小學(xué)尺規(guī)作圖教學(xué)的思考與實踐

蘇傲雪 王鈺瑩 胡詩純

【摘? ?要】尺規(guī)作圖是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》“圖形與幾何”領(lǐng)域小學(xué)部分的新增內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。以“作三角形”內(nèi)容為例，通過先后兩輪教學(xué)設(shè)計及改進實施，發(fā)現(xiàn)：“作三角形”對學(xué)生來說有一定的難度，教學(xué)中，可以動手操作奠基，動態(tài)演示助力，拓展練習(xí)延伸，更好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與推理意識。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；作三角形；幾何直觀；推理意識

“尺規(guī)作圖”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱為《課程標準》）“圖形與幾何”領(lǐng)域小學(xué)部分的新增內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)起著重要作用。尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進行作圖。直尺的作用是畫線段、射線和直線，圓規(guī)的作用是畫圓或截取相等的長度。［1］尺規(guī)作圖過程能將抽象的推理過程直觀化、外顯化，使學(xué)生做到手腦并用、做學(xué)合一，培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識和幾何直觀。

以前，尺規(guī)作圖要到初中階段才開始學(xué)習(xí)，現(xiàn)在將尺規(guī)作圖下移至小學(xué)階段，這使得尺規(guī)作圖教學(xué)遇到了全新的挑戰(zhàn)。那么，小學(xué)階段應(yīng)該如何開展尺規(guī)作圖的教學(xué)設(shè)計與實踐呢？本文以“作三角形”為例，通過兩輪教學(xué)設(shè)計及實施，探索小學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。

一、小學(xué)階段引入尺規(guī)作圖的原因

（一）加強中小學(xué)課程銜接

針對尺規(guī)作圖，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程存在銜接問題。以往的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，只涉及用圓規(guī)畫圓的內(nèi)容，到初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)用尺規(guī)作圖時，就會遇到很大的困難。因此，《課程標準》依據(jù)學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，在小學(xué)階段增加了“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”（簡稱“作等長線段”）、“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線的過程，直觀感受三角形的周長”（簡稱“作三角形三條邊”）、“要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”（簡稱“作三角形”）三個尺規(guī)作圖內(nèi)容，為初中尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，以實現(xiàn)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的連續(xù)性、統(tǒng)一性、整體性［2］。

（二）注重核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

尺規(guī)作圖是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理意識的有效手段。一方面，學(xué)生利用尺規(guī)作圖，可以將頭腦中的思維轉(zhuǎn)化為直觀圖形，通過實際畫圖，讓思維可視化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。另一方面，在作圖操作過程中，學(xué)生可以加深對定理和命題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。［3］

（三）實現(xiàn)“做中學(xué)，創(chuàng)中學(xué)”

尺規(guī)作圖是典型的“做中學(xué)，創(chuàng)中學(xué)”方法。通過尺規(guī)作圖，學(xué)生積極想象，動手操作，主動構(gòu)造，從而激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生構(gòu)思如何用直尺和圓規(guī)作圖的過程是“做中學(xué)，創(chuàng)中學(xué)”的具體體現(xiàn)。構(gòu)思時，學(xué)生首先應(yīng)考慮作圖的關(guān)鍵是什么。他們要先初步想象出利用尺規(guī)作圖后所形成的圖形，其次構(gòu)思具體操作步驟，最后將作圖的過程有條理地表達出來。［4］以“作三角形”為例，學(xué)生需要在頭腦中構(gòu)思，先作一條邊，然后確定第3個頂點。再通過不斷嘗試、操作，經(jīng)歷找點的過程，及時反思，最終體會到需要找到兩弧的交點。整個學(xué)習(xí)過程，學(xué)生通過想象、操作、推理活動，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力和探究能力。［5］

二、教學(xué)設(shè)計與實踐

六年級學(xué)生的幾何思維正處于從非形式化水平向形式化水平過渡的階段。［6］學(xué)生四年級時通過擺小木棒活動直觀感知了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關(guān)系，六年級在“圓”單元又學(xué)習(xí)了用圓規(guī)畫圓對用尺規(guī)作圖作三角形有一定的基礎(chǔ)。同時，學(xué)生也面臨一些挑戰(zhàn)：習(xí)慣用有刻度直尺，不習(xí)慣使用無刻度直尺；對圓規(guī)的使用僅停留在畫圓層面；未學(xué)習(xí)過用圓規(guī)作等長線段，直接“作三角形”對他們而言具有挑戰(zhàn)性。本內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“認識三角形”“三角形三邊關(guān)系”“圓的認識”的基礎(chǔ)上展開的，重點是引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握“借助無刻度的直尺和圓規(guī)畫出指定邊長的三角形”的做法?；诖耍P者在北京市海淀區(qū)某小學(xué)六年級兩個班先后實施兩輪教學(xué)。具體教學(xué)目標如下。

