要引導(dǎo)學(xué)生觀察直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系. 從定義出發(fā)判定直線與平面是否平行，只需要判定直線與平面有沒有公共點(diǎn). 直觀上看，平面內(nèi)任意一條直線與所給直線有兩種位置關(guān)系：一種是異面；另一種是平行. 而后者容易轉(zhuǎn)化為平面問題解決，于是得到直線與平面平行的判定定理. 這種研究思路如圖2所示. 當(dāng)直線與平面平行時(shí)，同樣要借助平面得到性質(zhì)定理. 教材必修第二冊(cè)在第137頁明確了該研究方法：“下面我們研究在直線a平行于平面α的條件下，直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系.”

[問題：如何判定直線與平面平行][幾何一般觀念][研究直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系][直線與平面內(nèi)一條直線平行][指導(dǎo)] [思路][圖2] [依據(jù)] [定義][直線與平面內(nèi)直線沒有公共點(diǎn)][轉(zhuǎn)化] [選擇] [更多關(guān)系][引入其他元素]

后續(xù)研究平面與平面平行的思路與此完全一致. 如果再引入一些相關(guān)元素，那么就可以得到更多的線面平行的位置關(guān)系. 例如，引入直線的一條平行線，于是得到：若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b[?]α，則b∥α. 又如，引入直線所在的平面及一條平行線，于是得到：若α ∩ β = a，b[?]α，c[?]β，b∥c，則a∥b∥c. 這兩個(gè)結(jié)論分別是教材必修第二冊(cè)第139頁練習(xí)的第3題第（4）小題和第4題. 順著這樣的思路，還可以繼續(xù)提出問題.

在“8.5.2 直線與平面平行”中，要學(xué)習(xí)新知識(shí)，更重要的是將如圖2所示的探索發(fā)現(xiàn)思路揭示給學(xué)生，即要求學(xué)生自覺地將研究對(duì)象整體拆分為組成元素及其位置關(guān)系，并通過引入相關(guān)元素提出更多值得研究的問題，從而將教材中的例題和練習(xí)題統(tǒng)整起來.

按照這樣的研究思路，可以展開對(duì)“8.5.3 平面與平面平行”的研究，教材必修第二冊(cè)第139頁指出：“類似于研究直線與平面平行的判定，我們自然想到要把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題.”對(duì)平面與平面平行的性質(zhì)的探索，教材必修第二冊(cè)在141頁指出：“根據(jù)已有的研究經(jīng)驗(yàn)，我們先探究兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系.” 這些方法都很明確地告訴我們?nèi)绾我罁?jù)幾何一般觀念展開研究.

同樣的研究思路，也適用于對(duì)“8.6 空間直線、平面的垂直”的研究，而且更加精彩. 因?yàn)殡S著學(xué)習(xí)進(jìn)程的推進(jìn)，學(xué)生的知識(shí)積累更加豐富，思路更加靈活，可以提出的問題會(huì)更多. 這就是幾何一般觀念方法論的威力所在.

綜上所述，貫穿“立體幾何初步”的靈魂是幾何一般觀念，如圖3所示. 教材中在必要的地方都明確地寫著應(yīng)該怎樣做，關(guān)鍵就看我們?nèi)绾温鋵?shí).

要落實(shí)如上一般觀念，在教學(xué)實(shí)踐中要有單元意識(shí)，注重單元教學(xué)的整體性和遞進(jìn)性. 整體性體現(xiàn)為這一章研究方法本質(zhì)上的一致性. 遞進(jìn)性的具體表現(xiàn)分兩個(gè)階段，即在第一次研究時(shí)注重揭示方法，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)柱體、研究直線與平面平行的學(xué)習(xí)分別起著這樣的作用. 之后，注重在一般觀念的指引下運(yùn)用類似的方法展開研究. 單元教學(xué)遞進(jìn)性的具體表現(xiàn)是：隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程的推進(jìn)，學(xué)生對(duì)方法的應(yīng)用越來越自覺. 這就是思維能力得到發(fā)展的體現(xiàn).

