備戰(zhàn)高考之回歸教材實踐探索

摘" 要：備戰(zhàn)高考回歸教材不同于首次學習新知，是在經(jīng)歷了使用教材上所學的概念、定理、公式和思想方法去解決具體問題等學習活動之后，對教材進行更深層次的二次認知. 在這一過程中，學生不僅積累了豐富的實踐經(jīng)驗，還遇到了新的挑戰(zhàn)，這些實踐和問題成為了重新深度學習教材的契機. 深挖教材內(nèi)涵，從而實現(xiàn)高效、系統(tǒng)的學習效果，不僅加深了學生對教材的深入理解，更顯著提高了學生的解題能力，為學生掌握數(shù)學知識奠定了堅實的基礎.

關鍵詞：回歸教材；結構化；變式訓練；深度思維

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0052-07

引用格式：李忠良，張培強. 備戰(zhàn)高考之回歸教材實踐探索：以“概率與統(tǒng)計”為例［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（4）：52-58.

一、問題提出的背景

筆者所在地區(qū)使用的是蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“蘇教版教材”）. 在備戰(zhàn)高考的過程中，嘗試跳出自身使用的教材，故詳細翻閱人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）. 在人教A版教材選擇性必修第三冊第139頁有一道題，筆者感覺與蘇教版教材上的題目的風格略有差異，于是把人教A版教材中的這道題放置在一次測驗中.

題目1" 根據(jù)分類變量[x]與[y]的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到[χ2=2.974]，依據(jù)[α=0.05]的獨立性檢驗，結論為（" ）.

（A）變量[x]與[y]不獨立

（B）變量[x]與[y]不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.05

（C）變量[x]與[y]獨立

（D）變量[x]與[y]獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.05

該題答案選C. 閱卷結果令筆者大跌眼鏡，四個選項的選擇率分別為20%，36%，22%，22%. 這至少說明了兩個問題：一是學生對這道題目的問法感到陌生且無所適從；二是相對來說，學生傾向于選擇選項B，與教材之間的差異性有一定關系. 于是，筆者進一步比較分析了兩版教材在這個知識點上的描述，尋找存在的差異.

人教A版教材選擇性必修第三冊第131頁的原文描述如下.

表1給出了[χ2]獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應的臨界值.

例如，對于小概率值[α=0.05]，我們有如下的具體檢驗規(guī)則：

（1）當[χ2≥x0.05=3.841]時，我們推斷[H0]不成立，即認為[X]和[Y]不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05；

（2）當[χ2lt;x0.05=3.841]時，我們沒有充分證據(jù)推斷[H0]不成立，可以認為[X]和[Y]獨立.

蘇教版教材選擇性必修第二冊第177頁的原文描述如下.

（1）若[χ2gt;10.828]，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；

（2）若[χ2gt;6.635]，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；

（3）若[χ2gt;2.706]，則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”；

（4）若[χ2≤2.706]，則認為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能得出結論“[H0]成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系.

對于獨立性檢驗的結論，兩個版本的教材的描述角度有明顯不同：蘇教版教材傾向于把結論描述為“根據(jù)檢驗結果，有多大把握拒絕零假設[H0]”，而人教A版教材則傾向于把結論描述為“基于[α=α0]的小概率值，是否接受零假設[H0]，若不接受，犯錯概率有多大”.

在一線教學中，很多教師會簡化甚至忽略教材中這部分內(nèi)容的推導過程，而選擇讓學生直接記住結論，即計算卡方值，對比[α0]，模仿教材模板下結論. 這樣做的弊端是：一旦出現(xiàn)背景的轉換或者提問角度的變化，學生就很容易無所適從，進而出現(xiàn)理解誤區(qū)，導致出錯. 因為學生并沒有真正理解假設檢驗的內(nèi)涵. 要解決這個問題，就需要回歸教材，甚至對比學習不同版本的教材，研讀知識生成的詳細過程，深度理解其內(nèi)涵. 以該知識點為例，從教材中讀出[α0]的意義為一種決策出錯的概率，即“[H0]為真卻被拒絕”，簡稱“棄真”的概率. 只有吃透教材，才能確保在不同背景下均不出現(xiàn)理解錯誤.

上面這道題目的嘗試雖然過程有點“尷尬”，但帶給我們的思考卻是深遠的.

