直觀助力推理 思辨走向自然

【摘 要】 以2022年寧波中考數(shù)學(xué)試題的兩道選擇題、一道填空題的解法探析為例，挖掘“數(shù)學(xué)直觀”的意義，形成自然、清楚、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的策略性方法.在數(shù)學(xué)解題中，需要“數(shù)學(xué)直觀”地“抽象、歸納、類比、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)、構(gòu)建”，從中培養(yǎng)和發(fā)展“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生“直觀”的習(xí)慣與“感知”的能力，實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.

【關(guān)鍵詞】 寧波卷；策略剖析；數(shù)學(xué)直觀；教學(xué)啟示

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，我國數(shù)學(xué)教育已全面開啟了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課程改革.核心素養(yǎng)指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育改革，尤其是數(shù)學(xué)考試和評(píng)價(jià)的改革，我國正式邁進(jìn)素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)時(shí)代.從應(yīng)試能力考查過渡到高階思維認(rèn)知能力考查，致力于學(xué)生的核心素養(yǎng)培育和著眼于人的全面發(fā)展.2022年寧波中考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持“以人為本，學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展為核心”的綠色命題理念，立足必備知識(shí)，聚焦關(guān)鍵能力，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向.本文擷取部分試題，從其解法探析入手，“數(shù)學(xué)直觀”導(dǎo)航，生成自然思路，從而啟示“數(shù)學(xué)直觀”在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的重要意義.

1 試題呈現(xiàn)與策略剖析

1.1 直觀理解題意，預(yù)測(cè)思路

例1 （2022年寧波卷第9題）點(diǎn)A（m－1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x－1）2+n的圖象上.若y1

A.m>2? B.m>32? C.m<1? D.32

直觀選項(xiàng)意義進(jìn)行排除 因?yàn)檫x擇題后面有備注：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.觀察A，C，D三個(gè)選項(xiàng)都是不含m=2的取值范圍，將特殊值m=2代入可得A（1，y1），B（2，y2），顯然點(diǎn)A，B都在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)圖象上，且點(diǎn)A是拋物線的最低點(diǎn)，顯然滿足題意，即可排除選項(xiàng)A，C，D.

直觀圖象概念進(jìn)行代入 因?yàn)辄c(diǎn)A（m－1，y1），B（m，y2）都在函數(shù)圖象上，所以y1=（m－2）2+n，y2=（m－1）2+n，所以（m－2）2+n<（m－1）2+n，化簡得－4m+4<－2m+1，解得m>32.

直觀圖象規(guī)律進(jìn)行轉(zhuǎn)化 因?yàn)閽佄锞€的開口向上，對(duì)稱軸為直線x=1，所以此拋物線上的點(diǎn)到直線x=1的距離越近，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小.因?yàn)閥132.

直觀函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)閍=1>0，所以當(dāng)x≥1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x<1時(shí)，y隨著x的增大而減小.因?yàn)閙-11，所以3232.

本題主要考查二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)以及學(xué)生的畫圖能力和識(shí)圖能力，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析.理解題意，需要對(duì)題目的所有信息進(jìn)行提取和發(fā)掘，建立具體和清晰的表象，感知材料形象概括，為思維抽象概括作準(zhǔn)備，預(yù)測(cè)思路.這一過程需要“數(shù)學(xué)直觀”地“從問題背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意義，形成數(shù)學(xué)想象力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1.2 直觀感知特征，開啟思維

例2 （2022年寧波卷第10題）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按圖1方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（? ）.

A.正方形紙片的面積?? B.四邊形EFGH的面積C.△BEF的面積?? D.△AEH的面積

直觀數(shù)量與數(shù)量關(guān)系 設(shè)兩張全等的正方形紙片的邊長為a，兩張全等的矩形紙片的長為b，寬為c，則2a=b+c，即c=2a-b，所以EH=FG=b-a，EF=GH=a-c=b-a，

所以S陰影=（b－a）2+（b－a）c+（b－a）a=（b－a）（b+c）=2a（b－a）=4S△BEF，故選C.

