積累用“份”度量的經(jīng)驗 發(fā)展單位化思想

【摘? ?要】除法的本質(zhì)是平均分。開展基于“份”的操作活動，有助于學(xué)生理解除法的意義。以浙教版教材“認識除法”單元為例，教師從目標引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動和量規(guī)層次三個維度設(shè)計表現(xiàn)性任務(wù)，從“操作每份數(shù)，初步感知單位化；經(jīng)歷等分除，建立單位化具象；比較倍關(guān)系，建立單位化表象；分出余數(shù)，運用單位化概念”四方面建立評價準則，從而分析學(xué)生對除法意義的理解水平，體現(xiàn)單位化思想在解決問題過程中的價值，為學(xué)生單位化思想的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】深度操作；表現(xiàn)性評價；單位化思想

除法意義的本質(zhì)是平均分，平均分的結(jié)果——“每份數(shù)”，就是單位量。每份數(shù)既是平均分的結(jié)果，又可以作為平均分的標準，獲得每份數(shù)的過程（等分除）以及將每份數(shù)作為標準進行平均分（包含除）都蘊含著單位化思想。［1］33學(xué)生通過操作“份”的數(shù)學(xué)活動，積累用“份”度量“總數(shù)”的經(jīng)驗，像這樣定義與操作單位的過程稱之為“單位化”［1］30，有助于學(xué)生理解除法意義。但是，要讓學(xué)生將等分除理解為“求總數(shù)里面有幾個幾”并不容易，這是除法運算意義教學(xué)的難點。［2］如圖1的題目，全班約25.6%的學(xué)生看圖列式的答案為18÷3=5……3，這是因為他們混淆了每份數(shù)和份數(shù)，沒弄清楚“除數(shù)3”究竟表示什么。

可見，學(xué)生未能很好地在用算式表示和實際理解的除法意義之間建立關(guān)系。那么，如何將除法的意義轉(zhuǎn)化為可視化的操作行為，幫助學(xué)生具象化理解“份”呢？本文采用基于問題驅(qū)動，讓理解可見化的深度操作學(xué)習(xí)模式［3］，從目標引領(lǐng)、學(xué)習(xí)任務(wù)和量規(guī)層次（將學(xué)生的行為、認知、態(tài)度與結(jié)果作為評價的標準）［4-5］三個維度設(shè)計表現(xiàn)性評價方案，依據(jù)浙教版教材二年級上冊的安排，按照“除法的認識—倍的認識—帶除除法的認識”的序列展開，在學(xué)生操作水平和除法意義的理解之間建立評價準則。

一、基于“份”的操作，設(shè)計表現(xiàn)性任務(wù)

（一）操作每份數(shù)，初步感知單位化

教師創(chuàng)設(shè)“裝盒出售水果”的現(xiàn)實情境，讓學(xué)生自主選擇不同類型的水果盒，通過拿2個、3個小方塊，在操作活動中建立單位量的具象。（如表1）

（二）經(jīng)歷等分除，建立單位化具象

教師引導(dǎo)學(xué)生交流多種等分的方法，經(jīng)歷調(diào)整分的操作過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達一次分幾個、分了幾次也表示被除數(shù)里包含了幾個幾。像這樣獲得每份數(shù)的過程就是“單位化”的抽象過程。（如表2）

（三）比較倍關(guān)系，建立單位化表象

倍的認識源于比較。學(xué)生通過操作兩個量，建立1份數(shù)和幾份數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍就是有這樣的幾份，形成倍的表象，抽象倍的概念。（如表3）

在實踐操作的過程中，有的學(xué)生把9個方塊看作1份，再擺3份，表示27是9的3倍；有的學(xué)生把3個方塊看作1份，再擺3份，表示9是3的3倍；有的學(xué)生則把1個方塊看作1份，再擺3份，直接表示它們的3倍關(guān)系。教師接著引導(dǎo)學(xué)生思考：“6是2的幾倍，18是6的幾倍”等可以用哪種擺法來表示？這種擺法還能表示哪些數(shù)之間的關(guān)系？逐步抽象用“每份數(shù)”度量“多份數(shù)”的過程。

（四）分出余數(shù)，運用單位化概念

學(xué)生通過參與有余分物的活動，經(jīng)歷均分后有剩余的過程，將抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律轉(zhuǎn)化為形象的語言表達，運用單位化概念，以數(shù)解形［6］，理解余數(shù)問題，發(fā)展單位化思想。（如表4）

