圖形運動學習中直觀想象的運用

于飛 何優(yōu)優(yōu)

摘 要：直觀想象是學習圖形運動內(nèi)容的重要方式。圖形運動學習中直觀想象的運用，可以借助變化與比較的策略，具體包括在關(guān)注軌跡中聚焦變化過程、在比較異同中建立數(shù)學模型兩個層次。由此，在六年級設(shè)計和實施《圖形的運動》綜合練習課，引導學生想象運動軌跡，系統(tǒng)感受圖形運動的變化規(guī)律；比較變化要素，切實體會圖形運動的模型價值。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；直觀想象；圖形運動；綜合練習

一、直觀想象與圖形運動的學習

作為直觀想象的重要載體，圖形是數(shù)學研究的基本對象之一。運動變換是研究圖形的重要視角，有助于整體認識圖形，比較把握圖形要素之間的關(guān)系。圖形的運動是小學數(shù)學的重要內(nèi)容，涉及平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等剛體運動以及放大、縮小等形變運動。

不同的運動因為關(guān)注不同的要素，呈現(xiàn)出各自的特點。比如，平移運動關(guān)注平移方向和平移距離等，旋轉(zhuǎn)運動關(guān)注旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度等，而軸對稱運動實際上是（圖形）在空間中繞軸（線）旋轉(zhuǎn)180°。圖形運動的學習，不能只關(guān)注運動的結(jié)果，而需要更多關(guān)注運動的過程。靜止的圖形比較容易通過直觀來認識，而運動的圖形更需要通過想象運動的過程，把握運動的結(jié)果。因此，直觀想象是學習圖形運動內(nèi)容的重要方式，也是要培養(yǎng)的重要核心素養(yǎng)。特別是面對復雜的圖形運動，想象運動過程和把握運動結(jié)果更需要較強的直觀想象能力。

二、策略要義

首先是變化。變化指物體運動的情況，更加聚焦運動的過程。在圖形運動中指運動從開始到結(jié)束的整個過程，包括運動軌跡所形成的新圖形等。對運動過程的感受與體驗有助于打開想象空間，培養(yǎng)直觀想象能力。其次是比較。比較指對比事物的相同與差異，從而明晰事物的本質(zhì)，加深理解。圖形經(jīng)過運動就有變化，由此便可比較，從而把握“變”與“不變”的規(guī)律，發(fā)展直觀理解能力與空間想象能力。變化與比較作為一種策略，具體包括兩個層次：

一是在關(guān)注軌跡中聚焦變化過程。運動軌跡其實是運動過程的顯性化描述。圖形運動知識的學習，從原先僅關(guān)注運動的結(jié)果轉(zhuǎn)變到聚焦運動變化的整個過程，關(guān)注運動時圖形中點、線、面的變化，不僅需要掌握圖形運動的相關(guān)要素，而且需要觀察想象、比較思考圖形運動留下的軌跡。軌跡掃過形成的圖形時常是多元的、無痕的，于是，就有了深入研究的素材。學生對過程的想象遠比常規(guī)對結(jié)果的觀察更有挑戰(zhàn)性，也就更有利于其直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

二是在比較異同中建立數(shù)學模型。想象運動過程的軌跡圖形，比較運動前后的“變”（異）與“不變”（同）要素，也是一種建立數(shù)學模型從而解決問題（解釋結(jié)論）的過程。這樣的過程很有挑戰(zhàn)性，是對學生直觀想象、推理能力、模型意識、應(yīng)用能力等的綜合考驗，也有助于學生進一步把握圖形運動的特征和規(guī)律。

三、實踐案例

小學階段，教學圖形運動的單一方式（如平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等）時，教師一般會采用“出示運動方式—按照規(guī)定畫圖—歸納運動特點”這樣的模式（流程）。關(guān)于圖形運動的綜合學習（特別是與解決實際問題結(jié)合的學習）相對較少，直觀想象運動變化的體驗非常缺乏，造成學生解決與圖形運動相關(guān)的實際問題時出現(xiàn)困難。

我們用“在一個邊長為6 cm的正方形中有一個直徑是4 cm的圓，現(xiàn)將這個圓在正方形內(nèi)任意移動，它不能接觸到的面積有多大？”這個問題對城區(qū)某學校的315位六年級學生進行檢測，發(fā)現(xiàn)接近三分之二的學生解答錯誤，甚至有27.9%的學生完全沒有思考方向，呈現(xiàn)的答案與正確答案相距甚遠。這樣的結(jié)果表明，學生在解決與圖形運動相關(guān)的實際問題時，直觀想象能力不足，想象不出圖形運動的過程，抽象不出解決問題的模型。

因此，我們在六年級設(shè)計并實施了《圖形的運動》綜合練習課。下面，以這節(jié)課為例，具體闡述圖形運動學習中直觀想象運用（相關(guān)問題解決）的變化與比較策略。

