中、美、新初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化類型的比較研究

【摘 要】 從知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)以及多元文化五方面，對(duì)中國(guó)、美國(guó)及新加坡四套初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化類型進(jìn)行比較研究.研究發(fā)現(xiàn)，美國(guó)GM版與新加坡NSM版更重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，且教材中的素材更具真實(shí)性，數(shù)學(xué)文化類型也更豐富.人教版與北師大版中知識(shí)源流與多元文化類別涉及較多，但缺乏數(shù)學(xué)史與多元文化應(yīng)用類素材.建議在教材編制過(guò)程中，素材選取應(yīng)更貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，更注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，豐富素材中的數(shù)學(xué)文化類型.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教材；數(shù)學(xué)文化；勾股定理;比較研究

1 問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)文化是人類一般文化活動(dòng)中相對(duì)獨(dú)立的子系統(tǒng)，是科學(xué)文化的基礎(chǔ)部分［1-3］，如何弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育中的重要話題之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)文化，在教材編寫(xiě)中建議應(yīng)介紹數(shù)學(xué)文化以拓展學(xué)生視野［4］.數(shù)學(xué)文化與人文、科學(xué)技術(shù)以及廣泛的社會(huì)生活聯(lián)系緊密，是培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”即會(huì)用“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”以及“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”觀察、思考及表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要通道.

國(guó)內(nèi)對(duì)于勾股定理內(nèi)容所涉及數(shù)學(xué)文化的研究較少，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要聚焦于教材比較研究或教學(xué)研究.勾股定理內(nèi)容有著豐富的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，且美國(guó)與新加坡數(shù)學(xué)教育方面位于世界先列.基于此，本文將對(duì)中、美、新三國(guó)四版教材中勾股定理內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行比較研究.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

以美國(guó)McGraw-Hill出版社出版的Glencoe Math Course 3 （以下簡(jiǎn)稱“GM版”）、新加坡Shinglee出版社出版的New Syllabus Mathematics 2（以下簡(jiǎn)稱“NSM版”）、中國(guó)人民教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（八年級(jí)下冊(cè)）》（以下簡(jiǎn)稱“人教版”）以及北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）》（以下簡(jiǎn)稱“北師大版”）四版教材中的勾股定理內(nèi)容作為研究對(duì)象.

2.2 研究框架

研究借鑒汪曉勤［5-6］等對(duì)數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容類型的比較框架設(shè)計(jì)，框架將數(shù)學(xué)文化分為五類：知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)以及多元文化，如表1.

3 研究結(jié)果

3.1 整體統(tǒng)計(jì)結(jié)果

采用上述理論分析框架，對(duì)四版教材中數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容類型分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.根據(jù)表2中數(shù)據(jù)可知，四版教材均在“社會(huì)角色”類別中占比最大，相比其他版本教材來(lái)說(shuō)，NSM版占比最大，GM版排在第二.而四版教材在“審美娛樂(lè)”類別占比最小，NSM版與GM版均未涉及該類別內(nèi)容，人教版與北師大版也分別僅涉及1處.此外，人教版與北師大版在“知識(shí)源流”與“多元文化”類別中的占比均大于NSM版與GM版教材.

（1）知識(shí)源流

“知識(shí)源流”素材通過(guò)數(shù)學(xué)史、人物以及事件等展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的來(lái)龍去脈，是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.四版教材中均對(duì)勾股定理的源流進(jìn)行簡(jiǎn)介，其中，NSM版與GM版采用傳說(shuō)中的畢達(dá)哥拉斯證法，同時(shí)提到中國(guó)關(guān)于勾股定理所作出的貢獻(xiàn).而人教版采用《周髀算經(jīng)》中趙爽的證明方法，并在章前圖中提及2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽.北師大版教材對(duì)勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)介，簡(jiǎn)介中不僅涉及中國(guó)，還提及古希臘等國(guó)外文化源流及證法，并在習(xí)題中提及傳說(shuō)中的畢達(dá)哥拉斯證法.不同于NSM版與GM版，人教版與北師大版還提到《九章算術(shù)》中計(jì)算蘆葦長(zhǎng)度的歷史名題，人教版還提及竹子折斷的問(wèn)題，并進(jìn)行一定程度的改編.

