數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)的誤區(qū)和出路

摘要：數(shù)學(xué)問題可以分為回憶型、連接型、反省型三類。一味重視練習(xí)題（回憶型問題），使得過程思維的發(fā)展空間狹窄。開放題（反省型問題）的出現(xiàn)，旨在平衡內(nèi)容知識(shí)與過程思維。但是，開放題在進(jìn)入日常教學(xué)時(shí)，遭遇了一些障礙。對(duì)此，應(yīng)該重視連接型問題組的設(shè)計(jì)，將其作為課程載體，促進(jìn)從基礎(chǔ)知識(shí)到高層次思維的連續(xù)發(fā)展，促進(jìn)內(nèi)容與過程的平衡。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題；練習(xí)題；開放題；連接型問題組

近幾十年來，美國數(shù)學(xué)課程中，“問題解決”被調(diào)整為數(shù)學(xué)教育的過程目標(biāo)之一，而不再像以前一樣作為數(shù)學(xué)教育的“核心”。這與“問題解決”中將問題界定為不熟悉的問題有關(guān)：把不熟悉的問題絕對(duì)化，違背循序漸進(jìn)的原則，因?yàn)?，從熟悉的問題到不熟悉的問題需要過渡和連接；忽視人類學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，畢竟，從熟悉的問題到不熟悉的問題的遷移學(xué)習(xí)扮演著重要的角色。此外，許多研究單單關(guān)注問題提出或思維，脫離知識(shí)。這樣的“問題解決”猶如離開水的魚，難以長期發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)問題的分類和角色

問題在數(shù)學(xué)課程中扮演非常重要的角色。簡單來說，簡單問題（通常意義上的練習(xí)）和例題類似，扮演記憶例題方法的角色，某種意義上，可以作為“雙基”的課程橋梁；難的問題需要思考探索，扮演思維的角色，某種意義上，可以作為高層次思維能力的課程載體。

PISA曾按照一個(gè)公民在日常生活中理解數(shù)學(xué)、作出判斷、使用和從事數(shù)學(xué)的能力評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把用于評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)問題更為清晰地分為回憶型（reproduce cluster）問題、連接型（connection cluster）問題、反省型（reflection cluster）問題三類，較為廣泛地被公眾所接受。

回憶型問題是指涉及回憶練習(xí)性的知識(shí)，關(guān)聯(lián)標(biāo)準(zhǔn)算法、技巧，標(biāo)準(zhǔn)公式、應(yīng)用計(jì)算，常規(guī)性操作、常規(guī)問題解決的問題。其特征包括標(biāo)準(zhǔn)表征和定義、常規(guī)問題解決。例如：（1）（PISA 2003第7號(hào)例子）把69％寫成分?jǐn)?shù)。（2）（PISA 2003第6號(hào)例子）求7、12、8、14、15、9的平均數(shù)。

連接型問題是指在回憶型問題的基礎(chǔ)上，在熟悉或半熟悉的背景下，涉及并不簡單的常規(guī)問題解決，需要把不同的問題表征進(jìn)行整合，連接不同的課程內(nèi)容的問題。其特征包括模型化、標(biāo)準(zhǔn)問題解決的轉(zhuǎn)化與整合、多種常規(guī)結(jié)構(gòu)方法的整合。例如：（1）（PISA2003第10號(hào)例子）馬麗距離學(xué)校2公里，馬丁距離學(xué)校5公里，他們距離有多遠(yuǎn)？（2）（PISA 2003第12號(hào)例子）一個(gè)比薩公司生產(chǎn)兩種同樣厚度的比薩，小的直徑30cm，賣30zeds，大的直徑40cm，賣40 zeds，哪種更值？解釋你的推理。

反省型問題是指在連接型問題的基礎(chǔ)上，解決過程更有創(chuàng)造性或更加陌生，涉及高級(jí)推理、抽象化、概括性、應(yīng)用新背景模型化能力的問題。其特征包括復(fù)雜的問題解決和提出、反省和深度洞察、創(chuàng)造性的方法、多種復(fù)雜方法等。例如：（PISA 2003第14號(hào)例子）某個(gè)國家1980年的國防開支是3千萬美元，當(dāng)年的國民收入總值是50千萬美元；1981年的國防開支是3.5千萬美元，當(dāng)年的國民收入總值是60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10％。如果你被邀請(qǐng)為和平愛好者做演說，你打算解釋國防開支降低，你如何來做？如果你被邀請(qǐng)為軍事學(xué)術(shù)部門做演說，你打算解釋國防開支提高，你如何來做？

