GeoGebra輔助三角函數(shù)教學研究

陳露 姜合峰

【摘要】信息技術與學科教育相結合，積極構建新型課堂教學模式，以高中人教版必修一“三角函數(shù)”為例，將GeoGebra有效融入課堂教學中，讓學生自主探究，經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程，體會從特殊到一般、從具體到抽象的思維方法，發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).

【關鍵詞】GeoGebra；三角函數(shù)；教學設計

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版2020年修訂）在教學建議中明確指出教師要重視信息技術的運用，實現(xiàn)信息技術與數(shù)學課程的深度融合.2018年教育部發(fā)布《教育信息化2.0行動計劃》指出，發(fā)揮技術優(yōu)勢，變革傳統(tǒng)模式，推進新技術與教育教學的深度融合［1］.《教育信息化“十三五”規(guī)劃》要求增強教師在信息化環(huán)境下創(chuàng)新教育教學的能力，使信息化教學真正成為教師教學活動的常態(tài)［2］.在北京師范大學數(shù)學科學學院曹一鳴教授牽頭下，于2011年5月成立了北京師范大學GeoGebra學院（中國總部），致力于推廣GeoGebra數(shù)學教學軟件［3］.可見國家高度重視信息技術與數(shù)學教育教學的融合.

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的一條主線，函數(shù)知識是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的一個重要載體［4］.由于其具有高度抽象性和復雜性，在實際教學中學生常因理解困難、畫圖能力欠缺難以把握函數(shù)知識的本質.將GeoGebra融入數(shù)學課堂，可改善函數(shù)教學較為枯燥的現(xiàn)狀，更易將數(shù)形結合思想滲透到數(shù)學課堂中，并且由GeoGebra生成的動態(tài)圖象和軌跡追蹤等功能會激發(fā)學生的興趣，提高學生數(shù)學學習的積極性.

2 GeoGebra與高中數(shù)學教學融合原則

2.1 科學性原則

首先教學要確?？茖W性，作圖精準；其次教學要有層次性，由淺入深；最后要保持師生思維同步，不能僅被GeoGebra所吸引而忽略數(shù)學知識的學習，要做到有的放矢［5］.

2.2 主體性原則

借助GeoGebra輔助教學時，始終圍繞學生這一主體，以教學目標、教學內(nèi)容為參考依據(jù)，以學生已有的認知結構為基礎，遵循學生認知和思維發(fā)展規(guī)律，讓學生在學習過程中不僅掌握數(shù)學知識，還要發(fā)展其數(shù)學思維.

2.3 探究性原則

GeoGebra為學生提供了一個可操作的探究平臺，將數(shù)學知識、數(shù)學思維可視化.在探究過程中，應重視學生生成，注重啟發(fā)引導，讓學生成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“研究者”，在知識發(fā)生、發(fā)展過程中發(fā)散思維，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)探索精神.

2.4 動態(tài)性原則

高中數(shù)學具有高度的抽象性，使用GeoGebra使數(shù)學知識動態(tài)化，從而分解教學中的重難點，加強學生對知識的理解與掌握，提高教學實效性，促進學生直觀思維的發(fā)展.

3 基于GeoGebra的《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》教學設計

3.1 實際背景，引入新課

通過GeoGebra演示交流發(fā)電機原理、質點振動和波的傳播、簡諧運動等真實情境向學生展示生活中的正弦曲線和余弦曲線，如圖1.

設計意圖：運用動態(tài)性原則，通過生活實際感知正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在生活中的應用，使學生感受數(shù)學源于生活，引發(fā)學生思考，激發(fā)學生興趣.

3.2 新知探究，難點突破

探究1 正弦函數(shù)圖象

問題1 如何畫出y=sinx，x∈0，2π的圖象？

方法1 在0，2π內(nèi)任取一些橫坐標的值

如x取0，π6，π4，π3，π2…，再計算出對應的sinx為0，12，22，32，1.對于22和32這樣的無理數(shù)如何描點？

可借助計算器算出近似值；也可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義精準描點，借助GeoGebra在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓，⊙O與x軸正半軸交點為A1，0，將點A繞著點O逆時針旋轉x0弧度至點B（利用滑動條控制x0的大?。?，根據(jù)正弦函數(shù)的定義知點B的縱坐標y0=sinx0，故以x0為橫坐標，y0為縱坐標，得到函數(shù)圖象上的點Tx0，sinx0，如圖2.

根據(jù)正弦函數(shù)的定義，一個點的橫坐標x0表示哪幾個量？sinx0的幾何意義是什么？

根據(jù)α=lr，x0=lr=l1=l，則一個點的橫坐標x0既表示任意角，又表示這個角所對應的弧長，sinx0的幾何意義是在單位圓中角x0的終邊與單位圓交點的縱坐標.