（1）通過對比多種畫三角形的方法，掌握用尺規(guī)畫圓弧作三角形的方法，培養(yǎng)推理意識。

（2）利用尺規(guī)作圖感知三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

（3）在與他人的合作交流中，能提出問題，并對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋，會用數(shù)學(xué)的思維來思考問題，提高學(xué)習(xí)成就感。

教學(xué)重點：會用尺規(guī)畫圓弧作三角形，理解三角形任意兩邊之和大于第三邊，能有條理地表達作圖過程。

教學(xué)難點：經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，提高學(xué)生的尺規(guī)作圖技能，能根據(jù)條件作三角形，能理解作圖的依據(jù)。

（一）第一輪教學(xué)設(shè)計及分析

1.第一輪教學(xué)過程

（1）活動1：回顧舊知

教師提問：“大家學(xué)習(xí)過用圓規(guī)畫圖，圓規(guī)可以畫什么圖形？畫出來的圖形有什么特點呢？”引導(dǎo)學(xué)生回顧圓規(guī)能畫圓，并回憶圓的相關(guān)知識。

教師出示無刻度直尺，提問：“仔細觀察這把直尺，它和我們平時使用的直尺有什么區(qū)別？它可以用來畫什么？”明確無刻度直尺能畫直線。同時讓學(xué)生想象一下圓規(guī)和無刻度直尺能畫什么圖形，鼓勵學(xué)生用尺規(guī)動手畫一畫。

（2）活動2：合作探究、作三角形

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的特征，并提問：用尺規(guī)可以作出三角形嗎？

布置任務(wù)：嘗試用圓規(guī)和無刻度直尺，將任務(wù)1中的三條線段圍成三角形。

展示交流：展示學(xué)生的不同作圖方法。

方法1：用直尺大概作圖（如圖1）。

方法2：利用圓規(guī)卡出兩個點，大概作圖（如圖2）。

方法3：用圓規(guī)畫圓弧的方式作圖（如圖3）。

教師引導(dǎo)全班學(xué)生交流討論，分析每種方法的優(yōu)缺點，共同總結(jié)結(jié)論：第1、第2種作圖方法不夠精確，第3種作圖方法能準確、快速作出三角形。

（3）活動3：探究三角形三邊關(guān)系

在活動2基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：任何三條線段都能畫成一個三角形嗎？接著出示任務(wù)2，讓學(xué)生觀察三組線段，判斷哪些能構(gòu)成三角形，并動手畫一畫，驗證判斷結(jié)果。

學(xué)生通過動手作圖進行驗證后，教師啟發(fā)他們思考：每組任務(wù)三條邊的長度有什么關(guān)系？構(gòu)成三角形的三邊必須滿足什么條件？

2.教學(xué)實施結(jié)果分析

對任務(wù)1中的學(xué)生作圖方式進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)：由于受到圓規(guī)畫圓的思維定式的影響，約有21.4%的學(xué)生采取隨意畫圓的方式作圖，但沒能作出三角形（如圖4）；由于六年級學(xué)生之前沒有學(xué)習(xí)過用尺規(guī)作等長線段，約有47.6%的學(xué)生通過卡長度畫三角形（如圖2）；約有7.2%的學(xué)生在理解了“任意兩邊之和大于第三邊”的情況下，選擇湊出一個三角形（如圖5）；僅有約23.8%的學(xué)生通過畫圓弧作三角形（如圖3）?？梢姳敬谓虒W(xué)設(shè)計存在較大問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果并不理想。

在第一輪教學(xué)設(shè)計實施之后，對教學(xué)設(shè)計作如下調(diào)整。

（1）在任務(wù)單上直接給出三角形底邊（其中一條邊）的位置，給學(xué)生一個尺規(guī)作圖的支架，防止他們隨意畫圓，并引導(dǎo)學(xué)生將重點放在“如何找到第3個頂點”上。

（2）從用小木棒擺三角形引入，幫助學(xué)生搭建學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，讓他們直觀地體會畫圓弧的過程，將小木棒抽象成線段，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。

（3）第一輪教學(xué)設(shè)計中的活動3是在預(yù)設(shè)學(xué)生未學(xué)過“任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關(guān)系的情形下開展的。第二輪教學(xué)設(shè)計則將三角形三邊關(guān)系作為前提進行教學(xué)。

（4）設(shè)計拓展習(xí)題，打開學(xué)生思路，幫助學(xué)生突破慣性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和空間想象能力。

基于以上對第一輪教學(xué)設(shè)計的調(diào)整，繼續(xù)開展第二輪教學(xué)活動，并在同一學(xué)校六年級的另外一個班實施教學(xué)。