這三類問題，搭建起了“容易一中難一最難”的階梯。其中，回憶型問題可以用來學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí)；反省型問題可以用來學(xué)習(xí)過程思維；連接型問題是對(duì)內(nèi)容知識(shí)和過程思維的統(tǒng)整，也可說是對(duì)內(nèi)容知識(shí)的消化吸收，在不同的情境下靈活應(yīng)用，是進(jìn)一步解決更開放的反省型問題，學(xué)習(xí)過程思維，形成高層次思維能力的中間過渡載體。

二、開放題的出現(xiàn)，旨在平衡內(nèi)容與過程

事實(shí)上，問題設(shè)計(jì)常常出現(xiàn)兩個(gè)極端，或者重視回憶型問題，或者強(qiáng)調(diào)反省型問題，而相對(duì)地忽視中間過渡的連接型問題。這導(dǎo)致缺乏內(nèi)容知識(shí)與過程思維的平衡。正如黃毅英等人所強(qiáng)調(diào)的，各國數(shù)學(xué)課程改革亟待解決的問題就是內(nèi)容與過程的平衡：“各國數(shù)學(xué)課程改革的新趨勢表明，于響應(yīng)社會(huì)轉(zhuǎn)型的挑戰(zhàn)中，培育下一代之高層次思維能力至為重要。但如何同時(shí)保持堅(jiān)定的基礎(chǔ)知識(shí)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程發(fā)展刻不容緩的任務(wù)。如何在提升高層次思維能力和共通能力之余不會(huì)丟失堅(jiān)實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)，以及如何在'過程'與'內(nèi)容'間找到平衡，變成眾多問題的重中之重。”

重視內(nèi)容的教學(xué)問題扮演了知識(shí)掌握的角色，主要以一般性的練習(xí)題（回憶型問題）為載體，以課堂例題、課堂練習(xí)、課后練習(xí)等形式呈現(xiàn)，幫助學(xué)生鞏固和發(fā)展概念、法則、定理等。一般性練習(xí)題的完整條件，使學(xué)生只要回憶學(xué)過的知識(shí)，選擇合適的知識(shí)，即可作出回答，即“只要記，不用想”。而這就意味著過程思維（尤其是高層次思維）的發(fā)展空間狹窄。

以美國為例。部分美國教材編寫者為提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為使每一個(gè)學(xué)生都能解決教材提供的問題，讓每一單元的問題都傾向解決一般形式的簡單模式。[2]有學(xué)者統(tǒng)計(jì)過一本新加坡教材和一本美國教材中不同類型分?jǐn)?shù)問題的占比，結(jié)果如表1所示。顯然，美國教材中的問題更淺、更易。

在一定程度上，開放題被視為解決上述問題的對(duì)策—這也是開放題受到重視的原因之一。

1971年，島田茂等人編著的《開放式途徑：關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)新建議》出版，正式提出了開放題。后來，各個(gè)國家的研究者把它貼上了不同的標(biāo)簽，比如現(xiàn)實(shí)主義數(shù)學(xué)（realistic mathematics）、調(diào)查性項(xiàng)目（investigative project）、探索性問題（exploratory problem）、真實(shí)的數(shù)學(xué)調(diào)查與問題提出（authentic mathematical investigation and problem posing）、開放式方法（open- ended approach）、結(jié)構(gòu)不良問題（ill-structure problem）、開放式問題（open problem）。盡管不同的標(biāo)簽代表不同的研究傾向、意義趨向，但是它們的基本含義是相同的。開放題在近幾十年全世界的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域備受矚目，其深層次原因在于：彌補(bǔ)了一般性練習(xí)所缺乏的，為發(fā)展數(shù)學(xué)過程思維（尤其高層次思維）提供的自由空間（課程載體），使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對(duì)于一般性的練習(xí)具備了更為深層（從任務(wù)到結(jié)果）的“過程”循環(huán)。

簡單地說，開放題通過開放研究的任務(wù)和目標(biāo)，開放條件或結(jié)論，即控制條件和結(jié)論的自由度，擴(kuò)大題設(shè)空間，促使解題者擴(kuò)大探索試驗(yàn)空間，產(chǎn)生多種策略。也就是說，開放題讓解題者有更多情感充分投入，有更多機(jī)會(huì)建構(gòu)自己的方法，驅(qū)動(dòng)相對(duì)高層次的數(shù)學(xué)思維，輸出相對(duì)深層結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)結(jié)果，對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值有相對(duì)深層的體會(huì)。