二、在與幾何相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中靈活應(yīng)用幾何一般觀念

與幾何相關(guān)的內(nèi)容包括向量在幾何中的應(yīng)用和平面解析幾何.

1. 在向量的應(yīng)用中充分發(fā)揮幾何一般觀念

向量的應(yīng)用包括在平面幾何和立體幾何中的應(yīng)用. 前者包括教材必修第二冊(cè)“6.4.3 余弦定理、正弦定理”“數(shù)學(xué)探究" 用向量法研究三角形的性質(zhì)”. 后者包括教材選擇性必修第一冊(cè)“1.4 空間向量的應(yīng)用”.

（1）在平面向量的應(yīng)用中依據(jù)幾何一般觀念有序提出系列問題展開探索.

向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，本文側(cè)重從幾何的角度分析如何研究向量的應(yīng)用. 類比圖4提出問題的層級(jí)性，針對(duì)每個(gè)研究對(duì)象，都可以由易到難地提出系列問題. 在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”的教學(xué)中，將設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)確定為：借助數(shù)量積運(yùn)算探索三角形的幾何性質(zhì)，能獲得哪些有用的結(jié)論？按照向量法的步驟，先將△ABC表示為一個(gè)向量關(guān)系，如a + b = c. 接下來，提出由易到難的三個(gè)層級(jí)問題：第一層級(jí)，直接乘以三角形的基本元素，如在a + b = c兩端同乘a，b或c，或a + b，等等；第二層級(jí)，乘三角形的相關(guān)元素，如在a + b = c兩端同乘邊BC上的高，即與a垂直的向量，或∠A平分線上的向量，或邊BC中線對(duì)應(yīng)的向量，等等；第三層級(jí)，在a + b = c兩端同乘任意一個(gè)向量，即教材必修第二冊(cè)第62頁第19題，如圖5所示. 這樣做，學(xué)生不但可以學(xué)到基礎(chǔ)知識(shí)，還能學(xué)會(huì)如何提出問題，并為后續(xù)開展“數(shù)學(xué)探究" 用向量法研究三角形的性質(zhì)”奠定方法論基礎(chǔ).

與“6.4.3 余弦定理、正弦定理”相比，“數(shù)學(xué)探究" 用向量法研究三角形的性質(zhì)”的學(xué)習(xí)更具有挑戰(zhàn)性. 因?yàn)檠芯窟^程中，既要選擇方法，又要選擇三角形的組成元素及相關(guān)元素. 兩條線索交織前行，將學(xué)生帶入一個(gè)數(shù)學(xué)探究的樂園. 但提出問題的思路是一致的，遵循幾何一般觀念，結(jié)合圖6可以得到如圖7所示的探究線路. 從研究對(duì)象△ABC出發(fā)，沿著圖7中的箭頭方向前進(jìn)，越往后，所提出問題的層級(jí)越高，難度越大. 當(dāng)然，該探究還不止于此，還可以對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行代數(shù)探究，發(fā)現(xiàn)更多值得研究的問題并解決問題.

（2）在空間向量的應(yīng)用中依據(jù)幾何一般觀念確定研究順序和思路.

要研究立體圖形，依據(jù)幾何一般觀念，先要明確其基本元素——點(diǎn)、直線與平面. 于是，在教材必修第二冊(cè)先有“8.4.1 平面”. 同理，要用向量法研究立體幾何問題，先要給出點(diǎn)、直線、平面的向量表示，于是就有了教材選擇性必修第一冊(cè)“1.4.1.1 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示”. 教材內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)的一致性是由研究對(duì)象自身特點(diǎn)決定的.