（2）學(xué)科聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的“三會(huì)”核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求中，多次提及建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，要求能在其他學(xué)科中發(fā)現(xiàn)并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)事物的性質(zhì)、關(guān)系及規(guī)律［4］5-7，豐富學(xué)生觀察世界的角度.“學(xué)科聯(lián)系”主要分為“科學(xué)技術(shù)”與“人文藝術(shù)”兩類.

在“科學(xué)技術(shù)”子類別中，四版教材對(duì)地球科學(xué)與工業(yè)建筑科學(xué)較為關(guān)注.在地球科學(xué)中，GM版涉及北卡羅萊納州三角區(qū)（如圖1）、懷俄明州對(duì)角線長(zhǎng)度以及飛機(jī)飛行高度等素材;NSM版涉及輪船航行航線等素材;人教版涉及輪船航行與A，B，C三地地理位置等素材（如圖2）;北師大版涉及帆船航行等素材.在工業(yè)建筑科學(xué)中，NSM版與GM版分別以工廠傳送帶和為樓梯建扶手、建輪椅坡道作為素材設(shè)計(jì)例習(xí)題；而人教版教材在該子類別中只涉及零件問(wèn)題，且設(shè)計(jì)3道以工業(yè)零件為背景的習(xí)題；北師大版以零件設(shè)計(jì)和城墻與護(hù)城河為素材設(shè)計(jì)習(xí)題.

在“人文藝術(shù)”子類別中，GM版教材以設(shè)計(jì)彩色玻璃窗戶為素材，NSM版以設(shè)計(jì)兒童桌子為素材，北師大版以雕塑是否垂直為素材，人教版在該子類別中沒(méi)有涉及相關(guān)素材.

（3）社會(huì)角色

數(shù)學(xué)不僅在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域起著重要作用，同時(shí)數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系也密不可分.“社會(huì)角色”主要分為個(gè)人日常生活和社會(huì)生活兩類.如圖3所示，NSM版與GM版教材在該類別中涉及素材較多，且不同于中國(guó)教材的素材分布，NSM版與GM版教材更多的將素材集中在個(gè)人日常生活中.

在個(gè)人日常生活中，相比中國(guó)教材而言，GM版與NSM版教材除素材分布占比較多外，兩版教材中的素材也比中國(guó)教材中更加活潑，同時(shí)也更具真實(shí)性.GM版教材涉及的素材有計(jì)算貓?jiān)跇?shù)上的高度、到奶奶家的距離、鳥(niǎo)與男孩的距離及魚(yú)竿能否裝入盒子等日常生活素材，還有校園嘉年華帳篷等校園生活類素材，以及派對(duì)帽子與裝飾、滑翔傘運(yùn)動(dòng)等娛樂(lè)素材（如圖4）；NSM版教材涉及的素材有菱形地磚、快遞員送包裹路線、公文包對(duì)角線等日常生活素材以及操場(chǎng)對(duì)角線等校園生活素材.人教版與北師大版教材涉及的素材較少，人教版涉及小明向不同方向行走與門(mén)板能否放入門(mén)框等日常生活素材（如圖5）；北師大版涉及木條放入電梯、計(jì)算電視機(jī)尺寸等日常生活素材.

在社會(huì)生活中，四版教材均涉及計(jì)算靠在樓房旁的梯子長(zhǎng)度等，其中GM版還提及河水深度等素材，NSM版教材提及聚光燈照射與投影等素材，人教版與北師大版涉及螞蟻爬紙箱計(jì)算最短距離與將木棒放入紙箱等素材.

（4）審美娛樂(lè)

數(shù)學(xué)具有美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程中需要幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值［8］，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，欣賞數(shù)學(xué)美，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美以及創(chuàng)造數(shù)學(xué)美［4］.在教材中主要由“審美娛樂(lè)”素材承擔(dān)，其主要包括數(shù)學(xué)審美與趣味數(shù)學(xué).NSM版與GM版教材均未涉及該類別的素材.人教版教材呈現(xiàn)數(shù)學(xué)海螺圖，利用勾股定理知識(shí)與無(wú)理數(shù)向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)美.而北師大版教材在習(xí)題中，通過(guò)讓學(xué)生操作的方式引導(dǎo)呈現(xiàn)“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”，讓學(xué)生感受并體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.不同于人教版的內(nèi)容設(shè)置，北師大版將實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)安排至勾股定理之后，數(shù)學(xué)海螺圖也安排至實(shí)數(shù)章節(jié)內(nèi).