另有一個案例. 2021年筆者所在省份首次加入新高考，使用新高考Ⅰ卷. 在高三考前回歸教材時，筆者發(fā)現(xiàn)學生往往借助生活常識來判斷事件是否相互獨立，忽略或者沒有真正理解教材所給公式的內(nèi)涵. 于是，筆者設計了如下一道題目，以加深學生對教材概念的理解.

題目2" 投擲一枚骰子，向上點數(shù)共有1，2，3，4，5，6六種可能，每一種情況的發(fā)生是等可能的，則下列說法正確的是" " " " ".

① 事件“點數(shù)為1或2”和事件“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件；

② 事件“點數(shù)為1或2或3”和事件“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件.

通過這道題目，學生體驗了“反常識”的結果，意識到了“現(xiàn)實生活中的獨立”和“數(shù)據(jù)結構上的獨立”的差別，加深了對教材中公式的理解，掌握了獨立性的內(nèi)涵，在當年高考的第8題中取得了較好的效果. 這也印證了充分重視教材、挖掘教材的重要意義.

二、備戰(zhàn)高考之回歸教材的意義

1. 教材反映教育理念和目標的變遷

教材的內(nèi)容和結構是教育理念和目標變化的直接反映. 隨著社會的發(fā)展、科技的進步和教育目標的更新，教育理念也隨之發(fā)生變化，這些變化必然會體現(xiàn)在教材的編寫和更新上. 例如，從知識傳授向能力培養(yǎng)的轉變，從記憶和重復向批判性思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展等，教材的編寫是一個充滿思考和選擇的過程，涉及對教育價值、社會需求和學生發(fā)展的深度考量.

2. 教材是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的支撐點

教材是實現(xiàn)教育目標、傳授知識技能的主要工具，在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的過程中，教材通過內(nèi)容的選擇、組織和呈現(xiàn)方式，引導學生發(fā)展所需的思維方式和行為模式，促進思維的發(fā)展，幫助學生構建知識體系，提高問題解決能力. 教材通過整合學科知識、生活實踐和社會需求，為學生提供一個學習和探索的平臺，從而促進他們的全面發(fā)展. 教材通過案例研究、實驗活動、項目學習等方法，將理論知識與實際應用相結合，幫助學生將學到的知識運用到實際生活和未來的職業(yè)發(fā)展中. 教材通過提供豐富、多元、實踐性強的學習內(nèi)容和活動，幫助學生在學習知識的同時，發(fā)展綜合能力和人格品質(zhì).

以數(shù)學教學為例，回歸數(shù)學的學科本質(zhì)，回歸數(shù)學教學的本來面目，通過注重教學質(zhì)量，幫助學生在夯實“四基”、提升“四能”的過程中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，在學懂、學通、學透數(shù)學的過程中提高數(shù)學水平.

3. 教材是高考命題的落腳點

高考命題改革已經(jīng)走向了“依標命題”，所以課堂教學的重心須轉變到“依標施教”上來. 具體而言就是要重視教材，不僅在新課教學中要用好教材，而且在復習備考中也要回歸教材. 教材不僅是學習的起點，也是復習的依據(jù)，教材中覆蓋的知識點、理論和概念是高考題目設置的基礎和出發(fā)點，教材中的重點、難點很可能成為高考關注的焦點. 高考前的復習，學生和教師要以教材為主線，圍繞教材的結構和內(nèi)容進行. 因此，教材在高考內(nèi)容的選擇、學生復習的指導，以及教育評估和發(fā)展中發(fā)揮著核心作用，這不僅確保了考試內(nèi)容的標準化和公平性，也保證了教育內(nèi)容與評價標準之間的一致性和連續(xù)性.

三、回歸教材的實踐探索

1. 吃透教材中的基本概念

為了更好地陳述該觀點，筆者設計了一道概念辨析多選題.

題目3" 下列說法中錯誤的有（" " ）.

（A）具有相關關系的兩個變量之間的相關系數(shù)越大，說明其相關性越高

（B）在獨立性檢驗中，卡方值的大小代表兩個變量的相關程度，卡方值越大，其相關性越高

（C）事件A，B，C兩兩互斥，則[PA+B+C=PA+]

[PB+PC]

（D）事件A，B，C兩兩獨立，則[PABC=PA ·]

[PBPC]

該題的答案選ABD.

關于選項A，這里涉及正相關和負相關的概念，教材有明確表述，辨析難度不大.