直觀圖形與圖形關(guān)系如圖2，聯(lián)結(jié)EN，GM，EG，將線段NH平移至FM處，根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得EF=EH，所以S△BEF=S△DGH=S△MEG=S△NEG，

S△AEH+S△CFG+S正方形EFGH=S平行四邊形ENGM，所以S陰影=S平行四邊形ENGM+S△BEF+S△DGH=4S△BEF.

（或如圖3，延長HG交BC于點(diǎn)M，延長GF交AB于點(diǎn)P，將線段GO平移至EQ處，根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長相等，可得EF=FG，所以S△AEH+S△CFG+S正方形EFGH=S矩形EHMN，

因?yàn)镾△BEF+S△DGH=S矩形EFPQ，所以S陰影=2S矩形EFPQ=4S△BEF.）

本題以矩形紙片為素材，以生成的圖形面積為問題核心，具有PISA試題的三個(gè)明顯特征：情景、運(yùn)用、思維.將整式的運(yùn)用、矩形的性質(zhì)、圖形的平移問題融匯在基本圖形中，為運(yùn)用割補(bǔ)、重組、轉(zhuǎn)移、等積變形、以數(shù)解形等方式提供平臺(tái).感知特征，需要對(duì)圖形的形狀、大小、關(guān)系進(jìn)行提取和發(fā)掘，包括內(nèi)隱正方形EFGH，預(yù)測(cè)等積關(guān)系，開啟思維，進(jìn)行代數(shù)運(yùn)用或等積變形的方法去研究問題、解決問題，關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法和理性思維能力.

1.3 直觀溝通聯(lián)系，助力探究

例3 （2022年寧波卷第16題）如圖4，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B，D都在函數(shù)y=62x（x＞0）的圖象上，BE⊥x軸于點(diǎn)E.若DC的延長線交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)矩形OABC的面積為92時(shí)，EFOE的值為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

直觀軸對(duì)稱圖形發(fā)現(xiàn)位置關(guān)系 如圖5，聯(lián)結(jié)AD與OB交于點(diǎn)G，作CH⊥OB于點(diǎn)H.因?yàn)锳，D關(guān)于OB對(duì)稱，所以AD⊥OB，AG=DG.易證DG∥CH，AG=CH，

所以DG=CH.所以四邊形CDGH為平行四邊形，所以CD∥OB.（或連結(jié)OD，由S△OBD=S△OBC，得到CD∥OB.）

直觀已知數(shù)據(jù)聚焦面積關(guān)系 （利用面積比來刻畫線段比解決第1空）如圖6，連結(jié)BF，由CD∥OB得到S△OBF=S△OBC=922.因?yàn)镾△OBE=12×62=32，所以S△BEF=322，所以EFOE=S△BEFS△OBE=12.

直觀圖形結(jié)構(gòu)構(gòu)建幾何模型

如圖7，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G.

設(shè)B（a，62a），D（b，62b），F(xiàn)（32a，0），由△OBE∽△FDG得BEDG=OEFG，

即62a62b=ab－32a，所以b=2a（b=－12a舍去）.（或?qū)△OBD=922轉(zhuǎn)化為S梯形BEGD=922，由面積計(jì)算公式得12（62a+62b）（b－a）=922，解得b=2a；或如圖8，構(gòu)造△GEF∽△DHF，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求得b=2a.）

直觀變量變化規(guī)律捕捉中點(diǎn)信息 變量的變化必然有其規(guī)律，直觀變化規(guī)律，方能便于我們感知，進(jìn)而依據(jù)變化規(guī)律將其輕松求解.如圖9，過點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，交OB于點(diǎn)P，易證點(diǎn)P為OB的中點(diǎn)，PD=OF=32a.因?yàn)椤螼DB=90°，所以O(shè)B=2PD=3a，

所以BE=（3a）2－a2=22a=62a，所以a=3，所以F（323，0）.（或如圖10，延長BD交x軸于點(diǎn)H，易證點(diǎn)D為BH的中點(diǎn)，點(diǎn)G為EH的中點(diǎn)，易求得GH=a.