以此為線索，人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，若只有回憶型練習(xí)，則收窄了學(xué)習(xí)的任務(wù)和目標(biāo)，容易導(dǎo)致解題者情感與策略的淺層參與，使用機(jī)械的、記憶題型的淺層數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，獲得學(xué)習(xí)結(jié)果的淺層結(jié)構(gòu)。而淺層認(rèn)知結(jié)構(gòu)，傳遞歪曲的數(shù)學(xué)態(tài)度和觀念、淺層的數(shù)學(xué)本質(zhì)和價(jià)值體會(huì)，易使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變?yōu)橛善瘘c(diǎn)到終點(diǎn)的“淺循環(huán)”。

三、開放題在進(jìn)入日常教學(xué)時(shí)，遭遇了障礙

重視培養(yǎng)過程思維的課程主要以開放題（反省型問題）為載體。雖然開放題為高層次思維提供了可能，但它在進(jìn)入日常教學(xué)時(shí)，遭遇了一些障礙。

首先，開放題對(duì)教師教學(xué)要求較高。一方面，解決開放題需要高層次思維。換句話說，開放題能為學(xué)生的思維發(fā)展提供較為廣闊的空間。這是開放題受到重視的主要原因。另一方面，既然解決開放題需要高層次思維，那么，學(xué)生不會(huì)時(shí)，教師該如何來教？這對(duì)教師提出了較高的要求。開放題教學(xué)如何進(jìn)一步在中小學(xué)推廣和普及是當(dāng)務(wù)之急，高層次思維不是空中樓閣，也不會(huì)自動(dòng)生成，仍需要教學(xué)和課程的支持。[4]

其次，開放題讓學(xué)生學(xué)習(xí)信心受挫。黃毅英等人研究發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生面對(duì)開放題時(shí)有失控感、挫敗感。幾次解不出來，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感、自信心也會(huì)降低，并由此不喜歡開放題—甚至能力較強(qiáng)的學(xué)生也不喜歡。的確，渴望成功是學(xué)生發(fā)展的第一需要，成就感是學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)之基礎(chǔ)。也有學(xué)者提及開放題教學(xué)遇到的障礙如下：（1）開放題在單一的技能訓(xùn)練、知識(shí)學(xué)習(xí)上費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效率較低；（2）開放題教學(xué)容易受到課時(shí)的限制，課堂上常出現(xiàn)學(xué)生的思維在低層次上重復(fù)、不易進(jìn)入深度研究的情況；（3）現(xiàn)有適合教學(xué)的開放題數(shù)量太少，而開發(fā)和設(shè)計(jì)更多的開放題面臨較多的困難；（4）對(duì)有些開放題很難制定出客觀、公正的標(biāo)準(zhǔn)，故用開放題做考試題困難重重。[6]

再次，開放題讓師生不習(xí)慣。長期以來，師生已經(jīng)習(xí)慣練習(xí)題，視開放題為“額外的負(fù)擔(dān)”“多余的任務(wù)”。如此，課程的研究者對(duì)開放題的推行在不被接受的情況下，就變?yōu)椤耙粠樵浮?，面臨巨大挑戰(zhàn)。

最后，開放題和日常教學(xué)脫離。開放題教學(xué)一直是“缺米之炊”“缺源之水”。開放題的設(shè)計(jì)非常困難，主要表現(xiàn)為教師很難準(zhǔn)備背景，以及題目很難合適學(xué)生的水平，很難結(jié)合學(xué)生的知識(shí)?！崩?，關(guān)于開放題的代表性著作《開放式途徑：關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)新建議》中所提出的，后來被視為典型開放題的棒球游戲和石子問題（baseball games，marble problem）適合任何年級(jí)的學(xué)生。這便從另一個(gè)側(cè)面說明，題目沒有結(jié)合學(xué)生的知識(shí)，并和日常教學(xué)脫離。當(dāng)前的開放題教學(xué)在一定意義上只是日常數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充（常被形象地描述為“主食外的甜品”）。例如，戴再平提出的典型的開放題—郵路問題，雖然數(shù)學(xué)意義深刻，但只能成為日常數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響不大。由此看來，離開傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，與日常數(shù)學(xué)教學(xué)分家，開放題只能成為短暫的開闊思維、類似“腦筋急轉(zhuǎn)彎”的數(shù)學(xué)游戲，很難在數(shù)學(xué)課堂長久扎根，其教育價(jià)值很難真正落實(shí)。

