巧用數(shù)學(xué)題組練習(xí) 實(shí)現(xiàn)思維能力升級(jí)

于昕

摘要：題組練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種有效形式，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)養(yǎng)成的切入點(diǎn)。教師要設(shè)計(jì)“定點(diǎn)”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由表及里；要設(shè)計(jì)“串鏈”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由淺入深；要設(shè)計(jì)“構(gòu)面”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由窄變寬；要設(shè)計(jì)“梳理”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)應(yīng)用由點(diǎn)到面。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；題組練習(xí)；數(shù)學(xué)思維

題組練習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種有效形式，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)養(yǎng)成的切入點(diǎn)，是通過(guò)對(duì)照練習(xí)，達(dá)到對(duì)比分析、交流評(píng)價(jià)、自主創(chuàng)新的層次，打破記憶、理解、應(yīng)用知識(shí)的層面，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)低階思維向高階思維的轉(zhuǎn)變。筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，從“定點(diǎn)—串鏈—構(gòu)面”三個(gè)方面來(lái)設(shè)置題組，并將相應(yīng)題組進(jìn)行詳細(xì)分類，如圖1所示。

一、“定點(diǎn)”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由表及里

所謂“定點(diǎn)”題組，就是將考查相同知識(shí)點(diǎn)的題目編成一組，這一相同的知識(shí)點(diǎn)就是“定點(diǎn)”。

以題組一為例，解決這三個(gè)問(wèn)題都需要學(xué)生從認(rèn)知結(jié)構(gòu)已有的圖式中提取圓的面積公式，根據(jù)圓的半徑求面積就是這組題的“定點(diǎn)”。這三道題的不同點(diǎn)是第二題需要根據(jù)直徑求出半徑，第三題是已知周長(zhǎng)求半徑，再運(yùn)用公式求面積。通過(guò)這組題的練習(xí)，學(xué)生明晰：已知圓的半徑、直徑、周長(zhǎng)，求面積。不同題型之間的區(qū)別和聯(lián)系：求圓的面積需已知圓的半徑，并將這一“定點(diǎn)”存入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

【題組一】基礎(chǔ)題組

1.已知圓的半徑，求圓的面積。

2.已知圓的直徑，求圓的面積。

3.已知圓的周長(zhǎng)，求圓的面積。

題組一屬于“定點(diǎn)”題組中的基礎(chǔ)題組，實(shí)現(xiàn)的是思維“點(diǎn)”狀提升，而利用已知圓的半徑求面積，這一“定點(diǎn)”解決的問(wèn)題還有很多，教師還可以呈現(xiàn)變式題組（如題組二），這些都是在求圓的面積。但是，不同點(diǎn)是第一題在長(zhǎng)方形中切割最大的圓，求此圓的面積，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)圓的半徑即長(zhǎng)方形寬的一半；第二題在長(zhǎng)方形中切割最大的半圓，求此半圓的面積，關(guān)鍵在于知道圓的半徑是長(zhǎng)的一半；第三題也是在長(zhǎng)方形中切割最大的半圓，求此半圓的面積，區(qū)別在于要知道圓的半徑就是長(zhǎng)方形的寬（如圖2）。解決此三題雖然運(yùn)用的“定點(diǎn)”一樣，但是要求圓的半徑需要學(xué)生花費(fèi)一番精力，這樣可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)逐步走向深入，實(shí)現(xiàn)思維“鏈”上的串通。

【題組二】變式題組

1.一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)12厘米，寬10厘米，要切割出一個(gè)最大的圓，圓的面積是多少平方厘米？

2.一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)12厘米，寬10厘米，要切割出一個(gè)最大的半圓，半圓的面積是多少平方厘米？

3.一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)24厘米，寬10厘米，要切割出一個(gè)最大的半圓，半圓的面積是多少平方厘米？

教師在講授數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，要把握這一內(nèi)容的“定點(diǎn)”，巧用題組練習(xí)，讓練習(xí)不僅停留在鞏固新知識(shí)的層面上，更要啟發(fā)學(xué)生去追溯知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)核。教師要通過(guò)題目使學(xué)生掌握一組題目的解決方法，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由表及里逐漸深入，提升思維的深刻性，讓“定點(diǎn)”在知識(shí)鏈中發(fā)光發(fā)熱。

