大膽猜想，小心求證

潘越

摘 要：在從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)經(jīng)典問題中找尋猜想驗(yàn)證的素材時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“莫比烏斯環(huán)”。它是一種典型的拓?fù)鋱D形，學(xué)生對(duì)其剪、裁、折之后的狀態(tài)較難想象，必須通過實(shí)驗(yàn)來求證自己的猜想，從而經(jīng)歷猜想、求證、反思、提升的全過程?；谒夭谋旧淼奶匦裕约扒笞C的方式契合小學(xué)生的思維水平，設(shè)計(jì)了《莫比烏斯環(huán)》拓展課，展示猜想與求證的思維力量。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；猜想；求證；莫比烏斯環(huán)

弗賴登塔爾說：“真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維作出各種猜想，然后加以證實(shí)?！痹谡n堂中，教師也常引發(fā)學(xué)生提出猜想并嘗試求證，可有時(shí)發(fā)生得并不自然：學(xué)生往往已知結(jié)果，要么假裝猜想，要么佯裝舉幾個(gè)例子，這樣少了猜想的興趣，也沒了求證的驚喜。在實(shí)踐中，如何尋找到一個(gè)合適的內(nèi)容，既可以充分激起學(xué)生猜想的欲望，又便于開展求證的活動(dòng)，這是困擾一線教師的難題。基于此，我們專門設(shè)計(jì)了一節(jié)《莫比烏斯環(huán)》拓展課。

一、課前思考

在從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)經(jīng)典問題中找尋素材時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“莫比烏斯環(huán)”。它制作簡(jiǎn)單，就是把一根紙條一端翻轉(zhuǎn)180°后，兩端粘接起來做成的紙帶圈，但它有著神奇的特性，并在生活和生產(chǎn)中廣泛應(yīng)用。這恰好為學(xué)生的大膽猜測(cè)提供了可能。莫比烏斯環(huán)是一種典型的拓?fù)鋱D形，學(xué)生對(duì)其剪、裁、折之后的狀態(tài)較難想象，必須通過實(shí)驗(yàn)來求證。

學(xué)生的猜想和求證過程如果不夠順利、難以精彩，很大一部分原因是受限于他們的思維水平。在整個(gè)小學(xué)階段，學(xué)生逐步從形象思維過渡到抽象思維，但仍具有很大的“具體性”，要開展抽象的演繹推理是比較困難的。于是，就有了課堂中大量通過舉例來驗(yàn)證的合情推理。關(guān)于“莫比烏斯環(huán)”的猜想，都可以通過實(shí)驗(yàn)來求證，方便操作又直觀可見。

二、課堂實(shí)錄

【片段1】 嘗試與感受：初識(shí)莫比烏斯環(huán)的形態(tài)

（出示小螞蟻在普通紙環(huán)中吃面包的視頻。）

師 小螞蟻如果在紙環(huán)上一直爬，在不翻過邊緣的情況下能吃到面包嗎？

生 當(dāng)然不能，小螞蟻和面包在不同的面上。

生 螞蟻在外面，而面包在里面，不翻過邊緣肯定吃不到。

師 你能制作一個(gè)紙環(huán)，讓小螞蟻在不翻過邊緣的情況下吃到面包嗎？

生 普通的紙環(huán)，就是兩頭對(duì)接。我就先做一個(gè)普通紙環(huán)，然后把紙條的一端擰一圈（翻轉(zhuǎn)180°）再對(duì)接，螞蟻就能吃到面包了。

生 我在兩端對(duì)接的時(shí)候，把藍(lán)色面和白色面接到一塊兒，這樣就把兩個(gè)面打通了，螞蟻就能吃到面包了。

師 真厲害！剛剛就有同學(xué)說了，我們制作的環(huán)叫作“莫比烏斯環(huán)”。它是由德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的。一天，他在玉米地里，看到了玉米葉的旋轉(zhuǎn)曲線，按照這樣的曲線做成了紙帶，就有了莫比烏斯環(huán)。今天，我們就一起來探索它的神奇。

［教學(xué)思考：本節(jié)課從小螞蟻吃面包的情境引入，提出一個(gè)挑戰(zhàn)，充分引起了學(xué)生研究的興趣。學(xué)生在動(dòng)手操作中初識(shí)莫比烏斯環(huán)。積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為之后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。］

【片段2】 比較與深思：理解莫比烏斯環(huán)的特征

（學(xué)生4人小組合作完成任務(wù)。內(nèi)容如圖1所示。）

做一做：制作普通紙環(huán)和莫比烏斯環(huán)各一個(gè)。

想一想：兩種環(huán)有什么區(qū)別？在莫比烏斯環(huán)中，螞蟻為什么能吃到面包？

1.在對(duì)比中理解兩個(gè)面如何變?yōu)橐粋€(gè)面

生 我們制作了普通紙環(huán)和莫比烏斯環(huán)。它們的制作過程不同：普通紙環(huán)直接將兩端粘上，莫比烏斯環(huán)是將紙條旋轉(zhuǎn)了一圈之后粘上的。

