基于“數(shù)形結(jié)合”探索學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成

朱倩

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是一個重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)課堂需要在師生的互動中呈現(xiàn)“數(shù)形”的學(xué)習(xí)策略，讓學(xué)生學(xué)會用“圖形”來解題，見數(shù)擬形，見數(shù)思形，見數(shù)成形.文章通過例題切入，讓學(xué)生在解題過程中樹立“圖形”意識，感受數(shù)形結(jié)合的好處，理解從“數(shù)形”到“塑型”的數(shù)學(xué)思想形成，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具“數(shù)學(xué)味”.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合例題；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，若賦予數(shù)量關(guān)系、抽象概念和解析式幾何意義，往往會使相關(guān)內(nèi)容變得非常直觀，若通過數(shù)量關(guān)系研究一些圖形的屬性，則會使圖形的性質(zhì)更豐富、更深刻.但是，在學(xué)習(xí)初學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，很多學(xué)生往往沒有對“數(shù)”的含義進(jìn)行深度思考，常常出現(xiàn)見數(shù)就用，從而做錯題的現(xiàn)象.同時(shí)，很多老師也是就題講題，忽略了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，沒有合理運(yùn)用策略.教師如果合理利用“數(shù)形”結(jié)合思想，并加以引導(dǎo)，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，并在操作中形成“模型”，這樣就避免了復(fù)雜的計(jì)算與推理，簡化了解題過程，更有助于學(xué)生形成好的解題習(xí)慣，使學(xué)生在練習(xí)中掌握知識和技能，在探究中獲得經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)踐中形成素養(yǎng)，使學(xué)生體驗(yàn)“獲得”的快樂.

一、結(jié)合例題，引發(fā)思考

教師要經(jīng)常鼓勵學(xué)生從簡單問題出發(fā)，積極引導(dǎo)思考，鼓勵“學(xué)有疑”的學(xué)生走上講臺，大膽提問，把時(shí)間留給學(xué)生.評講如下例題時(shí)，筆者更關(guān)注學(xué)生的主動思考.

例：一根木料鋸成4段要12分鐘，如果每鋸一段所用的時(shí)間相同，那么鋸成7段要花多少分鐘？

對于平時(shí)就不愛動腦筋的學(xué)生，解這道題時(shí)，見數(shù)就用，很少動手操作去發(fā)現(xiàn)解法.而作為教師，一無鋸二無木，如何生動形象、妙趣橫生地講給學(xué)生聽呢？經(jīng)過考慮，決定把題目出示在黑板上，看看學(xué)生有什么反應(yīng).

二、積極引導(dǎo)，解決問題

小學(xué)生思維發(fā)展的基本特點(diǎn)是由以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但是這種抽象邏輯思維在很大的程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的，仍然具有很大成分的具體形象性.在實(shí)際教學(xué)中，利用好的案例，積極鼓勵學(xué)生參與操作，引發(fā)思考，有助于學(xué)生形成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（一）初探：撕

例題一出，課堂由安靜變得熱鬧起來，由無聲到竊竊私語，再由私語漸變成激烈討論.有兩名同學(xué)爭論得尤為激烈，一名同學(xué)左手拿著一張小紙條，右手高高揚(yáng)起，好像在做“撕”或“切”的動作，另一名同學(xué)也是不甘示弱，喋喋不休，其他同學(xué)也是躍躍欲試.筆者在一旁靜觀其變，看著他們“演示”，眉頭舒展，這不就是自己想要的課堂嗎？

只見其中一名同學(xué)拿了紙條，匆匆走上來，左手將小紙條揚(yáng)起，嘴里念叨：“這好比木頭.”右手輕輕一撕，一節(jié)掉在地上，再一撕，又掉了一節(jié).

筆者進(jìn)一步提示：“撕的動作像什么？”

同學(xué)們異口同聲：“鋸木頭.”

“鋸了幾次？”

“兩次.”

“分成了幾節(jié)？”

課堂上出現(xiàn)了兩種聲音：2和3.

“到底是幾節(jié)？”筆者見縫插針，然后環(huán)視課堂.

教室出現(xiàn)短暫安靜，引起了短時(shí)間沉思……

此時(shí)，只見撕紙條那名同學(xué)高高揚(yáng)起左手，“我手上還有一節(jié)呢！”他響亮的聲音在班上響起.

