基于算理算法一致性，發(fā)展兒童運算能力

摘 要：數(shù)的運算教學要關注算理與算法的一致性，引導兒童在學習計算知識的過程中掌握算理和算法之間的聯(lián)系，加強對數(shù)和形、算理和算法的理解，構建數(shù)的運算模型，由碎片化的學習向結構化、系統(tǒng)化的學習過渡。文章從素養(yǎng)導向、本質為根、多元表征三個方面，結合蘇教版小學數(shù)學的計算教學實例，探究基于算理算法一致性，發(fā)展兒童運算能力的相關策略。

關鍵詞：計算教學；算理；算法；運算能力；小學數(shù)學

作者簡介：吳燁（1984—），女，江蘇省無錫市天一實驗小學。

一、以素養(yǎng)為導向，定位算理算法的一致性

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調，數(shù)的運算不僅要讓兒童理解算理、掌握算法，更要引導兒童整體上聯(lián)通算理和算法，從本質上構建計算模型，發(fā)展兒童的數(shù)學核心素養(yǎng)［1］。數(shù)的運算教學不僅是算理和算法的教學，更重要的是基于核心素養(yǎng)導向，加強兒童對算理與算法之間的關系的理解，感悟算理和算法的一致性，促進算理和算法融合，實現(xiàn)數(shù)的運算的遷移，提升兒童數(shù)的運算能力。

例如，在教學“小數(shù)乘整數(shù)”時，教師依據(jù)教材內容設定了如下與核心素養(yǎng)一致的算理算法。

數(shù)學核心素養(yǎng)描述：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。

算理算法一致的數(shù)學表達：借助多元表征（情境圖、方格圖），聯(lián)系已有知識和經(jīng)驗，進行數(shù)學抽象，體會小數(shù)乘整數(shù)的含義，理解算理，掌握小數(shù)乘整數(shù)的算法。借助整數(shù)乘法進行推理，緊扣整數(shù)乘法算理的核心和小數(shù)加數(shù)中的相同計數(shù)單位，促進思考，培養(yǎng)分析、推理和抽象、歸納等思維能力。利用整數(shù)乘法的知識，實現(xiàn)小數(shù)乘整數(shù)的遷移和計算模型的類比建構。

在教學設計時，教師要基于數(shù)學核心素養(yǎng)和算理算法一致的數(shù)學表達，精準地確立教學目標，圍繞教學目標來設定教學內容，設計教學流程。在引導兒童經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘整數(shù)計算方法的過程中，讓兒童體會數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系，積累計算的經(jīng)驗，進一步發(fā)展兒童的數(shù)學思維能力［2］。數(shù)學計算的教學，繞不開兒童的學習能力。教師要真正做到以兒童為主體，考慮到教材的編排特點和兒童現(xiàn)有學情，順應兒童的認知基礎，將具體直觀的感知與抽象的計算原理和算法聯(lián)結起來，以素養(yǎng)為導向，基于運算的一致性，強化兒童對于計算過程原理的內化，實現(xiàn)直觀感知與抽象思維的對接轉換，經(jīng)歷數(shù)學化的過程。

二、以本質為根，把握算理算法的一致性

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，在計算教學中，應讓兒童感悟運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識。在數(shù)學計算教學中，教師要引導兒童理解算理、探索算法，感悟計算中計數(shù)單位的重要作用，理解加、減、乘、除法的本質就是計數(shù)單位與計數(shù)單位之間的運算，以及計數(shù)單位個數(shù)與計數(shù)單位個數(shù)之間的運算。

（一）緊扣計算本質，促進算理算法理解

教師應認真研讀教材，緊扣數(shù)學計算的本質，把握算理算法的一致性。例如，“小數(shù)乘整數(shù)”一課，闡明了小數(shù)與整數(shù)相乘可細分為小數(shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘小數(shù)兩種情況。兒童雖已有乘法交換律的知識，但整數(shù)乘小數(shù)的意義涉及“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，兒童的現(xiàn)有經(jīng)驗不能夠支撐乘法意義的拓展。因此，在教學時，教師從兒童已有的幾個相同加數(shù)和的背景入手，以理解小數(shù)的計數(shù)單位為支架，確定積的小數(shù)點的定位方法，歸納小數(shù)與整數(shù)相乘的方法。