關于選項B，卡方值只體現(xiàn)我們對假設的置信水平，并不是形容零假設的真假程度. 例如，在獨立性假設檢驗中，這一組分類變量相關性不高，但是由于根據(jù)數(shù)據(jù)算出來的卡方值很大，我們選擇拒絕零假設，但是造成了錯誤決策，即“棄真”，也有可能其本身相關性很高，但是由于樣本的隨機性，我們算出來的卡方值比較小，于是選擇相信零假設，這也是假設檢驗中有可能出現(xiàn)的另一種錯誤，即“取偽”. 我們只是根據(jù)檢驗結果結合顯著性水平[α]去選擇相信零假設[H0]，或拒絕零假設[H0]，即選擇相信備擇假設. 我們使用“接受零假設”或“拒絕零假設”這樣的術語，并不意味著確信它是真的，只是意味著根據(jù)目前的數(shù)據(jù)計算結果，我愿意相信它或拒絕它，檢驗統(tǒng)計量只幫助我們做出相信和拒絕的決定，而不是形容被檢驗數(shù)據(jù)本身的關聯(lián)程度.

關于選項C和選項D：蘇教版教材給出的多事件“相互獨立”的公式為[PA1A2…An=PA1PA2…PAn]，

但沒有辨析“相互獨立”和“兩兩獨立”概念的區(qū)別.人教A版教材必修第二冊第250頁正文中以方框的形式加以備注說明“三個事件兩兩互斥和兩兩獨立的區(qū)別”，留下了一個開放性問題，教師若能帶領學生繼續(xù)探究并嘗試舉出反例，學生會獲得更深刻的學習體驗和概念認知. 若不深究教材而“欲言又止”，這里很容易形成知識盲點.

綜合來說，在高考前重新回歸教材，吃透教材中的基本概念，在鞏固基礎知識、提高思維系統(tǒng)性、拓展理解的深度和廣度、減少誤解和偏差、適應高考命題趨勢、提高答題的準確性和效率、建立信心和心理準備等方面都有著重要意義.

2. 對教材中的公式進行二次認知

以人教A版教材為例，必修第二冊第243頁有性質(zhì)6：[PA?B=PA+PB-PAB]（公式1）. 首次學習時掌握這個公式難度不大，但在二次認知時對這個公式可以有更深度的理解. 這個公式描述的是“事件A，B至少有一個發(fā)生的概率”，那么很自然地就可以進一步想到：“事件A，B恰有一個發(fā)生的概率”的計算公式是什么呢？有了想法，結果就容易得到了，即[PAB+AB=PA+PB-2PAB]（公式2）.

人教A版教材選擇性必修第三冊第45頁的條件概率公式為：[PBA=PABPA]（公式3），緊接著第46頁又給出了該公式的變形[PAB=PBAPA]（公式4）. 這就給了我們一個重要啟示：對于由三個量組成的公式，基于“知二求一”的理念，對公式進行變形，是實現(xiàn)深度認知公式的必經(jīng)之路.

人教A版教材必修第二冊第250頁出現(xiàn)這樣一個公式，[PA=][PAB+PAB]（公式5）. 因為事件[B]和[B]構成了一個完備事件組，所以這個公式描述的是對事件[A]的分類，也是后面學習全概率公式的預備知識. 此時根據(jù)從公式3到公式4的啟示，基于“知二求一”的認知角度，公式5也可以變形為[PAB=PA-PAB]（公式6）. 筆者曾在課堂上同時展示過這兩個公式，從學生的第一反應來看，明顯對公式6更感陌生，相對來說對公式5感覺更親切. 然而，這完全是同一組關系式基于“知二求一”作出的變形而已，若沒有經(jīng)過這種深刻的挖掘和認知，學生則很容易在解題中出現(xiàn)“卡殼”的現(xiàn)象.

為了加深對公式1、公式3和公式4的理解，我們可以設計題目4.

題目4" 事件A，B滿足[PA=14]，[PBA=15]，[PAB=12]，求[PA?B].

解析：由[PBA=PABPA=15]，得[PAB=120].

由[PAB=PABPB=12]，得[PB=110].

故[PA?B=PA+PB-PAB=14+110-120=310].

為了加深對公式5和公式6的理解，我們可以設計題目5和題目6.

題目5" [PAB=PAB]是事件[A，B]相互獨立的（" ）條件.

（A）充分不必要

（B）必要不充分

（C）充分必要

（D）既不充分也不必要

解析：由[PAB=PAB]，得[PABPB=PABPB].

所以[PABPB=PA-PAB1-PB]，

即[PAB=PAPB].

故答案選C.