（二）驗(yàn)證：切

筆者趁熱打鐵：“還可以用什么學(xué)習(xí)用具來分一分？”話音剛落，學(xué)生一個個忙得不亦樂乎！有人找橡皮，有人找小刀，連平時(shí)不愛發(fā)言，思考不那么積極的學(xué)生也參與進(jìn)來了，忙著用小刀把橡皮切成4小塊……

筆者悄悄湊過去，輕輕問：“通過操作驗(yàn)證，得到4塊，你切了幾次？明白段數(shù)與次數(shù)的數(shù)量關(guān)系了嗎？”

筆者轉(zhuǎn)身追問：“考試沒有紙、小刀怎么辦？”

（三）演示：比

在筆者的鼓勵下，一名同學(xué)脫口而出：“五個指頭人人有，五指之間有四空.”邊說邊張開右手，小手舉得高高，接著又說：“指頭是段數(shù)，空是次數(shù).”這是筆者想看到的，在操作中，學(xué)生有了體驗(yàn)，也有了想法.

（四）深究：畫

接下來，筆者不急于點(diǎn)評和講解，而是鼓勵學(xué)生繼續(xù)思考：“段數(shù)多，手指不夠用怎么辦？”引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖來解決問題.

“由圖可知，段數(shù)=次數(shù)+1.”

“真是這樣??！”一片贊許目光投向這名同學(xué).

隨即質(zhì)疑：為什么要加1？

學(xué)生聲音洪亮：我們是通過數(shù)來確定的.

“真的嗎？”接著反問，環(huán)顧四周，全堂啞然.筆者舉起左手，張開五指，進(jìn)行示范.同學(xué)們也情不自禁地效仿起來，伸出左手，張開五指.

筆者接著舉起右手，伸出食指，先點(diǎn)在左手的大拇指上，慢慢移到指縫處，再將食指點(diǎn)在左手的食指上，慢慢移到指縫處進(jìn)行演示……提示：從大拇指開始，有第一個指縫與大拇指對應(yīng)，有第二個指縫與食指對應(yīng)，以此類推，無名指對應(yīng)第四個指縫，它們是不是都是一一對應(yīng)的？

“一一對應(yīng).”學(xué)生們大聲附和.

“那么小手指有沒有指縫與它對應(yīng)？”

“沒有.”

追問：“怎么辦？”話音未落，“加1”，聲音響起.

此時(shí)，筆者趕緊趁熱打鐵：再來看黑板上的這個圖形，你們有什么發(fā)現(xiàn)？掃視課堂，同學(xué)們個個摩拳擦掌，手舉得一個比一個高.筆者指名回答.“下面的1次對應(yīng)的是上面的第1段，以此類推，6次對應(yīng)的是上面的第6段，7段就沒有對應(yīng)的次數(shù)了.”

追問：怎么辦？

“加1.”鏗鏘有力的聲音在教室里回響！

“通過一一對應(yīng)地?cái)?shù)手指與指縫、段數(shù)與次數(shù)，同學(xué)們有什么體會或發(fā)現(xiàn)？”

“體會到它們之間是一一對應(yīng)的.”

質(zhì)疑：它們之間有什么關(guān)聯(lián)？

“沒有對應(yīng)的，就要加1.”同學(xué)們臉上露出會心的笑容.

請同學(xué)們閉上眼睛，想象自己正在聽一段自己最喜歡的悠揚(yáng)音樂，然后想一想段數(shù)與次數(shù)的對應(yīng)關(guān)系以及數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系.

“現(xiàn)在同學(xué)們都會了嗎？”

學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭，齊刷刷地寫出答案：4-1=3（次）；12÷3=4（分鐘）；7-1=6（次）；6×4=24（分鐘）.

（五）拓展：型

通過師生間的互動，學(xué)生們有了初步的想法，也有了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“型”的體驗(yàn).接下來，引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是可以用上面的方法去解決樓梯、時(shí)間、栽樹等一系列問題？

1.有了初體驗(yàn)，可以出幾個相關(guān)題目，讓學(xué)生練一練.

（1）如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層到四層需要多少分鐘？

（2）時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒敲完？

（3）在一塊三角形的空地邊上栽樹，每邊栽5棵，那么最少栽幾棵？

2.要求：學(xué)生根據(jù)題目意思，動手畫一畫圖形.

從以上成果中不難看出學(xué)生學(xué)會了將數(shù)學(xué)文字轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)圖形，會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法去解決問題.

筆者由數(shù)入手，引出“圖形”概念，通過圖形“形象”，讓學(xué)生辨析出鋸木頭中的數(shù)量關(guān)系，找出一一對應(yīng)的關(guān)系，然后通過三個相關(guān)題目拓展訓(xùn)練，讓學(xué)生找到解決一般性問題的策略，由點(diǎn)到面，實(shí)現(xiàn)形象思維向抽象思維的突破，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，給學(xué)生滲透“數(shù)形結(jié)合”思想.