（5）多元文化

“多元文化”主要是不同時(shí)間、地域以及文化背景下的數(shù)學(xué)素材，分為多元文化創(chuàng)造與應(yīng)用.在該類別中，GM版教材涉及素材占比最少，北師大版教材素材數(shù)量最多.在多元文化創(chuàng)造中，GM版教材僅提及畢達(dá)哥拉斯和中國(guó)對(duì)勾股定理的貢獻(xiàn)，NSM版教材中的素材包括畢達(dá)哥拉斯在音樂(lè)方面的建樹(shù)（如圖6）以及費(fèi)馬大定理，中國(guó)教材更注重多種證法的展現(xiàn)，人教版教材在閱讀與思考中提及傳說(shuō)中的畢達(dá)哥拉斯證法與美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德證法，要求學(xué)生按提示嘗試完成證明，此外還提及畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)以及費(fèi)馬大定理等.北師大版教材在習(xí)題中將美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德證法改編，以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)，并在讀一讀中呈現(xiàn)古印度的無(wú)字證明、意大利畫(huà)家達(dá)芬奇的方法等.在多元文化應(yīng)用中，四版教材相關(guān)素材較少，均只提及埃及繩結(jié)問(wèn)題.

4 討論

在教材中融入數(shù)學(xué)文化是拓寬學(xué)生視野的重要方式.從發(fā)揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化來(lái)看，中國(guó)兩版教材充分地展現(xiàn)了中國(guó)古人在勾股定理方面所作出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)了學(xué)生的文化自信，提升了學(xué)生的民族自豪感.但在培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界方面，GM版與NSM版教材做得較好，中國(guó)教材還可以展現(xiàn)得更多.

人教版與北師大版教材較好地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)史與多元文化，尤其是關(guān)于勾股定理的證明方法，北師大版更是介紹了除文字語(yǔ)言證明之外的無(wú)字證明，此外兩版教材還各涉及1處審美娛樂(lè)類型素材.但數(shù)學(xué)史與多元文化并不全是勾股定理證明等創(chuàng)造性內(nèi)容，更多的以應(yīng)用形式存在于數(shù)學(xué)文化之中，目前兩版教材編寫(xiě)應(yīng)進(jìn)一步增加數(shù)學(xué)史與多元文化應(yīng)用類素材.此外，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)教材編寫(xiě)的建議在舊版課標(biāo)“呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)”的基礎(chǔ)上增加了“真實(shí)可信”的要求，中國(guó)兩版教材中，個(gè)人生活作為數(shù)學(xué)文化背景的內(nèi)容較少，且素材與學(xué)生生活背景的貼合度與素材的真實(shí)性也有待改善.

美國(guó)與新加坡十分重視現(xiàn)實(shí)世界教育，并強(qiáng)調(diào)將培養(yǎng)21世紀(jì)技能落實(shí)［9］.在GM版教材中每一節(jié)都設(shè)有Real-World Link與Real-World Examples欄目（如圖7），同時(shí)，教材習(xí)題以及其他欄目也都充分展現(xiàn)了貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)的編寫(xiě)原則.新加坡NSM版教材還有著一定的人文價(jià)值以及較為豐富的數(shù)學(xué)文化類型.兩版教材在勾股定理內(nèi)容中，有著較多的校園及娛樂(lè)生活素材，整體編排生動(dòng)活潑，素材更具真實(shí)可信度.

5 建議

納百家之長(zhǎng)以厚己，通過(guò)將中國(guó)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化與美國(guó)和新加坡教材進(jìn)行比較，對(duì)我國(guó)教材編寫(xiě)提供一些有益的啟示.基于以上研究，提出以下建議.5.1 素材選取應(yīng)更貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)

教材可提升素材與學(xué)生個(gè)人日常生活的貼合度，捕捉學(xué)生個(gè)人日常生活中的勾股定理.同時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步增加校園生活與娛樂(lè)生活等學(xué)生最容易接觸到、最感興趣的內(nèi)容，以及其他貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)且具有趣味性的題材.教材編寫(xiě)時(shí)應(yīng)結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)，選取符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)的素材，從生活實(shí)例中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力.