生 我們發(fā)現(xiàn)普通紙環(huán)有兩個(gè)面，而且它們沒有交集。但我們?cè)谀葹跛弓h(huán)上畫了螞蟻吃到面包的軌跡，螞蟻先在白色的面上爬，爬著爬著，到了交界處就會(huì)爬上藍(lán)色的面，這兩個(gè)面是聯(lián)通的。

生 我想給大家總結(jié)一下：普通的紙環(huán)有兩個(gè)面，而莫比烏斯環(huán)把兩個(gè)面變成了一個(gè)面。

師 只有這一種做法嗎？

生 我感覺莫比烏斯環(huán)有很多很多種，不管怎么擰，只要藍(lán)色的面和白色的面相接就可以了，擰三圈、五圈、七圈……只要是奇數(shù)圈就可以。

生 對(duì)。我們組嘗試了擰兩圈的，白色面就又和白色面相接了。這樣，螞蟻還是只能爬一個(gè)面。擰三圈可以是因?yàn)樗{(lán)色面和白色面又相接了。

師 討論得真充分！是的，只要是奇數(shù)圈，都符合莫比烏斯環(huán)的定義，它的本質(zhì)就是將兩個(gè)面聯(lián)通。我們完成了一個(gè)看似不可能完成的挑戰(zhàn)！

［教學(xué)思考：莫比烏斯環(huán)的神奇源自它的特征——只有一個(gè)面。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過做、畫、比等方式，充分經(jīng)歷、體驗(yàn)、感受、理解這一特征。］

2.在生活中尋找莫比烏斯環(huán)的影子

師 剛剛有一個(gè)同學(xué)提到，生活中好像做不出來莫比烏斯環(huán)，但我們就真實(shí)地做出了這樣的紙環(huán)。生活中有莫比烏斯環(huán)的應(yīng)用嗎？

生 我們?cè)谟螛穲?chǎng)中玩的過山車會(huì)做成莫比烏斯環(huán)，這樣比較刺激！

生 莫比烏斯環(huán)有旋轉(zhuǎn)，所以更刺激。但我想，這不僅僅是因?yàn)榇碳?，莫比烏斯環(huán)能轉(zhuǎn)完一圈之后又回到起點(diǎn)，下一次可以接著玩，比較省事。

生 我不同意。那做成普通環(huán)，像小螞蟻爬的那樣，也能回到起點(diǎn)呀！

生 我覺得做成莫比烏斯環(huán)比較劃算：都能回到起點(diǎn)，普通環(huán)只走了一面的路程，但莫比烏斯環(huán)能繞兩面的路程。用同樣的材料，莫比烏斯環(huán)能走的路程是普通環(huán)的兩倍。

師 “劃算”這個(gè)詞用得真好?。ǔ鍪緢D2）不僅僅是過山車，還有工廠中傳送用的皮帶也會(huì)做成莫比烏斯環(huán)。

生 這樣可以提高傳送帶的使用壽命。普通環(huán)只能磨損一面，很快就壞了，莫比烏斯環(huán)能讓兩面均勻磨損，使用壽命是普通環(huán)的兩倍。

生 我還發(fā)現(xiàn)，如果這樣看，莫比烏斯環(huán)特別像數(shù)學(xué)中“無限”的符號(hào)。如果小螞蟻在這個(gè)環(huán)里一直爬，會(huì)無窮無盡地一直循環(huán)。

師 真好！看來我們的生活中到處都充滿了數(shù)學(xué)的元素。（出示圖3）“可回收”的標(biāo)志我們也隨處可見，你現(xiàn)在能在其中看到莫比烏斯環(huán)的影子嗎？

……

［教學(xué)思考：學(xué)生在一開始交流莫比烏斯環(huán)在生活中的應(yīng)用時(shí)，話題是狹窄、單一的。當(dāng)對(duì)過山車做了充分的討論之后，他們豁然開朗：數(shù)學(xué)就在身邊。這是拓展課可以帶給學(xué)生的新視角。學(xué)生在討論中，也進(jìn)一步理解了莫比烏斯環(huán)只有一個(gè)面的特點(diǎn)。］