三、重視體驗(yàn)，融入思想

如何讓學(xué)生形成模型概念，逐漸萌生“數(shù)形結(jié)合”思想？筆者設(shè)置了撕、切、比、畫、型五個教學(xué)環(huán)節(jié)，前四個環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)四個問題串：“撕”有幾節(jié)？“切”有幾塊？“比”有幾空？“畫”有幾段？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用演示、自主操作、驗(yàn)證、繪制圖形四種方法，使學(xué)生的思維層層遞進(jìn)、步步深入，從感知開始形成表象，再由表象逐步發(fā)展為抽象思維.有了前面的鋪墊，最后上升到第五個環(huán)節(jié)“型”，將抽象思維推向數(shù)學(xué)模型.這個過程既促進(jìn)了知識的形成和生長，又助力了思維的發(fā)展，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)，既獨(dú)立思考、主動探究，又合作交流、積極參與，讓學(xué)生思維的火花發(fā)生碰撞，在自我探究中體驗(yàn)成功的快樂.

（一）從分到“數(shù)形”———啟發(fā)思維，見數(shù)“擬形”

解題的關(guān)鍵：讓學(xué)生找到段數(shù)與次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.“授人以魚不如授人以漁”，通過兩名學(xué)生的爭論，通過“撕”或“切”的動作，做出“鋸”的行為，將數(shù)學(xué)上如何“分”在講臺上演示出來，這樣的“具象”過程符合小學(xué)生具體形象思維的特點(diǎn)，為“數(shù)”做好鋪墊，之后小達(dá)人陳同學(xué)的“五個指頭人人有，五指之間有四空”，為“形”做出展示，“指頭是段數(shù)，空是次數(shù)”，為“形”做出結(jié)果，對“分”進(jìn)行驗(yàn)證.這樣像電影畫面一樣一幅一幅展現(xiàn)，可啟發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生學(xué)會“見數(shù)擬形”，從而滲透“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想的滲入離不開“形”.

（二）從畫到“數(shù)形”———助力思維，見數(shù)“思形”

良好的開端是成功的一半.看見“潛力生”和“無力生”都參與進(jìn)來，一個個都張開思維的翅膀，課堂探究的氣氛如此熱烈，筆者抓住學(xué)生認(rèn)知的生長點(diǎn)，趕緊趁熱打鐵，一句“段數(shù)多，手指不夠用怎么辦？”的追問，立馬達(dá)到“拋磚引玉”的效果，智慧星李同學(xué)的回答“這還不簡單嗎，我可以畫圖呀！”像一只巨手，不知不覺地把學(xué)生的思維向前推進(jìn)了一大步.學(xué)生透過文字和數(shù)字可以想到圖形，畫出“圖形”，然后閱讀“圖形”，辨析出數(shù)量關(guān)系.學(xué)生通過“畫圖”找到一條由具體題目拓展延伸到一類數(shù)學(xué)題目的解決路徑.這個人人思考、層層探究的過程為學(xué)生提供一個“高德地圖”，使學(xué)生在遇到同類題型的不同數(shù)量關(guān)系時(shí)就會“按圖索驥”“見數(shù)思形”，進(jìn)而提升思維能力.數(shù)學(xué)思想的生長離不開“形”.

（三）從想到“數(shù)形”———升華思維，見數(shù)“塑型”

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識.對于數(shù)與形，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”小學(xué)階段是數(shù)學(xué)教育的啟蒙階段，向小學(xué)生滲透一些數(shù)學(xué)思想是必要的.學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就會產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想.

相比教師枯燥抽象地“說”，學(xué)生不停地“想”更有效！“想”就是一個人的大腦的思索過程.學(xué)生通過數(shù)手指與指縫，體會手指與指縫、段數(shù)與次數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，通過進(jìn)行拓展練習(xí)，在解決問題中經(jīng)歷“想”的過程，發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這種“一一對應(yīng)關(guān)系”.“想”就是對這種“一一對應(yīng)關(guān)系”進(jìn)行抽象的過程，抽象出結(jié)果的過程恰恰是數(shù)學(xué)模型形成的過程.這里“一”可以代表1個人、1盆花、1棵樹、1面旗、1個間隔……通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，形象思維升級成抽象思維.在解決不同題目時(shí)，“具象”到“抽象”的思維活動得到復(fù)制與粘貼，推動學(xué)生思維能力的升華，使學(xué)生在腦海里自然而然地樹立起模型意識，做到“見數(shù)塑型”，從而形成模型意識.數(shù)學(xué)思想的形成更離不開“型”.

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生在自助、互助、師助中體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂趣，教師鼓勵學(xué)生在交流、碰撞中掌握知識和技能，使學(xué)生在探究中獲得成功的喜悅，幫助學(xué)生建立模型意識，促進(jìn)學(xué)生形成與發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想.

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