教師先從夏天和冬天購買不同單價的西瓜的問題引入，讓學生列出兩道小數(shù)乘整數(shù)的算式，并嘗試解決問題。

師：夏天買3千克西瓜，要花多少元？冬天呢？怎樣列式？

（教師列式：0.8×3，2.35×3）

師：這兩道算式與我們之前學的乘法有什么不同？

生1：之前我們學的是整數(shù)乘法，今天的算式中有小數(shù)。

師：今天學習的小數(shù)乘整數(shù)，與之前的整數(shù)乘法有沒有聯(lián)系呢？能不能把小數(shù)乘整數(shù)轉化為整數(shù)乘法呢？

（在探究兩道乘法算式積的計算時，教師放手讓學生利用已有知識經(jīng)驗來解決）

師：怎樣計算0.8×3的積是多少呢？

（學生獨立思考，把自己的想法用筆寫下來，再與同學交流）

生1：0.8×3就是3個0.8相加，0.8+0.8+0.8=2.4。

生2：可以把西瓜的單價由“元”換算成“角”來想。0.8元是8角，8角×3=24角，24角是2.4元。

師：怎樣計算2.35×3的積是多少呢？

（學生探究后交流，把2.35×3轉化成2.35+2.35+2.35進行計算，得到7.05；或根據(jù)問題的特點，利用單位改寫，轉化成235分×3=705分，得到7.05元）

兒童的兩種算法，都是從數(shù)學信息出發(fā)進行思考。教師通過引導兒童收集信息，把小數(shù)乘整數(shù)的新知轉化為舊知。方法一是從小數(shù)乘整數(shù)的意義出發(fā)，用幾個相同小數(shù)的加法來間接求出積；方法二是通過將元改寫成角或分的單位換算，把小數(shù)乘整數(shù)轉化成整數(shù)乘整數(shù)，再進行單位換算，把整數(shù)積改寫成小數(shù)形式的積。

通過計算，在得到兩道小數(shù)乘整數(shù)題的積后，教師組織兒童進行觀察比較，說說兩道小數(shù)乘整數(shù)題的積的位數(shù)，并猜測積的位數(shù)與乘位小數(shù)位數(shù)之間可能有什么關系。在兒童提出猜想后，教師順勢要求兒童聯(lián)系計數(shù)單位的知識，來闡述猜想的正確性。教師結合0.8×3和2.35×3，說明其實質就是8個0.1×3得到24個0.1，以及235個0.01×3得到705個0.01，闡明乘數(shù)是幾位小數(shù)，小數(shù)乘整數(shù)的積就是幾位小數(shù)。這樣的教學，就是引導兒童從本質上理解小數(shù)乘整數(shù)的意義和算法，可以把小數(shù)乘整數(shù)也歸結為整數(shù)乘法的計算，有助于兒童經(jīng)歷過程，形成完整、有效的推理路徑，在發(fā)展兒童的推理意識的同時，培育了兒童探究學習的必備能力。

（二）利用數(shù)形結合，促進算理算法融通

數(shù)學研究的內容往往離不開“數(shù)”與“形”。 “數(shù)”是“形”的內核，“形”是“數(shù)”的外在?！靶巍北容^直觀，而“數(shù)”比較抽象，“數(shù)”與“形”兩者結合，可以有效地幫助兒童深度理解概念，建構知識。在計算教學中，特別是對于一些抽象的算理，就需要直觀的圖形來進行表征，打破算理與算法之間的理解障礙，使算理和算法更好地融合，建構體系，實現(xiàn)計算教學由教師的教向兒童的學轉變，使數(shù)學計算的學習從知識本位邁向素養(yǎng)能力本位。

以“小數(shù)乘整數(shù)”一課為例，教師通過圖形來展示小數(shù)的意義，進行小數(shù)乘整數(shù)的算理推算，實現(xiàn)算理算法的融通。