香港的情況更說明了這一點(diǎn)。2001年，香港教育署為了協(xié)助教師在中學(xué)一年級(jí)推行《中學(xué)課程綱要：數(shù)學(xué)科（中一至中五）》，提供了較為詳盡的幫助學(xué)生發(fā)展高層次思維的題目。例如：“大文正在籌備一個(gè)茶會(huì)。他買了一些飲品和雞翅。飲品每包5元，雞翅每只8元。（1）現(xiàn)有8人（包括大文）參加茶會(huì)。每人有1包飲品及2只雞翅。問大文需為茶會(huì)付款多少？（2）現(xiàn)有9人（包括大文）參加茶會(huì)。每人有3包飲品和一些雞翅。大文共付423元。問每人有多少只雞翅？（3）現(xiàn)有n人（包括大文）參加茶會(huì)。每人有x包飲品及2x只雞翅。大文共付款273元。參加茶會(huì)的人數(shù)是多少？每人有多少包飲品及多少只雞翅？”另搞一套教學(xué)資源，不言而喻，說明高層次思維培養(yǎng)和日常教學(xué)是脫離的。

四、連接型問題組應(yīng)運(yùn)而生

從根本上說，開放題遭遇這些障礙，是因?yàn)閷⑺c練習(xí)題截然分開，而忽視了它們通過連接型問題連接起來的可能性與必要性。因此，克服上述障礙的出路便在于，重視通過連接型問題連接回憶型問題和反省型問題的問題組（可以把這樣的問題組稱為“連接型問題組”）的設(shè)計(jì)，從而將其作為課程載體，促進(jìn)從基礎(chǔ)的知識(shí)到高層次思維的連續(xù)發(fā)展，促進(jìn)內(nèi)容與過程的平衡。

除了從包含的問題類型看，還可以從變化（變式）的角度看連接型問題組，即與例題相比，存在“小一中一大”的連續(xù)變化（“容易一中難一最難”的層次難度）。由此，在廣義上，連接型問題組是一種變式題組，也可以只包含回憶型問題與連接型問題。

下面，先來看連接型問題組存在的可能性。理論上，根據(jù)上述PISA的問題分類框架，從回憶型問題到反省型問題存在連接的可能性。實(shí)際上，在中國內(nèi)地的數(shù)學(xué)課程中，有很多連接型問題組，其背后有深層次的文化土壤和根源。[9]這里，我們僅給出一個(gè)根據(jù)上述PISA 2003第14號(hào)例子設(shè)計(jì)的連接型問題組。

PISA 2003第14號(hào)例子是一個(gè)評(píng)價(jià)高層次思維的反省型問題。據(jù)此，可以設(shè)計(jì)如下回憶型問題和連接型問題，組成連接型問題組，從而實(shí)現(xiàn)從內(nèi)容知識(shí)到過程思維的逐級(jí)提升。

【回憶型問題】

某個(gè)國家1980年的國防開支是3千萬美元，當(dāng)年的國民收入總值50千萬美元；1981年的國防開支是3.5千萬美元，當(dāng)年的國民收入總值60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10％。1981年比1980年的國防開支多多少千萬美元？（或1980年比1981年的國防開支少多少千萬美元？）1980年的國防開支占國民收入總值的百分比是多少？1981年的國防開支占國民收入總值的百分比是多少？

【連接型問題】

某個(gè)國家1980年的國防開支是3千萬美元，當(dāng)年的國民收入總值50千萬美元；1981年的國防開支是3.5千萬美元，當(dāng)年的國民收入總值60.5千萬美元。兩年來國民收入總值的通貨膨脹率為10％。1981年的國防開支比1980年的國防開支多還是少？多多少？少多少？扣除通貨膨脹呢？說說你如何得出你的結(jié)論。

再來看連接型問題組存在的必要性：相比于單道題，更強(qiáng)調(diào)問題之間的關(guān)系，更強(qiáng)調(diào)深層的數(shù)學(xué)意義與結(jié)構(gòu)理解，更能夠促進(jìn)學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)、螺旋上升。下面簡單舉幾個(gè)例子：

【連接型問題組1】

（1）6個(gè)餅，2個(gè)餅分一碟，共分多少碟？（2）6個(gè)餅，共分3碟，每碟有多少個(gè)餅？（3）要多少個(gè)餅，才可以2個(gè)餅分一碟，共分3碟？

這里，第一題，學(xué)生記住除法的意義，就可以解答；第二題，學(xué)生必須比較其與第一題的異同，理解“包含除”與“等分除”的異同；第三題，學(xué)生必須思考除法的本質(zhì)特征是什么，除法和乘法的聯(lián)系是什么。因此，這個(gè)連接型問題組通過變化的連續(xù)性，連接除法的內(nèi)容知識(shí)和過程思維，促進(jìn)學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)。