題目6" 設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且[PA=12]，[PB=1124]，[PAB+AB=724]，則下列結論正確的是（ " ）.

（A）[PAB=18] （B）[PA+B=56]

（C）[PAB=911] （D）[PAB=PBA]

該題答案選AB. 考慮到考試中的時間和壓力等因素，大多數(shù)學生想在幾分鐘之內(nèi)熟練計算完四個選項難度是很大的，甚至剛開始審題便感到陌生. 這道題目可以充分體現(xiàn)學生對教材中的公式及其變形的熟練掌握程度.

解析：第一步：由公式2，得[PAB+AB=PA+]

[PB-2PAB]. 所以[PAB=13].

第二步：由公式6，得[PAB=PB-PAB=1124-]

[13=18]. 所以選項A正確.

第三步：由公式1，得[PA+B=PA+PB-PAB=]

[12+1124-18=56]. 所以選項B正確.

第四步：由公式3，得[PAB=PABPB=131124=811.]

所以選項C錯誤.

第五步：由公式3，得[PAB=PABPB=181124=311]（或[PAB=1-PAB=311]）.

第六步：由公式3和公式6，得[PBA=PABPA=]

[PA-PABPA=12-1312=13]. 所以選項D錯誤.

如果把題目6所考查的知識看作一個整體結構，那么題目4和題目5都是這個結構中不同方位的支撐點. 當通過題目4和題目5把相應知識模塊都構建完成，題目6的結構化構建也就水到渠成了. 如此解題，對公式的使用有一種信手拈來的美感，同時在一定程度上建立了知識體系的結構化.

3. 重讀教材中的探究問題

教材正文中有穿插的“思考”“探究”，有方框形式的“特別提醒”，課后習題中有“拓廣探究”，章末復習有“問題串梳理”，這些都是教材知識的總結或延伸，對這些問題的深入探討，對于培養(yǎng)學生的高級思維能力、增強學生的理解和記憶、提高學生解題的靈活性和廣度、激發(fā)學生的學習興趣和主動性、培養(yǎng)學生面對不確定性問題的解決能力及適應高考命題趨勢等多個方面都有重要價值.

以人教A版教材選擇性必修第三冊第136頁的“拓廣探究”為例：對例1列聯(lián)表8.3-2中的數(shù)據(jù)，依據(jù)[α=0.1]的獨立性檢驗，我們已經(jīng)知道獨立性檢驗的結論是學校與成績無關，如果8.3-2中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學校和數(shù)學成績之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因.

解析：經(jīng)過計算會發(fā)現(xiàn)，樣本增大時，若數(shù)據(jù)結構沒有發(fā)生改變，卡方值也會變大. 原例題計算出的[χ2≈0.837lt;2.706]，結論為兩所學校的數(shù)學成績優(yōu)秀率沒有差異，但是樣本數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍后，計算得[χ2≈8.365]，卡方值也擴大為原來的10倍. 因為[8.365gt;][2.706]，同樣依據(jù)[α=0.1]的獨立性檢驗，結論為兩所學校的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，樣本量的增大導致了結論發(fā)生變化.

探究：教學參考書沒有再往下詳細說明，這時我們可以抓住契機繼續(xù)探究，做到學有所思、思有所疑、疑有所問、問有所悟，引導教學講透課程重點內(nèi)容，從而在深刻理解的基礎上融會貫通.

事實上，在假設檢驗中，由于樣本的隨機性，當零假設[H0]為真時，檢驗統(tǒng)計量的觀察值也會落入拒絕域，致使我們做出拒絕[H0]的錯誤決策. 反之，當零假設[H0]不真時，檢驗統(tǒng)計量的觀察值也會未落入拒絕域，致使我們做出接受[H0]的錯誤決策. 我們用[α，β]表示這兩類可能發(fā)生的錯誤，記[α=P]（拒絕[H0H0]為真），[β=P]（接受[H0H0]為不真），當樣本容量[n]固定時，[α]越小，[β]就越大. 一般采用的原則是：固定[α]，通過增加樣本容量[n]降低[β]. 也就是說，即便發(fā)生了決策的改變，也不是因為學校和數(shù)學成績之間的關聯(lián)性本身變高或者變低，而只是基于控制決策犯錯的概率. 對這個問題的探究，恰恰深度認知了題目3中的選項B，如果對教材上的這個探究問題有過深刻的理解，那么在判斷題目3的選項B時就不會存在疑惑了.