（二）第二輪教學(xué)設(shè)計及分析

1. 第二輪教學(xué)過程

（1）活動1：擺三角形

教師帶領(lǐng)學(xué)生完成熱身游戲：用工具袋中的3根小木棒拼成一個三角形。讓學(xué)生動手操作，直觀感受拼三角形的過程，明確在不斷調(diào)整小木棒擺三角形的過程中蘊含著圓弧，為用圓規(guī)畫圓弧作三角形奠基。教師提問：“你是一下就拼成三角形的嗎？你做了怎樣的調(diào)整？”

教師展示學(xué)生的操作調(diào)整過程，提問：“調(diào)整到什么時候就拼成了三角形？”然后利用課件動態(tài)演示擺小木棒的過程（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注2根小木棒相交時產(chǎn)生的交點，即拼成三角形的關(guān)鍵是確定第3個頂點。

（2）活動2：作三角形

教師引導(dǎo)學(xué)生通過動態(tài)演示總結(jié)出小木棒與圓規(guī)有相同之處，并提問：用尺規(guī)可以作出三角形嗎？

布置任務(wù)：運用圓規(guī)和無刻度直尺作出一個三角形，以任務(wù)1中的c作為三角形的一條邊，a和b作為另外左右兩條傾斜的邊。

展示交流：展示學(xué)生的不同作圖方法。

方法1：用直尺大概作圖（如圖1）。

方法2：利用圓規(guī)卡出兩個點，大概作圖（如圖2）。

方法3：用圓規(guī)畫圓弧的方式作圖（如圖3）。

教師引導(dǎo)全班學(xué)生交流討論，分析每種方法的優(yōu)缺點，共同總結(jié)結(jié)論：第1、第2種作圖方法不夠精確，第3種作圖方法能準確、快速作出三角形。

（3）活動3：探究三角形三邊關(guān)系

在活動2基礎(chǔ)上，教師提問：“任意三條線段都能畫成一個三角形嗎？”引導(dǎo)學(xué)生回憶四年級學(xué)過的結(jié)論“任意兩邊之和大于第三邊”，并以此為猜想，通過動手作圖來驗證猜想。

學(xué)生通過動手作圖進行驗證后，得出結(jié)論“當(dāng)任意兩條線段的長度和大于第三條線段的長度時，才能畫出三角形”。

（4）課外作業(yè)：拓展練習(xí)

布置課外作業(yè)：點A在直線l上，點B在直線l外，請在直線l上找到點C，使得△ABC構(gòu)成等腰三角形。

通過尺規(guī)作圖作等腰三角形，既可分別將線段AB作為底邊或腰，作出多個等腰三角形，也可采用對折方法完成。這樣的拓展練習(xí)既可以拓寬學(xué)生的思考視野，又可以培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識。

2.教學(xué)實施結(jié)果分析

對第二輪教學(xué)任務(wù)1中學(xué)生的作圖方式進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)：約有84.6%的學(xué)生能直接想到畫圓弧的方式來畫三角形，僅有15.4%的學(xué)生用圓規(guī)卡長度的方式作三角形，且沒有隨意畫圓的學(xué)生。由此可見，在改進教學(xué)設(shè)計后，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到明顯提升，作圖情況有了較大變化。

三、教學(xué)思考

（一）動手操作奠基，開啟思維之門

小學(xué)生的思維水平總體較低，動手畫圖的活動經(jīng)驗積累較少，難以直接借用知識和經(jīng)驗去解決問題。第二輪教學(xué)中，教師在開展探究活動前，讓學(xué)生動手操作擺三角形，在此的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生將3根小木棒抽象成三條線段，為使用圓規(guī)畫圓弧奠基，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果得到明顯提升。因此，只有讓學(xué)生的思維順著支架螺旋式上升，才能讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式。

（二）動態(tài)演示助力，增強幾何直觀

小學(xué)生因其自身的年齡特征和心理特征，對動手操作、動態(tài)演示比較敏感，能直觀感知其數(shù)學(xué)本質(zhì)。在第二輪教學(xué)中，教師先引入“用3根小木棒搭三角形”的活動，再利用課件動態(tài)演示“確定第3個頂點”的過程，最后，以操作演示軌跡類比用尺規(guī)作圖，引導(dǎo)學(xué)生掌握用尺規(guī)作圖的方法。因此，利用操作演示功能可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，簡化復(fù)雜的問題，將抽象的數(shù)學(xué)知識具象化、直觀化。

（三）拓展練習(xí)延伸，提升創(chuàng)新意識

在“作三角形”的教學(xué)中，教師給定最長的邊作為底邊，容易使學(xué)生產(chǎn)生思維定式：只能把最長的線段作為底邊，較短的線段作為斜邊。因此，教師引入作等腰三角形的拓展習(xí)題，使給定的兩條邊既可以作為三角形的腰，又可以作為底邊。拓展性習(xí)題是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的有效途徑，能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻：

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［6］段思維.基于范希爾理論提升小學(xué)生幾何思維水平［J］.新課程研究，2022（34）：123-125.

（1.中央民族大學(xué)理學(xué)院

2.中南大學(xué)第二附屬小學(xué)）