二、基于“份”的操作，分析學(xué)生單位化水平

通過操作活動，能否提升學(xué)生對除法意義的理解與應(yīng)用？學(xué)生操作水平的差異能反映出他們思維層次的高低嗎？筆者選取兩個水平相當?shù)亩昙壈嗉壸鳛閷嶒瀸ο?，以?中的學(xué)習(xí)任務(wù)的第2題為測試題進行對比實驗。對照班進行常規(guī)教學(xué)后采用紙筆測試；實驗班先讓學(xué)生利用小方塊開展操作活動，再采用紙筆測試。

（一）除法意義理解水平分析

為用除法意義解決問題的結(jié)果賦分，并進行獨立樣本T檢驗，結(jié)果如表5所示。

表5顯示，實驗班與對照班的前測均值分別為0.84分和0.93分，T值為-0.653，顯著性P值>.05，說明實驗班和對照班的前測數(shù)據(jù)不存在顯著差異。實驗班與對照班的后測均值分別為6.11分和4.30分，T值為3.822，顯著性P值<0.05，說明實驗班和對照班的后測數(shù)據(jù)存在顯著差異。具體差異表現(xiàn)在對“等分”意義的理解和應(yīng)用上（如圖2），即經(jīng)歷再“等分一次”這一單位化水平的差異。

實驗結(jié)果還表明，讓學(xué)生經(jīng)歷操作活動，不但有利于他們理解除法意義，還能為進一步發(fā)展他們的單位化思想奠定基礎(chǔ)。第（1）小題，實驗班同時用包含和等分兩種方法來解決問題的人數(shù)明顯高于對照班。第（2）小題，說明“39÷5=6……9錯在哪里”時，實驗班學(xué)生能將等分的意義遷移到余數(shù)與除法的關(guān)系中，實施 “從9中取出5個再分一次” 的實踐操作，并說明理由。而對照班學(xué)生基本沒有出現(xiàn)將余下的9個再分一次的情況。

（二）單位化水平層次分析

筆者采用分析記錄單、視頻切片、訪談等形式還原學(xué)生的操作活動，對實驗班學(xué)生的單位化水平作了進一步分析（如表6）。

訪談發(fā)現(xiàn)，如何根據(jù)已知信息將研究問題轉(zhuǎn)化為操作行為，如何根據(jù)操作過程進行數(shù)學(xué)化表達，是基于“份”的操作活動中應(yīng)重點關(guān)注的環(huán)節(jié)。

三、基于“份”的操作的教學(xué)思考與啟示

在對比實驗中，實驗班學(xué)生基于實際問題的解決，利用可視化學(xué)具的操作活動理解“每份數(shù)”“份數(shù)”之間的關(guān)系，經(jīng)歷“幾個一份”“一次分幾個”這一單位化的操作過程，這有利于他們用數(shù)學(xué)語言表征“除法就是總數(shù)里包含了幾個幾”的本質(zhì)。其中，調(diào)整均分的操作能有效幫助學(xué)生理解“等分”的意義。筆者對實驗班第（2）題出錯的15名學(xué)生進行訪談（如圖3）：“圖中的5表示什么意思？”除1名學(xué)生外，其他學(xué)生均回答平均分成5份，并能正確操作“從9中取出5個再分一次”的動作，將算式改寫成39÷5=7……4。而對照班學(xué)生基本沒有出現(xiàn)將余下的9個再分一次的情況。

類似地，小數(shù)、分數(shù)的除法運算也可以基于單位化操作，其運算意義的本質(zhì)都是可以從單位化角度理解算理［8］。所以在后續(xù)學(xué)習(xí)中，還可以繼續(xù)開展基于“份”的操作活動，讓學(xué)生通過操作“小數(shù)塊”“分數(shù)塊”，理解以“小數(shù)”“分數(shù)”為單位來度量總數(shù)（如圖4），或以“多份數(shù)”為單位來度量“1份數(shù)”，如“1”是“3”的[13]等，進一步發(fā)展單位化思想，提升以單位化的方式認識世界的能力。

參考文獻：

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［8］劉加霞，孫海燕.單位化思想視角下的除法運算本質(zhì)與教學(xué)建議［J］.教學(xué)與管理，2021（26）：56-58.

（浙江省杭州市勝利小學(xué)）