4. 指向深度思維的課后經(jīng)典習題變式訓練

根據(jù)教材上的經(jīng)典習題，設計指向深度思維的變式訓練，不僅能夠幫助學生鞏固和深化知識，還能夠培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力、邏輯推理能力和解決問題的能力.

例如，人教A版教材必修第二冊第253頁習題10.2第3題：若[PAgt;0]，[PBgt;0]，證明事件A，B相互獨立與A，B互斥不能同時成立.

解析：若A，B相互獨立，

則[PAB=PAPBgt;0].

若A，B互斥，則[PAB=0].

所以兩者不能同時成立.

互斥和獨立都是概率學中的基礎概念，但將它們混合在一起進行考查時，對學生的基本功就有較高的要求了. 為了幫助學生從不同的角度理解同一個概念或原理，促進知識的遷移和應用，我們可以設計如下兩道變式題.

變式1：事件A，B互斥，事件A，C相互獨立，[PA=PB=PC=13]. 下列結論中正確的是（ " ）.

（A）[PA?B=23] （B）[PA?C=59]

（C）[PB?C=0] （D）[PB?CA?C=35]

解析：對于選項A，[PA?B=PA+PB=23]；對于選項B，[PA?C][=PA+PC-PAC=59]；對于選項C，事件B，C關系不確定；對于選項D，[PB?CA?C=PCPA?C=35]. 故答案選ABD.

再如，人教A版教材必修第二冊第253頁習題10.2的第5題：如圖1，一個正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸面上的數(shù)字，得到樣本空間[Ω=1，2，3，4，] [5，6，7，8]，構造適當?shù)氖录嗀，B，C，使[PABC=][PAPBPC]成立，但不滿足A，B，C兩兩獨立.

解析：記[A=1，2，3，4]， [B=1，2，3，5]， [C=]

[1，6，7，8]. 此時[PA=PB=PC=12]， [PABC=][18]，滿足[PABC=PAPBPC]，但是[PAB=38≠]

[PAPB].

這道題目恰恰解釋了題目3中選項D所辨析的知識點，而且此時出現(xiàn)了一個深化思維的最佳時機. 既然由[PABC=PAPBPC]不能推出A，B，C兩兩獨立，那么反向呢？由A，B，C兩兩獨立能否推出[PABC=PAPBPC]呢？

變式2：構造一個反例，使得事件A，B，C兩兩獨立，但不滿足[PABC=PAPBPC].

解析：在概率學中，這正是經(jīng)典的“伯恩斯坦反例”. 一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色，分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下為事件A，B，C，則此時[PA=][PB=PC=12]，且[PAB=PBC=PAC=14，] 滿足A，B，C兩兩獨立，但[PABC=14≠PAPBPC].

通過正反兩個角度的變式訓練，學生在構造事件的過程中實現(xiàn)了從“知其然”到“知其所以然”的進階.

變式3：已知事件A，B，C兩兩獨立，且[PA=]

[12]，[PB=13]，[PC=14].

（1）若[PCAB=13]，求[PABC]；

（2）若[PABC=16]，求證[A]與[BC]相互獨立；

（3）若[PABC=16]，求證[A]與[B?C]相互獨立.

解析：（1）因為A，B獨立，

所以[PAB=12×13=16].

所以[PABC=PABPCAB=118].

此處應避免[PABC=PAPBPC]的錯誤做法.

（2）因為[PABC=PCPABC=124]，

而[PBC=13×14=112]， [PA=12]，

所以[PABC=][PAPBC].

所以[A]與[BC]相互獨立.

（3）因為[PB?C=13+14-112=12]，

[PAB?C=][PAB?AC]

[=PAB+PAC-PABC=16+18-124=14，]

所以[PAB?C=PAPB?C].

所以[A]與[B?C]相互獨立.

這種深度變式，可以作為優(yōu)等生個性化輔導的良好素材.

隨著教育評價方式的變化，越來越多的考試和評估重視學生的深度思維和創(chuàng)新能力，通過變式習題的訓練，可以幫助學生適應這些變化，加深和擴展他們對教材知識的理解. 這種深入的理解能使學生在遇到類似問題時，靈活運用所學知識，而不僅僅是機械地記憶和應用，這種訓練有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高他們的綜合素質(zhì)和能力.

四、教師拓展閱讀高等數(shù)學教材

此任務專為教師設計，而非學生. 教師在研究概率與統(tǒng)計模塊的過程中，研讀高等數(shù)學教材，從更高的視角深入理解知識內(nèi)涵，不僅對教學本身有重要意義，還對學生的學習成效、教師的專業(yè)發(fā)展及教育方法的創(chuàng)新都有深遠的影響.