（一）想象運動軌跡，系統(tǒng)感受圖形運動的變化規(guī)律

【教學活動1】 將一條線段作運動

師 一根長4厘米的線段運動后，軌跡掃過的面可能是怎樣的圖形？想象一下。

生? 長方形。

師 怎樣的長方形？怎樣得到的呢？

生 比如線段向右平移3厘米，軌跡經(jīng)過的面就是一個長4厘米、寬3厘米的長方形。

（教師引導學生想象線段運動的過程，然后利用動畫演示，畫面定格為圖1。）

師? 除了得到長方形，還有不同的圖形嗎？

生? 得到一個圓。

師? 一個圓？想象一下，會是多大的圓？

生? 半徑2厘米的圓。繞中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°即可。

生 還可以是半徑4厘米的圓。以線段的一端為中心，順時針旋轉(zhuǎn)360°即可。

……

（教師引導學生想象線段運動的過程，然后利用動畫演示，畫面定格為圖2。）

師 將一條簡單的線段作運動，因為運動的關(guān)鍵要素不同，軌跡可以是多個不同的圖形。

從一條簡單線段的運動開始探究，感受軌跡掃過的面，學生容易接受和理解。教學時，先讓學生想象通過怎樣的運動可以得到怎樣的軌跡圖形，再由學生描述或板演，最后動畫演示過程，從而不僅鞏固圖形運動的要素，也讓學生初步感知運動的軌跡圖形。

【教學活動2】 將一個三角形作運動

教師將線段換成三角形，讓學生想象其運動后軌跡可能是怎樣的圖形。

研究三角形運動后軌跡形成的圖形，相對復雜得多。特別是旋轉(zhuǎn)，因為旋轉(zhuǎn)中心和角度的不同，軌跡形成的圖形可能是一個不規(guī)則的圖形，需要想象其中的某段圓弧。完成這樣的活動，不僅需要回憶圖形運動的相關(guān)知識，更需要將圖形運動的相關(guān)知識綜合起來考慮，既可以通過平移去想象，也可以通過旋轉(zhuǎn)去想象，當然還可以通過軸對稱去想象。因為圖形運動知識的應(yīng)用是開放的，所以其探索形成的結(jié)果（包括軌跡）也是開放的，從而便于學生將所學知識納入系統(tǒng)中去分析、思考、想象與應(yīng)用。

（二）比較變化要素，切實體會圖形運動的模型價值

“圖形的運動”的學習不僅有想象運動過程、描述運動特征、體會運動規(guī)律的要求，而且有學以致用，解決有關(guān)實際問題的要求。運用圖形運動的知識解決實際問題，其關(guān)鍵在兩個地方：一是想象生活中實物的運動情形，比較變化要素；二是結(jié)合情境分析，建立問題模型。

【教學活動3】 計算掃地機器人的清掃面積

師 有一臺直徑40厘米的圓形掃地機器人，要清掃一間儲物間的地面，儲物間的地面正好是一個邊長為1.4米的正方形。如果機器人可以在儲物間地面上任意移動，它能清掃到全部地面嗎？若不能，則清掃不到的地面有多大？

（學生自主嘗試畫圖、計算。）

師 （展示學生畫出的兩種圖形，如圖3、圖4所示）這兩種畫法表示出了清掃不到的部分？你認為哪種畫法是正確的呢？

（學生小組討論，然后全班交流。）

生 我們小組認為第二種畫法是正確的。因為掃地機器人是直徑40厘米的圓，所以四個角上，空白部分應(yīng)該跟直徑40厘米的圓有關(guān)。第一個圖形中，圓太大了，空白部分也太大了。

生? 可以拿一個小圓在正方形里運動試一下。只需把這個圓放在正方形的四個角上，空白部分就是清掃不到的地方，其他地方都可以通過平移清掃到。

（該生上臺，操作課件，形成下頁圖5。）

比較哪種畫法是正確的，實際是建立數(shù)學模型的過程。在討論中，通過直觀演示，幫助學生想象與理解四個角清掃不到的部分正好是圓形掃地機器人與正方形地面一個直角形成的“外方內(nèi)圓”部分，從而建立適當?shù)臄?shù)學模型，突破解題的難點。

【教學活動4】 限制運動范圍，計算掃地機器人的清掃面積

教師出示變式問題1：想象一下，如果機器人沿儲物間地面的四周清掃一圈，它清掃不到的地面有多大？與之前的問題相比，有哪些相同的地方，有哪些不同的地方？讓學生嘗試解決。

限制平移運動的范圍，從圓在正方形內(nèi)任意平移到只沿四周平移，對想象的要求更高了，特別是得到中間的空白部分是一個正方形。如何幫助學生想象、理解呢？可以選取圓周的上下左右4個點進行平移，形成4條線段，就是圓形平移的邊界（如圖6所示），從而幫助學生想象、理解為什么形成的是一個正方形，而不是有弧線的圖形。

【教學活動5】 改變生活事件，比較割草機的割草面積

教師出示變式問題2：工人用一臺清掃面為半圓形（其半徑為20厘米）的割草機在一塊草坪上割草，割草機分別向右平移10米、向下平移10米（如圖7所示），軌跡掃過的面積一樣大嗎？若不一樣，則相差多少？讓學生嘗試解決。

改變生活事件，一則拓展學生的視野，使其了解圖形運動在生活中廣泛存在；二則仍然著眼于運動過程的想象與數(shù)學模型的建立，突出想象能力、思維能力的發(fā)展。事實上，從圖形運動與問題核心的關(guān)系來看，解決這一問題的最佳方法是比較兩個長方形的面積。

總的來說，《圖形的運動》綜合練習課，沒有停留在基本知識和基本技能的操練上，而是以變化與比較的視角，聚焦運動過程形成的軌跡圖形，讓課堂有想象和思辨的空間與挑戰(zhàn)，從而幫助學生在解決生活實際問題的過程中自主建立數(shù)學模型，提升綜合數(shù)學素養(yǎng)。