教師先把一個長方形平分成10份，涂色表示0.8，再依次出示2個表示0.8的長方形，引導學生指出0.8是8個十分之一，乘以3，得24個十分之一。

師：結合圖形想一想，0.8里有幾個0.1？可以怎樣計算0.8×3？

生：0.8里有8個0.1，0.8×3就是24個0.1，也就是2.4。

師：在寫豎式計算時，需要注意什么？怎樣計算0.8×3？

生：寫豎式時，注重數(shù)的末尾對齊。按照整數(shù)8×3，算出積24，再在積上點一位小數(shù)。

師：為什么積上要點出一位小數(shù)呢？請與同桌討論交流。

生1：得數(shù)2元4角是2.4元，所以積應是一位小數(shù)。

生2：0.8是8個0.1，0.8×3得數(shù)是24個0.1，是2.4，所以積就是一位小數(shù)。

（在此基礎上，依此類推，學生獨立計算2.35×3）

在小數(shù)乘整數(shù)的算理和算法的探究環(huán)節(jié)，教師要讓兒童學會自己研究，教師只起到指導的作用。在研究的過程中，教師引導兒童利用數(shù)形結合，實現(xiàn)“算理直觀”與“算法抽象”的一致聯(lián)結，使兒童在具體的形象演示中，理清了先算8×3或235×3的算理，掌握了怎樣確定小數(shù)數(shù)位的方法，在理解算理的基礎上建構起了算法。這樣的過程，更好地確立了算理和算法的一致性，加強了新舊知識的聯(lián)系，利于兒童理解小數(shù)乘整數(shù)的算理，掌握相應算法［3］。

三、以多元表征，探索算理算法的一致性

（一）創(chuàng)設有效情境，引出內容

兒童的數(shù)學學習離不開數(shù)學情境的創(chuàng)設。好的數(shù)學情境，貼近兒童已有的知識基礎和生活經(jīng)驗，符合兒童的認知規(guī)律和特點，能夠更好地實現(xiàn)兒童的直觀理解，是兒童實現(xiàn)深度學習的必經(jīng)途徑之一。在計算教學中，創(chuàng)設有效的情境，有利于兒童進行直觀的觀察，幫助兒童建立直觀表象，使兒童探究算理，明曉算法，讓數(shù)學探究有跡可循。數(shù)學思維可視化，能更好地實現(xiàn)算理和算法的融合，發(fā)展兒童的數(shù)學思考力。

例如，教學“三位數(shù)除以兩位數(shù)（口算）”時，教師從兒童學生熟悉的情境出發(fā)，引導兒童進行算理的探索，在理解算理的基礎上掌握算法。

（教師出示情境圖：要給兒童活動中心運送400袋大米，每輛卡車可運80袋，一共需要幾輛卡車才能一次運完？）

師：從圖中你了解了什么數(shù)學信息，要解決什么問題？

生1：已知兩個信息：給兒童活動中心運送400袋大米、每輛卡車能運80袋。

生2：要解決的問題是一共需要幾輛卡車才能一次運完大米。

師：對于這樣的問題，你覺得用什么方法來解決？

生3：要求一共需要幾輛卡車才能一次運完，就是求400里面有多少個80，可以列除法算式400÷80來解決。

師：怎樣計算400÷80呢？這就是我們今天要研究的“三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法”。

教師利用貼近兒童生活的運送物品的情境，引入新知教學，引導兒童學會收集信息，發(fā)現(xiàn)問題，建立除法的計算模型。

（二）多元表征，豐富算法、明晰算理

教師應重視利用助學單，引導兒童進行多元表征，探究運算的一致性，提升兒童的運算能力。下面以“400÷80”的計算教學為例。

師：400÷80應該怎樣計算？請你拿出助學單思考。

三位數(shù)除以兩位數(shù)（口算）助學單

1輛卡車→（ 80 ）袋大米

2輛卡車→（? ? ? ）袋大米

3輛卡車→（? ? ? ）袋大米

4輛卡車→（? ? ? ）袋大米

5輛卡車→（? ? ? ）袋大米

①依據(jù)相關信息，完成填寫。你能解決“一共需要幾輛卡車才能一次運完”的問題嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？與你的學習伙伴分享一下吧。

②你還有其他的解決方法嗎？先想一想，再寫在助學單上。

（在學生獨立完成后，進行集體交流）

生1：1輛卡車裝80袋大米，2輛卡車裝160袋大米，多一輛車就多加一個80袋，依次加下去，5輛卡車裝400袋大米?？梢园l(fā)現(xiàn)，400袋大米5輛卡車能一次運完。

生2：1輛卡車裝80袋大米，就是1個80袋；2輛卡車裝160袋大米，就是2個80袋；3輛卡車裝240袋大米，就是3個80袋……依次算下去，5輛卡車裝400袋大米，也就是5個80袋。