進(jìn)入具體的研究環(huán)節(jié)，依然遵循幾何一般觀念. 首先，研究點(diǎn)P的向量表示，在空間中，要找到一個(gè)基點(diǎn)O作為參照確定點(diǎn)的位置，這兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的向量[OP]就是點(diǎn)P的位置向量. 這是借助相關(guān)元素來刻畫點(diǎn). 其次，研究空間中直線的向量表示，確定直線的基本元素是一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)向量，而直線的組成元素是點(diǎn)，所以只要建立三者之間的關(guān)系式，就可以得到直線的向量表達(dá)式；最后，研究平面的向量表示，根據(jù)基本事實(shí)2，需要兩條不共線的向量才能確定一個(gè)平面. 與直線類似，平面的組成元素也是點(diǎn)，因此只要建立它們之間的關(guān)系式就可以得到平面的向量表達(dá)式. 由此可見，整個(gè)研究過程就是在尋找所研究對(duì)象的組成元素及其相互關(guān)系，并用向量表達(dá).

建立了空間中點(diǎn)、直線與平面的向量表示之后，再研究位置關(guān)系、夾角和距離，就只需要找到各自的“代言人”將其轉(zhuǎn)化為向量問題求解即可.

2. 在平面解析幾何中升華幾何一般觀念

平面解析幾何是要用代數(shù)方法研究幾何問題，與向量的應(yīng)用本質(zhì)相同，內(nèi)容結(jié)構(gòu)也類似. 先要將平面幾何中的研究對(duì)象用代數(shù)表示，即點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程、圓的方程、圓錐曲線的方程. 之后再基于方程研究點(diǎn)、直線、圓、圓錐曲線的性質(zhì)及其位置關(guān)系.

為了表示直線，要先建立直線的基本元素，即兩個(gè)點(diǎn)[P1x1，y1]，[P2x2，y2]的坐標(biāo)與直線的傾斜角α之間的關(guān)系，tan α =[y2-y1x2-x1]，將之定義為直線的斜率，并建立斜率與向量之間的聯(lián)系，從而將不同的確定直線的方法有機(jī)地聯(lián)系起來.

建立直線的點(diǎn)斜式方程就是求出直線的基本元素與直線上任意一點(diǎn)之間的關(guān)系式；建立圓的方程，就是求出確定圓的基本元素——圓心、半徑與圓上任意一點(diǎn)的關(guān)系式；圓錐曲線方程的建立也是如此，它們與“1.4.1.1 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示”有異曲同工之效. 這體現(xiàn)了向量法是沒有坐標(biāo)系的解析幾何這一本質(zhì)，體現(xiàn)了幾何一般觀念在不同內(nèi)容中的一致表現(xiàn).

確定橢圓的基本元素是長軸的頂點(diǎn)和橢圓的焦點(diǎn)，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)引入?yún)?shù)b，從幾何意義上又有了短軸上的2個(gè)頂點(diǎn). 在研究橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)起著重要作用. 橢圓位于由長軸和短軸確定的矩形內(nèi)，這個(gè)矩形控制了橢圓的形狀. 同樣地，在研究雙曲線時(shí)，也有6個(gè)點(diǎn)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、虛頂點(diǎn)），類比橢圓，4個(gè)頂點(diǎn)將確定雙曲線的形狀. 經(jīng)過試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，如果以實(shí)軸、虛軸為兩條對(duì)稱軸構(gòu)造長方形，雙曲線位于該長方形外部，但這個(gè)長方形不能控制雙曲線的形狀. 再進(jìn)一步探索，可以連接該長方形的對(duì)角線，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)雙曲線被這一對(duì)對(duì)角線所在的直線控制，從而發(fā)現(xiàn)漸近線，之后從代數(shù)的角度進(jìn)行論證即可.

如上內(nèi)容是從幾何到與幾何相關(guān)的內(nèi)容來敘述的，而不是按照教材中內(nèi)容的編排順序來敘述的. 教師關(guān)鍵是要理解幾何一般觀念，在此基礎(chǔ)上根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)自覺應(yīng)用. 與幾何相關(guān)的內(nèi)容還有很多，但是其中蘊(yùn)含的幾何一般觀念不夠集中、不夠典型，所以此處不再贅述. 事實(shí)上，只要理解了幾何一般觀念，并自覺應(yīng)用，就可以發(fā)現(xiàn)其作為方法論引發(fā)思維的巨大威力，就會(huì)感受到沉浸在數(shù)學(xué)探究中的快樂，從而樂此不疲，愛上數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué).

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