【片段3】 探究與深化：感受莫比烏斯環(huán)的神奇

1.嘗試大膽猜想與小心求證

師 將莫比烏斯環(huán)沿著中線剪開，會(huì)怎樣？

生 我猜會(huì)變成兩個(gè)環(huán)。

生 我感覺應(yīng)該變成一個(gè)更大的莫比烏斯環(huán)。

生 我想可能是兩個(gè)套在一起的環(huán)。

生 我感覺很難想象，我們可以動(dòng)手去求證一下。

（學(xué)生動(dòng)手求證并交流。）

生 真的是一個(gè)大的莫比烏斯環(huán)。

生 我怎么感覺不太像莫比烏斯環(huán)呢？旋轉(zhuǎn)得有點(diǎn)多，有點(diǎn)像我們之前研究的擰兩圈后的環(huán)。

師 那怎么可以驗(yàn)證它是不是莫比烏斯環(huán)？

生 我們可以從一個(gè)點(diǎn)畫起，看能不能繞完一圈。

生 我驗(yàn)證過了，可以從一個(gè)點(diǎn)畫完回到這個(gè)點(diǎn)。而且，我看這個(gè)接口也是藍(lán)色和白色接在一起的。所以，應(yīng)該就是莫比烏斯環(huán)。

生 我也驗(yàn)證了。但大家看，雖然從一個(gè)點(diǎn)畫了一圈又回到了這個(gè)點(diǎn)，但把紙條翻一下，我們可以看到有一個(gè)面沒有畫到。而且，這個(gè)時(shí)候不能再看接口了：被剪開之后，有兩個(gè)接口，不準(zhǔn)確了。

生 和我們剛剛的猜想都不一樣，太神奇了。

［教學(xué)思考：對(duì)一個(gè)較為經(jīng)典的拓?fù)淠Ｐ?，學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)與感覺提出了不同的猜想。此時(shí)，學(xué)生是主動(dòng)要求并且迫切想要?jiǎng)邮智笞C的。剪開莫比烏斯環(huán)后，學(xué)生又一次根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測(cè)，求證后紛紛驚嘆，看著像莫比烏斯環(huán)的紙帶竟然只是多擰了一圈的普通紙環(huán)。猜想與求證的過程一波三折，結(jié)果更是大相徑庭。這給學(xué)生帶來較強(qiáng)的沖擊，為建立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹安孪搿笞C”思維模式打下了很好的基礎(chǔ)。］

2.在反思中開啟更為豐富的探索

師 同學(xué)們，再一次感嘆莫比烏斯環(huán)的神奇之后，我們簡(jiǎn)單回顧一下這節(jié)課的探索。從開始嘗試制作到了解莫比烏斯環(huán)，尋找生活中的應(yīng)用，隨后又進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，能聊聊你的收獲嗎？

生 我覺得剛剛的實(shí)驗(yàn)太讓我印象深刻了，猜想之后一定要通過實(shí)驗(yàn)來求證。

生 對(duì)，尤其是最后證明它根本就不是一個(gè)莫比烏斯環(huán)。我們的求證要嚴(yán)謹(jǐn)，不能根據(jù)感覺，而要有理有據(jù)。

生 我之前一直以為莫比烏斯環(huán)是一個(gè)離生活很遠(yuǎn)的模型，沒想到它竟然有這么多的應(yīng)用。我感覺數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系很緊密。

師 是呀！其實(shí)我們的學(xué)習(xí)就是這樣，從猜想開始，再去求證，然后反思，就有了提升，又可以開始新的猜想，就像莫比烏斯環(huán)一樣不斷地前進(jìn)。下課鈴聲響起不是我們研究的終點(diǎn)，甚至可以說只是我們研究的起點(diǎn)。關(guān)于神奇的莫比烏斯環(huán)，你還想提出什么樣的猜想？

生 把一分為二得到的大環(huán)再一分為二呢？

生 如果把莫比烏斯環(huán)沿著三等分線剪開呢？

生 四等分線呢？

生 什么情況下能剪出莫比烏斯環(huán)，什么情況下會(huì)剪出普通環(huán)，有規(guī)律嗎？

生 將多個(gè)莫比烏斯環(huán)連在一起，一塊兒剪，會(huì)得到什么？

……

［教學(xué)思考：適時(shí)停下回顧反思，學(xué)生的感悟是充分的，收獲是巨大的。將研究和學(xué)習(xí)的過程嵌入莫比烏斯環(huán)，幫助學(xué)生建立“猜想—求證—反思—提升”的研究范式。］

三、課后反思

（一）鼓勵(lì)大膽猜想：樂于猜、敢于猜、善于猜

猜想是創(chuàng)造性思維的起點(diǎn)，基于已有的經(jīng)驗(yàn)提出合理的猜想，能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造力。本節(jié)課給予學(xué)生充分的猜想空間，每一個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)都從學(xué)生的猜想開始。