二、“串鏈”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由淺入深

“串鏈”題組是對(duì)所學(xué)知識(shí)相關(guān)題目的縱向整合，教師可以通過(guò)分類、歸納、整理、提煉，把“串鏈”題組分為同鏈同質(zhì)題組、同鏈異質(zhì)題組、同鏈遞進(jìn)題組，避免學(xué)生進(jìn)行沒有頭緒的題海練習(xí)，額外增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。教師要以分組練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的共性與個(gè)性，讓數(shù)學(xué)思維由淺入深，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)生長(zhǎng)態(tài)勢(shì)。

【題組一】同鏈同質(zhì)題組

1.甲乙兩人共同完成一項(xiàng)任務(wù)，甲自己做需10天，乙自己做需20天，如果兩人合作需要幾天？

2.從教室走到學(xué)校圖書館，小明步行需10分鐘，小剛步行需20分鐘，如果兩人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，相遇時(shí)需多少分鐘？

同鏈同質(zhì)題組的特點(diǎn)是構(gòu)成題鏈的幾道練習(xí)內(nèi)容不同，但解題思路卻相近或相同。如上述兩道工程題，工程題是小學(xué)階段考察的重點(diǎn)題型，從分率的方面探究時(shí)間、總量和效率三者之間關(guān)系，這兩道題內(nèi)容雖然不同，但解題思路相同：將總量看作單位“1”，用分率表示效率，用單位“1”除以各自的分率，求各自的工作時(shí)間。這樣的題組練習(xí)可以使學(xué)生對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行融合，拓寬解決某一類題目的思路和方法，提高解題的靈活性。

【題組二】同鏈異質(zhì)題組

1.一根圓柱形鋼條，底面直徑為8分米，高為20分米，削切成一個(gè)最大的圓錐體，削去了多少立方分米鋼材？

2.一根圓柱形鋼條，底面直徑為8分米，高為20分米，加工成一個(gè)圓錐體，底面周長(zhǎng)為31.4分米，圓錐體的高是多少分米？

同鏈異質(zhì)題組的特點(diǎn)是構(gòu)成題鏈的幾道練習(xí)題內(nèi)容相似，解題思路不同，能很好地幫助學(xué)生厘清易混題目的表征方式和解題方法。這種題組可以是根據(jù)公式的推導(dǎo)順序?yàn)榫€串成題鏈，如可以將小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形的面積計(jì)算問(wèn)題——求平行四邊形面積、求三角形面積、求梯形面積等，串成題鏈。也可以是對(duì)某一公式的多方面考察，如題組二，是以圓錐的體積公式及公式變形為線，第一題為圓柱削切成最大的圓錐，已知圓錐的直徑和高求體積；第二題為圓柱加工成最大的圓錐，已知圓錐的體積和底面周長(zhǎng)求高。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生找出這組題中的兩個(gè)重要?jiǎng)釉~：削切、加工，區(qū)別這兩個(gè)詞所表達(dá)的實(shí)際意義，以此為線構(gòu)成題組。

【題組三】同鏈遞進(jìn)題組

1.制作雕塑作品，甲和乙合起來(lái)需8小時(shí)可以完成。如果甲獨(dú)自完成需20小時(shí)，那么乙獨(dú)自完成需幾小時(shí)？

2.修馬路，張明工程隊(duì)獨(dú)自修需30天，劉剛工程隊(duì)獨(dú)自修需80天?，F(xiàn)在由兩隊(duì)合作修路，工作14天后，還有1400米沒有完成，這條馬路多長(zhǎng)？

3.有一項(xiàng)任務(wù)，甲師傅每天作業(yè)8小時(shí)，3天可以完工；乙?guī)煾得刻熳鳂I(yè)9小時(shí)，8天可以完工。如果兩位師傅一起做，每天作業(yè)6小時(shí)，幾天可以完工？