5.2 素材應(yīng)更注重創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境

首先，教材應(yīng)注重增加素材的真實(shí)可信度，提供更加生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)文化素材，將可分離運(yùn)用水平的素材進(jìn)行刪減或替換.比如，減少出現(xiàn)以“A，B，C”等形式表示地名的素材類型，以真實(shí)的地名取而代之則更具真實(shí)性；又如GM版教材中去奶奶家路線的素材比小明向不同方向行走的問(wèn)題更具可信度；再如GM版教材中魚(yú)竿放入盒子比人教版中木條放入盒中更加有意義.

其次，應(yīng)進(jìn)一步挖掘現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.比如，浙江省東陽(yáng)市村民有著祖?zhèn)鞯哪竟な炙?，他們?cè)谥谱饕鹿駮r(shí)分別在橫向60厘米和豎向80厘米處釘小釘子，然后測(cè)量?jī)舍斪又g的距離是否為100厘米，以此來(lái)檢驗(yàn)衣柜上頂?shù)钠矫娼鞘欠駷橹苯牵鹿袷欠穹秸?0］.教材應(yīng)以真實(shí)問(wèn)題作為素材與學(xué)習(xí)的載體，關(guān)注情境的真實(shí)性，從而增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問(wèn)題的能力.5.3 豐富素材中的數(shù)學(xué)文化類型5.3.1 增加與跨學(xué)科內(nèi)容的聯(lián)系

首先，應(yīng)均衡數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)的類型.數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)類型中，教材較多地關(guān)注地球科學(xué)與工業(yè)建筑科學(xué)類型，較少的涉及生物科學(xué)、物質(zhì)科學(xué)以及高新技術(shù)等類型.我國(guó)兩版教材中多次將零件問(wèn)題作為勾股定理學(xué)習(xí)的背景素材，導(dǎo)致與科學(xué)技術(shù)類的學(xué)科聯(lián)系素材內(nèi)容單一，不利于發(fā)展學(xué)生跨學(xué)科應(yīng)用意識(shí).因此，應(yīng)豐富數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)聯(lián)系的素材類型，比如可以將勾股定理與等高線地形圖、與草本植物纏繞樹(shù)干［11］等學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科思維應(yīng)用.

再者，數(shù)學(xué)不僅與科學(xué)技術(shù)聯(lián)系緊密，數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)也有著很深的淵源.在新加坡NSM版教材中以附加的形式提到畢達(dá)哥拉斯在音樂(lè)領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)音律的五度相生法，然而在歷史上中華民族非常重視音樂(lè)，甚至將音樂(lè)與朝代更迭相聯(lián)系.朱載堉作為十二平均律的創(chuàng)作者，曾將黃鐘長(zhǎng)度1尺通過(guò)勾股定理化為弦冪再開(kāi)方等方法，計(jì)算出十二平均律各律數(shù)值，是世界歷史上將數(shù)學(xué)與音樂(lè)完美結(jié)合的第一人［12］.這些素材不僅能發(fā)揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，增加學(xué)生的文化自信，還可以讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.

5.3.2 豐富數(shù)學(xué)史的應(yīng)用類素材

除證明方法之外，在歷史上勾股定理有著豐富的文化內(nèi)涵與廣泛的應(yīng)用，教材應(yīng)增加勾股定理應(yīng)用類的歷史素材.比如，歷史早期的陳子測(cè)日［10］3-4與大禹治水［10］96等著名的勾股定理應(yīng)用問(wèn)題，還有明代程大位所編《算法統(tǒng)宗》中的秋千問(wèn)題等中國(guó)古代問(wèn)題［13］.教材應(yīng)當(dāng)繼續(xù)挖掘數(shù)學(xué)史中的應(yīng)用素材，更豐富地呈現(xiàn)歷史源流與多元文化類數(shù)學(xué)文化素材.

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