聚焦問題結(jié)構(gòu) 揭示數(shù)學本質(zhì)

【摘 要】 數(shù)學習題課是數(shù)學教學中不可或缺的環(huán)節(jié)，是對概念或定理法則等知識的鞏固和深化．在數(shù)學習題課中重視開展變式教學，有助于促進學生的數(shù)學思考和對學習的遷移，形成完善的知識與方法體系．研究以一道數(shù)學中考題為例，以變式教學理論為指導開展初中數(shù)學習題課教學，探討變式的過程和策略．【關鍵詞】 變式教學；初中數(shù)學；習題課

2021年7月13日，第14屆國際數(shù)學教育大會在上海舉行，華東師范大學顧泠沅教授受邀作主題為《45年：一項數(shù)學教改實驗》的大會報告，向國際同行介紹了基于“青浦實驗”的數(shù)學教育變式理論．所謂變式是指教師在教學中有目的有計劃地變換材料的形式，對命題進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，在變換過程中探究不變的規(guī)律和性質(zhì)，從而掌握數(shù)學對象的本質(zhì)屬性.顧泠沅教授及其研究團隊將變式教學分為概念性變式和過程性變式兩類［1-4］，其中過程性變式主要聚焦于數(shù)學活動和問題解決的有層次地推進，從而構(gòu)建起聯(lián)系緊密有邏輯的數(shù)學知識體系．

文［4］提出了數(shù)學問題解決的思路，指出基本路徑與策略是從一般到特殊、化未知為已知、化繁為簡，通過一步步的化歸變式不斷向已知的、熟悉的問題靠攏；在深入解決某個問題后可通過特殊到一般、類比聯(lián)想等方式變換問題，對問題進行拓展延伸，而要解決新的問題又回到了前面所說的化歸思想，如圖1．

運用變式教學理論，教師可以更好地開展習題課的有效教學，并啟發(fā)引導學生對問題展開探究討論，在解決問題的過程中“學會數(shù)學地思考”．下面以一道中考題為例，探討如何運用變式教學理論指導數(shù)學習題課教學，并將師生的教學活動與教師的教研活動有機融為一體．

1 試題呈現(xiàn)

問題1 （2021年廣東中考第10題）如圖2，設O為坐標原點，點A，B為拋物線y=x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A，B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為（? ）．

A．12? B．22? C．32? D．1

2 問題解析

2.1 題意與價值分析

本題是一道根據(jù)動點求最值的動態(tài)幾何問題，在直角坐標系下將二次函數(shù)、相似三角形、圓等知識點緊密結(jié)合在一起，體現(xiàn)了學科內(nèi)知識間的聯(lián)系，是比較綜合的題目，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．

動點A，B的運動，帶動圖形的形狀和數(shù)量關系變化，點C到y(tǒng)軸距離隨著A，B的運動而變化．但所給條件動靜結(jié)合，動中有靜，如∠AOB為定角90°．這里還隱含著直線AB與y軸的交點為一定點的重要條件，可以聯(lián)想到點C是在以線段OD為直徑的圓周上．回到圖2和所給條件，也可以聯(lián)系到證明相似三角形中常見的基本圖形——“一線三垂”圖（圖3），直線EF上對應有三個直角，顯然△AEO∽△OFB．2.2 相關題目

如果審題和分析題意后，學生還不能找到解決問題的方法，可以引導學生思考是否可以將問題變得更特殊、更簡單一些，將之轉(zhuǎn)化為一個比較熟悉的可以解決的問題.