所謂同鏈遞進(jìn)，是指構(gòu)成題鏈的幾道練習(xí)內(nèi)容、解題方法相似，但難度不斷增加。有層次的題組練習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)此類問(wèn)題的結(jié)構(gòu)框架，并在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上繼續(xù)豐富，將更多題型納入其中，避免以題練題的情況。

遞進(jìn)題組的設(shè)計(jì)是教學(xué)中比較常見的，它相當(dāng)于學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知的“導(dǎo)航儀”，導(dǎo)航的過(guò)程就是引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的思考過(guò)程。從提供的條件看，遞進(jìn)題組是從直接條件到間接條件再到隱藏條件的遞進(jìn)；從計(jì)算方法看，遞進(jìn)題組是加法或減法到連加、連減，再到加減混合的遞進(jìn)等。相比題組一，題組三中的工作過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，工作總量、時(shí)間、效率相互轉(zhuǎn)化，我們可以采用“分干合想，合干分想”的拆并思想。運(yùn)用分合法來(lái)解決，這樣可以幫助學(xué)生更好地掌握解題方法，有利于提高練習(xí)的實(shí)效性。

三、“構(gòu)面”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)思維由窄變寬

“構(gòu)面”題組是把單獨(dú)的線性知識(shí)進(jìn)行整合，形成較寬的知識(shí)面?！皹?gòu)面”題組應(yīng)以教材安排的內(nèi)容順序?yàn)榫€索，通過(guò)類比、聯(lián)通等方式，將遍布在各年級(jí)、單元關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的知識(shí)，進(jìn)行橫向組織，形成知識(shí)面。知識(shí)面相較知識(shí)鏈而言，更注重?cái)?shù)學(xué)思想的總結(jié)和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行歸納、演繹，通過(guò)歸納與演繹的雙向互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)思維“點(diǎn)—線—面”的輻射式發(fā)展，提高思維的靈活性。

【題組一】“構(gòu)面”題組

1.一個(gè)打印小組打印稿件，原計(jì)劃每天打印200頁(yè)，15天完成任務(wù)，實(shí)際每天多打印50頁(yè)，這份稿件要幾天完成？

2.一個(gè)打印小組打印稿件，原計(jì)劃每天打印200頁(yè)，15天完成任務(wù)，實(shí)際每天多打印1/4，這份稿件需要幾天完成？

3.一個(gè)打印小組打印稿件，原計(jì)劃每天打印200頁(yè)，15天完成任務(wù)， 實(shí)際每天多打印25%，這份稿件可提前幾天完成？

該題組第一題是整數(shù)應(yīng)用題，是學(xué)生四年級(jí)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，列式為：（200×15）÷（200+50）。第二題是學(xué)生五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，列式為：（200×15）÷（200+200×1/4）。第三題是學(xué)生六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，列式為：（200×15）÷（200+200×25%）-12。三道題都要先算出稿件的總頁(yè)數(shù)，再根據(jù)實(shí)際每天打印的頁(yè)數(shù)，求出需要打印的天數(shù)。雖然這個(gè)題組只是涉及到整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)，但是后面兩道題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)鍵要知道“多的1/4、25%，是指實(shí)際每天比計(jì)劃每天多打印1/4、25%，多的是計(jì)劃每天打印的1/4、25%，用計(jì)劃每天打印的加上多的部分，求出實(shí)際每天打印的頁(yè)數(shù)”。三道題涉及到的內(nèi)容分布在不同年級(jí)，由于知識(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)間跨度較大，小學(xué)生處理信息的能力有限，因此學(xué)生會(huì)出現(xiàn)遺忘的現(xiàn)象。教師將有關(guān)聯(lián)的信息合理有效地組織成組塊，會(huì)增強(qiáng)學(xué)生信息加工的能力，使學(xué)生站在系統(tǒng)的高度，在整體知識(shí)的背景下，對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)，將知識(shí)與方法結(jié)成網(wǎng)，減輕其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

四、“梳理”題組練習(xí)，讓數(shù)學(xué)應(yīng)用由點(diǎn)到面

平日復(fù)習(xí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有些教師往往追求形式化、技巧化，訓(xùn)練難免單調(diào)枯燥，這不僅脫離了學(xué)生生活實(shí)際，而且挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。我們知道，小學(xué)生正處于以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式的階段，尤其是低年級(jí)的學(xué)生。為此，要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)本節(jié)“運(yùn)用題組厘清問(wèn)題層次”的乘除法復(fù)習(xí)課。