方法2 在0，2π內(nèi)取等分點

在GeoGebra中利用序列指令將圓周分成12等份，使x0的值分別為0，π6，π3，π2，…，2π，再按上述畫點Tx0，sinx0的方法畫出x0取這些值時對應的函數(shù)圖象上的點，如圖3，最后用連續(xù)光滑的曲線將這些點連接起來就得到y(tǒng)=sinx，x∈0，2π的圖象.

通過GeoGebra使x0在0，2π上取足夠多的值，從而畫出足夠多的點，再將這些點用光滑的曲線連接起來就得到比較精確的函數(shù)y=sinx，x∈0，2π的圖象，如圖4.

設計意圖 運用科學性原則，代數(shù)描點法作圖不精確，故利用正弦函數(shù)定義的幾何意義作圖，GeoGebra的融入既呈現(xiàn)知識的生成過程，讓學生直觀感知正弦函數(shù)圖象的形成過程，又培養(yǎng)了學生學習數(shù)學抽象、直觀想象等的數(shù)學素養(yǎng).

問題2 如何畫出函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象？

由sinx+2kπ=sinx，k∈Z知，終邊相同角的正弦函數(shù)值相等.通過GeoGebra演示自變量每增加（或減少）2π時，正弦函數(shù)值重復出現(xiàn)的過程（如圖5），從而得出結論：函數(shù)y=sinx，x∈2kπ，2k+1π，k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx，x∈0，2π圖象完全一致.

通過GeoGebra將函數(shù)y=sinx，x∈0，2π的圖象不斷向左、向右移動，每次平移2π個單位長度，得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，如圖6.正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

設計意圖 運用探究性原則，分別從幾何與代數(shù)兩個角度理解函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，空間想象力弱的學生能通過觀察GeoGebra的動態(tài)展示達到學習目標.既培養(yǎng)了學生的“四基四能”，又讓他們感受到信息技術給數(shù)學研究帶來的簡便和正弦函數(shù)圖象的循環(huán)美.

探究2 余弦函數(shù)圖象

問題3 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)是一對密切關聯(lián)的函數(shù)，能否通過對正弦函數(shù)圖象進行變換得到余弦函數(shù)的圖象？

從數(shù)的角度，根據(jù)誘導公式cosx=sinx+π2，而函數(shù)y=sinx+π2，x∈R的圖象又可通過函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象向左平移π2個單位長度得到，故將正弦函數(shù)圖象向左平移π2個單位長度就得到余弦函數(shù)圖象；從形的角度，通過GeoGebra（如圖7），控制滑動條將y=sinx，x∈R的圖象向左平移π2個單位長度就可得到y(tǒng)=cosx，x∈R的圖象.

余弦函數(shù)y=cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線.它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

追問 你能在兩個函數(shù)圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？

學生交流討論，匯報結論，若x0，y0是函數(shù)y=cosx圖象上任意一點，根據(jù)誘導公式得y0=cosx0=sinx0+π2，令x0+π2=t0，則有y0=sint0，即在函數(shù)y=sinx圖象上有對應點t0，y0，因為x0+π2=t0，即x0=t0－π2，所以點x0，y0可以通過點t0，y0向左平移π2個單位長度得到，則將正弦函數(shù)圖象上的點向左平移π2個單位長度就得到余弦函數(shù)的圖象.

類似于“五點法”畫正弦函數(shù)圖象，讓學生嘗試畫出y=cosx，x∈－π，π的簡圖.

設計意圖 運用主體性原則，充分利用已有經(jīng)驗，將誘導公式學以致用，自主探究并直觀感知正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關系，將代數(shù)變化與幾何直觀變化相結合，滲透數(shù)形結合思想和轉化與化歸思想，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，提升數(shù)學思維品質.

4 結語

新教材中正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的內(nèi)容不同以往，沒有采用三角函數(shù)線，而是緊扣函數(shù)研究路徑和單位圓，利用正弦函數(shù)的定義認識正弦函數(shù)的圖象，而GeoGebra與課堂教學的融合，生動形象、高容、高效，可以帶動教學方式的轉變，讓學生體會知識的形成過程，同時也提升了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等素養(yǎng).

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.教育信息化2.0行動計劃［Z］.2018-4-13．

［2］教技［2016］2號文件，教育部關于印發(fā)《教育信息化“十三五”規(guī)劃》的通知［Z］.

［3］劉怡軒.GeoGebra在中學數(shù)學教學中的應用與展望——訪談曹一鳴教授［J］.中學數(shù)學教學參考，2021（13）：42-44+54.

［4］教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［5］章建躍，李柏青，金克勤，董凱.體現(xiàn)函數(shù)建模思想加強信息技術應用——“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”的修訂研究報告［J］.數(shù)學通報，2015，54（08）：1-8.