另外，這個(gè)連接型問題組相比于第一題這樣的單道題，優(yōu)勢在于更強(qiáng)調(diào)除法和乘法的關(guān)系（學(xué)生不容易區(qū)分的元素），更強(qiáng)調(diào)“恒等”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，更強(qiáng)調(diào)“方程”的數(shù)學(xué)思想，而不是除法的簡單應(yīng)用。

【連接型問題組2】

（1）3包巧克力，6個(gè)人分，每人分多少包？

（2）6包巧克力，3個(gè)人分，每人分多少包？

這個(gè)連接型問題組不僅聚焦除法的應(yīng)用，而且區(qū)分了被除數(shù)和除數(shù)的位置關(guān)系—不是由大小決定的，并非被除數(shù)總是大于除數(shù)。

【連接型問題組3】

（1）媽媽買了6個(gè)餅，小明分得2個(gè)餅，小明得到幾分之幾？

（2）媽媽買了6個(gè)餅，小明分得，小明得到幾個(gè)餅？

（3）小明分得2個(gè)餅，占總數(shù)的，媽媽買了幾個(gè)餅？

（4）媽媽買了6個(gè)餅，小明分得1／3個(gè)，還剩幾個(gè)餅？

這個(gè)連接型問題組突出了分?jǐn)?shù)乘法、除法和分?jǐn)?shù)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，區(qū)分了分?jǐn)?shù)的比率意義和數(shù)量意義（無單位和有單位）。這些都是學(xué)生通常難以區(qū)分，造成分?jǐn)?shù)意義與運(yùn)算理解困難的元素。

五、結(jié)語

概括而言，使用練習(xí)題引領(lǐng)學(xué)生開展知識(shí)學(xué)習(xí)，使用開放題指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決，這種分離帶來了極端的問題：學(xué)科知識(shí)在問題解決中趨于無用；而且，問題解決的發(fā)展也不足以支持學(xué)科知識(shí)的發(fā)展。

同時(shí)，一些研究指出，問題解決使數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)“碎片化”。有研究認(rèn)為，情境在問題解決中的作用被過分強(qiáng)調(diào)了，而知識(shí)（經(jīng)驗(yàn)）被過分忽視了；情境學(xué)習(xí)的核心主張，比如行動(dòng)基于其發(fā)生的具體情境，知識(shí)不會(huì)在任務(wù)之間遷移，抽象思維的用處不大，教學(xué)必須在復(fù)雜的社會(huì)環(huán)境中進(jìn)行……則過分夸大了情境教育的意義?！睂?shí)際上，數(shù)學(xué)知識(shí)有助于解釋情境的先決條件，數(shù)學(xué)知識(shí)和思維策略必須同時(shí)學(xué)習(xí)和使用。而從結(jié)構(gòu)良好的問題到結(jié)構(gòu)不良的問題應(yīng)該是連續(xù)的，不是絕對(duì)二分的—例如，背誦“九九表”可以改為在“九九表”中查找多重關(guān)系。

特別要提的是，通過問題變式形成的連056接型問題組，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。然而，很多教師不知道“連接型問題組”這一提法，而較為通俗地稱之為分散難點(diǎn)問題、題組或問題串、問題鏈。這導(dǎo)致相對(duì)于其重要性而言，連接型問題組在問題解決領(lǐng)域缺乏系統(tǒng)深入的研究—這實(shí)際上是一種“捧著金飯碗要飯”（鄭毓信教授語）的現(xiàn)象。筆者希望本文能起到拋磚引玉的作用，引起大家對(duì)連接型問題組的進(jìn)一步重視和研究。參考文獻(xiàn)：

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（孫旭花，澳門大學(xué)教育學(xué)院，助理教授。在廣州、香港、澳門等地負(fù)責(zé)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)30多年。曾擔(dān)任國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)“整數(shù)的數(shù)學(xué)教與學(xué)”專題國際統(tǒng)籌研究委員會(huì)協(xié)同主席、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系國際研究小組協(xié)同主席，并于第13界國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)做邀請(qǐng)報(bào)告。在中外期刊發(fā)表論文100余篇，主編斯普林格英文暢銷書《打好基礎(chǔ)：整數(shù)教學(xué)》，著有《螺旋變式—解讀中國內(nèi)地?cái)?shù)學(xué)課程與教學(xué)之邏輯》。）