課堂上，我以習(xí)題練習(xí)為暗線，使學(xué)生通過(guò)五道基礎(chǔ)題組梳理出已學(xué)習(xí)的乘除法知識(shí)。

1.孫悟空拔出4根毫毛，每根毫毛能變出5只小猴，一共能變出幾只小猴？

2.有12個(gè)大桃子，平均分給唐僧師徒4人，每人分到幾個(gè)桃子？

3.孫悟空又拿出20根香蕉準(zhǔn)備分給小猴子吃，如果每盤放5根，可以放幾盤？

4.小兔有2只，小鹿有6只，小鹿的只數(shù)是小兔的幾倍？

5.小兔有2只，小松鼠的只數(shù)是小兔的4倍，一共有多少只小松鼠？

這五道題屬于題組圖式中的定點(diǎn)題組，教師在講授數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，要把握這一內(nèi)容的“定點(diǎn)”，巧用題組練習(xí)，讓練習(xí)不僅停留在鞏固新知識(shí)的層面上，更要啟發(fā)學(xué)生追溯知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)核，掌握一組題目的解決方法和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

隨堂練習(xí)的設(shè)置要由易到難，前兩道題是對(duì)所學(xué)知識(shí)相關(guān)題目的縱向整合，如圖3，著重考查學(xué)生對(duì)平均分、倍的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)乘除法的意義的理解，屬于串鏈題組。

1.填一填，并說(shuō)一說(shuō)算式中每個(gè)數(shù)的意思。

2.按要求畫圖，再寫出算式和得數(shù)。

（1）先畫3個(gè)▲，再畫○，○的個(gè)數(shù)是▲的2倍；

（2）先畫16個(gè)○，再以每4個(gè)一份圈一圈。

而最后一道題綜合考察乘除法的相關(guān)知識(shí)，是一道開放題，屬于“構(gòu)面”題組（如圖4）?！皹?gòu)面”題組是把單獨(dú)的線性知識(shí)進(jìn)行整合，形成較寬的知識(shí)面。知識(shí)面較知識(shí)鏈而言，更注重?cái)?shù)學(xué)思想的總結(jié)，數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行歸納、演繹，實(shí)現(xiàn)思維“點(diǎn)—線—面”的輻射式發(fā)展，解決了作業(yè)中存在的機(jī)械、無(wú)效、重復(fù)性等方面的問(wèn)題。

（1）肉餅的價(jià)格是粥的幾倍？

（2）淘氣有10元錢，正好可以買哪些食物？

（3）說(shuō)一說(shuō)，你還能提出哪些問(wèn)題？

“雙減”背景下，要讓習(xí)題更有意義，絕不是通過(guò)“題?！睉?zhàn)術(shù)實(shí)現(xiàn)的。本節(jié)課結(jié)合實(shí)際問(wèn)題生活化的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂(lè)見的“孫悟空打妖怪”的情境，設(shè)置“孫悟空分食物”的活動(dòng)，貫穿了整堂課，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)角色、情感代入的機(jī)會(huì)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)學(xué)生的審美興趣、認(rèn)識(shí)興趣、乃至向往豐富精神世界的興趣也在其間培養(yǎng)起來(lái)。快樂(lè)地解決問(wèn)題，在給學(xué)生留下深刻印象的同時(shí)，以題組練習(xí)使學(xué)生腦海中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也更加完善?！岸c(diǎn)—串鏈—構(gòu)面”的題組設(shè)置，既重視知識(shí)練習(xí)又重視知識(shí)遷移，既關(guān)注點(diǎn)狀突破又關(guān)注結(jié)構(gòu)完善，既注重縱向聯(lián)結(jié)又注重橫向整合。有效設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)題組呼應(yīng)發(fā)展學(xué)生思維的訴求，助推其數(shù)學(xué)思維由表及里、由淺入深、由窄變寬地發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）