嘗試與感受環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生思考：小螞蟻在不翻過邊緣的情況下，能吃到面包嗎？鼓勵(lì)學(xué)生借由對(duì)普通紙環(huán)的認(rèn)識(shí)突破常規(guī)思維，改變紙環(huán)的形狀。學(xué)生的思維得以發(fā)散，一些有趣的想法由此產(chǎn)生。

比較與深思環(huán)節(jié)，基于已經(jīng)制造成功的莫比烏斯環(huán)，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)：要使小螞蟻吃到面包，只有一種做法嗎？促使學(xué)生萌生“擰兩圈”“擰三圈”甚至“擰更多圈”的想法，從而更加深刻地理解莫比烏斯環(huán)將兩個(gè)面合成一個(gè)面的特征?；谘芯康慕?jīng)驗(yàn)，暢想“生活中有莫比烏斯環(huán)的應(yīng)用嗎”。學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)被激活，思維火花被點(diǎn)燃，創(chuàng)新的熱情也隨之喚醒。

探究與深化環(huán)節(jié)，提出：將莫比烏斯環(huán)沿著中線剪開，會(huì)怎樣？學(xué)生在感悟莫比烏斯環(huán)的神奇后，提出了不同的猜想，樂于猜，敢于猜，也更善于猜。在猜想的同時(shí)，早已按捺不住想要求證的欲望。

猜想活動(dòng)貫通整個(gè)課堂，研究的知識(shí)與方法旁通曲暢。課堂的最后，學(xué)生意猶未盡，他們的猜想將從課堂延伸至課后。

（二）引導(dǎo)小心求證：勤動(dòng)手、講依據(jù)、會(huì)推理

小學(xué)階段對(duì)莫比烏斯環(huán)奧秘求證的方法，基本離不開動(dòng)手操作。本節(jié)課提供給學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的紙條是教師精心設(shè)計(jì)的：紙條的兩面是不同的顏色，一面是藍(lán)色，另一面是白色，面包和小螞蟻分別在正反兩面。這為學(xué)生提供了研究的抓手以及語言描述的輔助。普通環(huán)的接口處，藍(lán)色面和藍(lán)色面對(duì)接，白色面和白色面對(duì)接，故有正反兩個(gè)面；而莫比烏斯環(huán)，藍(lán)色面和白色面交叉連接，打通兩個(gè)面的過程在學(xué)材中有了直觀的體現(xiàn)。也正是因?yàn)閷W(xué)具提供的抓手，學(xué)生才自發(fā)有了對(duì)莫比烏斯環(huán)的拓展研究，意識(shí)到擰奇數(shù)圈都可以將紙環(huán)的兩個(gè)面打通。這就是莫比烏斯環(huán)的本質(zhì)。

隨后求證將莫比烏斯環(huán)沿中線剪開的過程，更是一波三折。剪開后的圖形看起來像是一個(gè)新的莫比烏斯環(huán)。但到底是不是呢？在大膽猜想的引領(lǐng)下，學(xué)生動(dòng)手操作，將上一個(gè)環(huán)節(jié)現(xiàn)場(chǎng)習(xí)得的方法遷移至此；小心求證的過程講依據(jù)，隨后通過推理發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形是擰了兩圈的紙環(huán)，不符合莫比烏斯環(huán)的特征。學(xué)生經(jīng)歷了完整的猜想、求證的過程，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想與方法，自然地樹立了“大膽猜想，小心求證”的科學(xué)探究態(tài)度。

本節(jié)課的探索與深化環(huán)節(jié)，既形成了一次具體的“猜想—求證”實(shí)驗(yàn)范式，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生停下來回顧反思，將研究和學(xué)習(xí)的過程嵌入莫比烏斯環(huán)中，感悟?qū)W習(xí)的過程常常是從猜想開始再去求證，在此基礎(chǔ)上反思、提升。

一節(jié)課的學(xué)習(xí)絕不是研究的終點(diǎn)，甚至應(yīng)是研究的起點(diǎn)。這一節(jié)課對(duì)莫比烏斯環(huán)的研究也只是打開了一個(gè)大門。課后，鼓勵(lì)學(xué)生以小組為單位提出個(gè)性的猜想，記錄小組的研究過程并形成研究報(bào)告，在班級(jí)中匯報(bào)展示。從這節(jié)課不難看出，學(xué)生已經(jīng)初步樹立了“大膽猜想，小心求證”的科學(xué)探究態(tài)度，也逐步形成了“總想發(fā)現(xiàn)點(diǎn)什么”的創(chuàng)新意識(shí)與科學(xué)探究的習(xí)慣。拓展課甚至每一節(jié)數(shù)學(xué)課，都應(yīng)該帶給學(xué)生想要鉆研、熱愛思考的習(xí)慣，促進(jìn)他們更有力地學(xué)。17-18，24-25，27-31，33，35-36，39，51，69，75，78-79，83-85