師：像這樣從1輛卡車開始寫的方法，就是一種列舉的方法，是解決問題時經(jīng)常使用的方法，以后大家也可以嘗試用這種方法解決問題。

師：400÷80還可以怎樣算呢？我們一起來分享一下吧。

（教師展示學生的作品，并讓學生交流自己怎樣想的）

生1：80+80+80+80+80=400（袋），我是從加法來想的，5個80袋加起來是400袋，這樣，400÷80=5（輛）

生2：我想的是乘法，因為80×5=400（袋），所以400÷80=5（輛）。

（在學生交流的基礎上，教師引導學生嘗試總結方法，有通過連加來求的，有通過相乘算除來求的，都是從已知條件出發(fā)來解決問題）

生3：40÷8=5，400÷80=5（輛），發(fā)現(xiàn)400÷80的末尾都有一個0，同時去掉一個0，計算結果不會變化。

生4：我也想說，400÷80，可以看成40捆小棒除以8捆小棒，等于5。

……

教師引導兒童交流自己想到的方法，既讓兒童用自己喜歡的方式對計算的過程進行了表述，又讓兒童對自己的探索進行了梳理和提煉。這一語言表述的過程，其實就是兒童進行多元表征的過程。在這個過程中，兒童經(jīng)歷了思維碰撞、分析評價，在豐富兒童的計算方法的同時，有效地實現(xiàn)了算理和算法的融通，促進了兒童對算理的理解，使其更好地把握運算的一致性。

（三）關聯(lián)算理算法，提升思維品質

在兒童提出400÷80可以看成40÷8的計算方法后，教師引導兒童觀察計算過程，說一說為什么可以去0，去0對于計算有什么好處。

師：剛剛我們已經(jīng)會計算400÷80的商了。誰來把這個計算過程用自己的語言來說一說？

（教師指名學生回答，相互補充，形成規(guī)范的語言表達：400÷80，把400看成40個十，80看成8個十，用乘法口訣“五八四十”來計算，可以算出400÷80=5）

（教師出示練習：200÷50，480÷80，600÷ 20，讓學生使用剛才的方法來計算。教師在學生獨立完成練習后與學生交流，并引導學生對三位數(shù)除以兩位數(shù)的計算方法進行總結）

師：在幾百幾十除以整十數(shù)時，可以按照怎樣的方法來計算呢？

生：可以看成“幾個十”除以“幾個十”，用乘法口訣來計算，得到商。

師：剛剛我們學會了幾百幾十除以整十數(shù)的計算方法，能不能利用這個方法來計算更大的數(shù)呢？

生：可以。

（教師出示：810÷90，8100÷900，81000÷ 9000）

師：這三道計算題怎樣算呢？

（學生完成后進行交流）

生1：第一道算式，直接用剛才的方法看成81個十除以9個十，得到商是9。

生2：第二道算式，可以看成81個百除以9個百，得到商是9。

生3：第三道算式，可以看成81個千除以9個千，得到商是9。

師：是啊！雖然要計算的題目數(shù)位比較多，但我們可以用今天學會的計算方法來計算。把未知的問題轉化成已知的問題，這是一種重要的數(shù)學思想方法。

……

教師引導兒童通過觀察計算過程，用語言進行表述，把感性的想法逐步提煉為抽象的方法，由形象的表征向抽象的表達過渡。雖然不同計算題的位數(shù)不同，但是在計算的算理上有著本質上的關聯(lián)：把題目看成幾個計數(shù)單位除以幾個同樣的計數(shù)單位，再利用乘法口訣計算出商。這樣的學習過程，讓兒童在不知不覺中體驗了運算的一致性，不僅讓兒童對算理和算法的學習有跡可尋，又使兒童在三位數(shù)除以兩位數(shù)（口算）中實現(xiàn)了算理和算法的融合。教師對于多位數(shù)的計算的教學設計，是對新知學習順理成章的延伸，是恰到好處的知識遷移，使兒童在自然的學習過程中知曉算理、掌握算法、提高計算能力，在發(fā)展了兒童學習能力的同時，提升了兒童的思維品質。

結語

總之，在新課程標準的素養(yǎng)發(fā)展導向下，教師要重視計算教學中的算理算法的一致性，從整體上關聯(lián)計算教學中的算理算法，充分利用多元表征，結合直觀的“形”來理解“數(shù)”的本質，實現(xiàn)算理算法的融通，引導兒童體驗運算的本質。在計算教學過程中，教師需要從整體上把握計算內容的脈絡，使兒童從已有認知向新知遷移，提升兒童的計算能力，發(fā)展兒童的數(shù)學核心素養(yǎng)。

［參考文獻］

中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］北京：北京師范大學出版社，2022.

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