由△ODG∽△DHG得DG2=OG·GH，即18a2=2a·a，進(jìn)而解得a=3，F(xiàn)（323，0）.）

本題以矩形和對(duì)稱點(diǎn)為素材，以反比例函數(shù)為載體設(shè)置問題，實(shí)現(xiàn)雙曲線與平行線的圖形的完美組合，注重核心知識(shí)組合與串聯(lián)，使試題具有綜合性和靈活性，達(dá)到了用一道題考查諸多核心知識(shí)的目的.面對(duì)一個(gè)新的研究對(duì)象，從哪些角度發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題，這需要“數(shù)學(xué)直觀”地去類比聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)模型、構(gòu)建模型，培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2 教學(xué)啟示

2.1 注重直觀想象，強(qiáng)化邏輯推理

對(duì)于任何學(xué)科的教學(xué)，最終都應(yīng)當(dāng)把培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科直觀作為重要的價(jià)值取向［1］.史寧中先生這段話指明了解題教學(xué)的重要方向，那就是解決數(shù)學(xué)問題始于直觀，終于理念.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).注重畫圖、析圖和賞圖，對(duì)題中所給的較復(fù)雜的圖形，學(xué)會(huì)分解，拆分成基本圖形；加強(qiáng)圖形之間的聯(lián)系，豐富圖形的想象，完善知識(shí)間的重組，為添加輔助線、解題思路的形成做好鋪墊；加強(qiáng)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，圖形和問題之間的預(yù)想和預(yù)判，借助直觀將抽象變具體，將隱含變清晰，強(qiáng)化邏輯推理.善于發(fā)現(xiàn)圖形中的結(jié)構(gòu)特征，從中抽取出數(shù)量、形狀、位置、變換等關(guān)系，使之呈現(xiàn)出“標(biāo)準(zhǔn)”或“熟悉”的狀態(tài)，順利實(shí)現(xiàn)模型化歸，釋放問題內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用圖形解決問題，挖掘新思路，尋求新方法，使數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀相互交織，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生“直觀”的習(xí)慣與“感知”的能力［2］.

2.2 優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善思維品質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)［3］.回歸教材，筑牢根基，廣泛聯(lián)系，讓知識(shí)網(wǎng)絡(luò)在關(guān)聯(lián)與融合中形成；探究方法，優(yōu)化過程，一題多解，讓創(chuàng)新意識(shí)在求解與比較中發(fā)展；關(guān)注本質(zhì)，深化思想，適時(shí)滲透，讓思想方法在啟發(fā)與探究中升華.在教學(xué)活動(dòng)中給學(xué)生提供展示邏輯推理和思維能力的平臺(tái)，突出每個(gè)學(xué)生用自己的數(shù)學(xué)方式思考、探究，由直觀建立表象，由直觀引領(lǐng)轉(zhuǎn)化，由已知想可知，由未知想需知，溝通可知與需知，幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理，形成良好的數(shù)學(xué)題感.題感是數(shù)學(xué)直觀的具體體現(xiàn)，是直覺洞察的結(jié)果，是思維習(xí)慣的結(jié)晶，是反思頓悟的升華，進(jìn)而在直觀—抽象—推理—建模—直觀的螺旋發(fā)展中完善有理、有序、有度的思維品質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)教育對(duì)學(xué)生能力發(fā)展的價(jià)值.

參考文獻(xiàn)

［1］史寧中．高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評(píng)價(jià)與教學(xué)實(shí)施［J］．中小學(xué)教材教學(xué)，2017（05）：4-9.

［2］林新建．基于“核心素養(yǎng)”的數(shù)學(xué)直觀能力培養(yǎng)途徑［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（08）：19-22.

［3］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］．北京：人民教育出版社，2022：91.

作者簡介 蔡衛(wèi)兵（1976—），男， 浙江寧波人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.