基于“化歸思想”對(duì)數(shù)列問(wèn)題的討論

白曉穎　任琛琛

［摘 要］化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想。文章以“數(shù)列”知識(shí)為載體，探究化歸思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用，從而拓展學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升。

［關(guān)鍵詞］化歸思想；數(shù)列；應(yīng)用

［中圖分類(lèi)號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）20-0024-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在教學(xué)實(shí)施建議中提出：既要重視教，更要重視學(xué)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)法的指導(dǎo)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)學(xué)本身就具有抽象性，學(xué)生理解起來(lái)比較困難，這就要求教師在教學(xué)時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，不能機(jī)械地給學(xué)生教授知識(shí)，尤其是在解題過(guò)程中，不能讓學(xué)生為了做題而做題，要講求解題的方式方法。例如將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件；將陌生、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題等。教師只有在日常教學(xué)中逐漸滲透數(shù)學(xué)思想方法，才能促進(jìn)學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通。近幾年高考數(shù)學(xué)試題經(jīng)常會(huì)考查學(xué)生對(duì)化歸思想的使用情況，本文將重點(diǎn)敘述化歸思想在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用。

一、化歸思想的要義

化歸不僅是一種重要的解題思想，還是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。化歸思想是指將較難解決的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，化歸為較簡(jiǎn)單的或者已經(jīng)解決的問(wèn)題。化歸思想的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用發(fā)展的、相互制約的觀(guān)點(diǎn)看待問(wèn)題。在數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)解題中會(huì)經(jīng)常使用化歸思想。

二、化歸思想的應(yīng)用指導(dǎo)

（一）注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握

應(yīng)用化歸思想的基礎(chǔ)條件是將教材中所呈現(xiàn)的知識(shí)熟練掌握。只有將基礎(chǔ)知識(shí)熟記于心，才能在解題時(shí)熟練應(yīng)用?；A(chǔ)知識(shí)是前提，是成功解決復(fù)雜問(wèn)題的必要條件。數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立地存在于各個(gè)章節(jié)，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的整體，不同章節(jié)的知識(shí)可以綜合起來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度，所以這也就加大了題目的難度，這就要求學(xué)生在牢牢掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，能夠自然地將不同章節(jié)的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)完整的知識(shí)體系，這樣學(xué)生在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)就不會(huì)表現(xiàn)出慌亂，有助于學(xué)生更好地理解題目，使學(xué)生的解題思路更加順暢。

（二）注重化歸思想的應(yīng)用

化歸思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和生活實(shí)際問(wèn)題的一種慣用方法，應(yīng)用化歸思想要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化的原則。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)怎樣才能有化歸意識(shí)，想到利用化歸思想來(lái)解決問(wèn)題呢？這需要教師在教學(xué)時(shí)潛移默化地給學(xué)生滲透化歸思想，讓學(xué)生慢慢去體會(huì)，慢慢去感悟。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生采用化歸思想去分析題目，使學(xué)生學(xué)會(huì)在不同類(lèi)型的題目中使用化歸思想去解決問(wèn)題，體驗(yàn)解題的快樂(lè)，從而激發(fā)學(xué)生的探究興趣。轉(zhuǎn)化與化歸的方法有多種，結(jié)合實(shí)際的學(xué)習(xí)與探究發(fā)現(xiàn)，具體包括陌生問(wèn)題熟悉化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、一般問(wèn)題特殊化、抽象問(wèn)題具體化、實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化等。對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)采用不同的轉(zhuǎn)化與化歸方法，這樣才能夠確保問(wèn)題得到有效解決。但是在實(shí)際的解題過(guò)程中，部分學(xué)生無(wú)法正確分析題目，將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題，從而解決原問(wèn)題。應(yīng)用化歸思想解題的思路如圖1所示。

三、化歸思想在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

“數(shù)列”是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是新高考的重點(diǎn)內(nèi)容?！皵?shù)列”并不是孤立的知識(shí)，它與函數(shù)、不等式、統(tǒng)計(jì)與概率、導(dǎo)數(shù)等都可以聯(lián)系起來(lái)，這也變相地加大了數(shù)列題目的難度。因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)也要講究方式方法。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)用一道題來(lái)體現(xiàn)一類(lèi)題目的解法，以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的訓(xùn)練。

（五）實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化

學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了解決數(shù)學(xué)題目，更重要的是會(huì)利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，這樣學(xué)生不僅鞏固了數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而構(gòu)建起“學(xué)”與“用”的橋梁，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效應(yīng)用，這也是當(dāng)今教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的一個(gè)重要方式。

［例5］2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫(huà)面和諧統(tǒng)一起來(lái)。我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖2所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始。已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為1.5尺，則一年中秋分到大雪的日晷長(zhǎng)的和為_(kāi)_________尺。

分析：本題是借助數(shù)學(xué)文化考查數(shù)列知識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與民族自豪感。根據(jù)題意要先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，在解題過(guò)程中利用化歸思想，使實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。根據(jù)題意可記夏至日晷長(zhǎng)為[a1]，冬至日晷長(zhǎng)為[a13]，芒種日晷長(zhǎng)為[a24]。[a1]，[a2]，[a3]，[…]，[a13]成等差數(shù)列，其公差為[d]；[a13]，[a14]，[a15]，[…]，[a24]成等差數(shù)列，其公差為[-d]。根據(jù)題目所給條件可得[a1=1.5]，[d=1]，從而可得秋分到大雪的日晷長(zhǎng)的和為[a7+a8+…+a12=3×（2a1+17d）=60]（尺）。

評(píng)析：將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、抽象問(wèn)題具體化，有利于學(xué)生更好地理解問(wèn)題、解決問(wèn)題，提升學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，或是將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，才能稱(chēng)得上真正意義上的深度學(xué)習(xí)，同時(shí)也體現(xiàn)了化歸思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要性。

數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，函數(shù)可以和其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查這樣就加大了數(shù)列考題的難度。在問(wèn)題解決過(guò)程中，首先要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念有清晰的認(rèn)知，注重知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，再根據(jù)各類(lèi)問(wèn)題的不同特征進(jìn)行分析，優(yōu)化化歸思想的運(yùn)用。化歸思想是一種重要的思維策略，也是十分重要的數(shù)學(xué)思想方法之一?；瘹w思想不僅在數(shù)列問(wèn)題中起著重要的作用，在其他單元也有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)思想可謂是數(shù)學(xué)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。我們可以將數(shù)學(xué)思想方法延伸到實(shí)際生活中，促進(jìn)實(shí)際問(wèn)題的解決。學(xué)生在思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，不僅要不斷總結(jié)規(guī)律，講究解題的方式方法，還要能夠熟練地將問(wèn)題進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，不斷實(shí)踐總結(jié)，提升自己解決問(wèn)題的能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 陳明菊.芻議轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則研究［J］.考試周刊，2023（7）：58-62.

［3］? 王德朋.化歸思想在不等式證明中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2023（4）：78-80.

［4］? 馬海燕.基于化歸思想的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（3）：89-90.

（責(zé)任編輯? ? 黃桂堅(jiān)）