以本文所涉假設檢驗知識為例，在統(tǒng)計學中，假設檢驗應用范圍既包括高中所學的對分類變量獨立性的檢驗，也包括對隨機變量是否服從某一分布的檢驗，以及對正態(tài)分布中均值和方差的檢驗等，高等數(shù)學往往涵蓋更為詳細的推理過程. 若能把高等數(shù)學教材中的統(tǒng)計學內(nèi)容研讀一遍，教師會更容易理解檢驗假設方法的精髓和內(nèi)涵，便能夠在教學中更準確、更深入地解釋相關概念，從而有能力引導學生獲得更深層次的數(shù)學知識和理解，增強學生的數(shù)學思維能力和問題解決能力.

以本文中的概率問題為例，高中所學的概率模型通常是概率學中經(jīng)典模型的退化版，如“伯恩斯坦反例”“波利亞罐模型”等. 作為教師，閱讀高等數(shù)學教材，了解知識全貌，理解更深層次的邏輯和推理過程，有助于構建一個更加完整和連貫的數(shù)學知識框架.

以全概率公式為例，掌握高等數(shù)學知識使教師能夠從更廣闊的視角理解高中數(shù)學知識，為了幫助學生深度理解全概率公式的精髓，即“化整為零”“各個擊破”“分而食之”，我們可以設計有不同劃分角度的問題模型. 例如，問題“送檢的兩批燈管在運輸中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批中有2支次品，現(xiàn)從剩下的燈管中任取一支，問抽得次品的概率是多少？”可以按照所抽燈管來自第一批還是第二批兩種情況進行分類，也可以按照打碎的兩支燈管分別是正品還是次品的分布情況，即[正品，正品]、[正品，次品]、[次品，正品]、[次品，次品]四種情況來分類. 如此設計，能夠幫助學生建立更加扎實和系統(tǒng)的數(shù)學知識結構.

了解高等數(shù)學的知識點和思維方式，教師可以設計出更具挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性的教學活動和習題，有助于激發(fā)學生的學習興趣和思維活力，促進學生的深度學習和主動探索. 這對于優(yōu)等生的培養(yǎng)或創(chuàng)新人才選拔，尤為重要.

五、展望

創(chuàng)新不是一蹴而就的，本文中用到的多道原創(chuàng)題，恰恰是建立在深入而系統(tǒng)地學習教材知識和經(jīng)驗積累的基礎上，基于對教材知識的深度思考、理解和再創(chuàng)造，使之轉化為自己的思維方式、解決問題的策略或創(chuàng)新思想. 創(chuàng)新需要長期、系統(tǒng)的準備和努力.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界. 在當代社會，數(shù)據(jù)的應用日益廣泛，概率與統(tǒng)計學的重要性隨之提升，新課改中強化概率與統(tǒng)計的地位，旨在配合現(xiàn)代社會的需求，提升學生的綜合素質(zhì)和未來競爭力. 相對于其他模塊，概率與統(tǒng)計模塊與生活中的各種情景與決策關聯(lián)度更高，概率與統(tǒng)計可以幫助我們理解和分析各種情況下事件發(fā)生的可能性，以及如何做出基于數(shù)據(jù)的決策. 對于這一模塊的學習和研究，我們更要緊扣課程標準的要求，平衡好做題和系統(tǒng)學習教材的關系，確保對教材的內(nèi)容有深入的理解，這意味著不僅要讀懂每個章節(jié)的理論知識，還要理解知識點之間的聯(lián)系，以及它們在實際中的應用.

影響學生素養(yǎng)提升最根本的還是在于學生的數(shù)學功底. 良好的數(shù)學功底的含義：一是系統(tǒng)掌握數(shù)學基礎知識、基本技能和基本方法，“知其然”且“知其所以然”；二是融會貫通，能靈活運用知識與方法解決問題. 做到始于教材、貫穿教材、回歸教材、融入教材，這對于學生來講，無論是提升其考試應變能力，還是提升其綜合素養(yǎng)都具有重要意義.

參考文獻：

［1］章建躍. 高三復習備考如何回歸教材（之一）［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2023（12）：65.

［2］盛驟，謝式千，潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第五版［M］. 北京：高等教育出版社，2019.

［3］李賢平. 基礎概率論：第三版［M］. 北京：高等教育出版社，2010.

［4］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.