如果將題目中的條件“拋物線”換成“圓”，其余條件和所求不變，得到如下題目．

問題2 如圖4，以點P（0，a）為圓心（a>0），a為半徑的圓上有兩個動點A，B，且OA⊥OB．連接點A，B，過坐標原點O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為多少？

簡析 因為∠AOB為直角，所以弦AB為圓P的直徑，從而必過圓心P．由OC⊥CP可知點C必在以OP為直徑的圓上．故點C到y(tǒng)軸距離的最大值為12OP=12a．

此題解答的關鍵在于，由弦AB所對圓周角為直角，推出AB必過y軸上的定點（即圓心P）．因此自然會思考：問題1中直線AB與y軸的交點D是定點嗎？如果是，則用類似問題2的方法立即可知，問題1中點C到y(tǒng)軸距離的最大值為12OD．下面沿著這個思路嘗試解決問題1．2.3 問題解析

如圖5，作AE⊥x軸于 點E，BF⊥x軸于點F，AH⊥BF于H，設AH交y軸于點G．設A（x1，x21），B（x2，x22），D（0，d）．

解法1 由△AGD∽△AHB得AGAH=DGBH，即

－x1x2－x1=d－x21x22－x21，整理得d=－x1x2.

由△AEO∽△OFB得AEOF=EOFB，即

x21x2=－x1x22．

整理得x1x2=－1．所以d=－x1x2=1．即AB交y軸于定點D（0，1）．由∠DCO=90°知，點C在以DO為直徑的圓上運動，故點C到y(tǒng)軸距離的最大值是12DO=12.

解法2 因為直線AB交y軸于點D（0，d），可設直線解析式為y=kx+d．聯(lián)立直線和拋物線的解析式，消去y得到x2－kx－d=0．由韋達定理得x1x2=－d.

由勾股定理，在Rt△AOB中，

AB2=OA2+OB2

=（AE2+OE2）+（OF2+BF2）

=（x21+x41）+（x22+x42）.

在Rt△AHB中，

AB2=AH2+BH2

=（x2－x1）2+（x22－x21）2

=x21－2x1x2+x22+x42－2x21x22+x41.

比較以上兩式得2x21x22=－2x1x2，故x1x2=－1.以下同解法1．

兩種解法的關鍵都在于求出點D的坐標，判定其為定點（即不隨A，B的運動而變化）．其中解法1中兩次運用相似三角形，更側(cè)重于幾何直觀，而解法2運用勾股定理和韋達定理，更強調(diào)代數(shù)推理．2.4 方法遷移

得到問題1的解答后，能在別的題目中運用這個結(jié)果或者方法嗎？可以看到以下這道題也可以運用這個方法完成．

問題3 （2014年四川宜賓市中考第24題）已知拋物線y=x2+bx+c的頂點的坐標為M（0，-1），與x軸交于A，B兩點．（圖略）

（1）求拋物線的解析式；

（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；

（3）過原點的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C，D兩點，連接MC，MD，試判斷MC，MD是否垂直，并說明理由．

3 變式與拓展

3.1 條件一般化

將問題1中的條件一般化，可得如下變式題．

問題4 設O為坐標原點，點A，B為拋物線y=ax2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A，B，過點O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值為．

簡析 如圖5，作AE⊥x軸，BF⊥x軸，AH⊥BF交y軸于點G．設A（x1，ax21），B（x2，ax22），D（0，d）．顯然x1≠x2.

由△AGD∽△AHB可得AGAH=DGBH，即

－x1x2－x1=d－ax21ax22－ax21．

化簡得d=－ax1x2.

由△AEO∽△OFB得

AEOF=EOFB，即ax21x2=－x1ax22．

化簡得a2x1x2=－1．故d=－ax1x2=1a．

因此，點D（0，1a）為定點．又因為∠DCO=90°，所以點C在以DO為直徑的圓上運動，從而點C到y(tǒng)軸距離的最大值是12DO=12a.

運用圖象的平移，可以設計如下變式．

問題5 設拋物線y=x2－1上有兩個動點A（x1，y1），B（x2，y2），點C為拋物線的頂點且CA⊥CB．請用含x1的代數(shù)式表示x2，并證明直線AB必經(jīng)過一定點．

問題6 設拋物線y=x2－2x+1上有兩個動點A（x1，y1），B（x2，y2），點C為拋物線的頂點且CA⊥CB．請用含x1的代數(shù)式表示x2，并證明直線AB必經(jīng)過一定點．3.2 獲得一般性結(jié)論

在解決問題1和問題4的過程中可以得到如下基本結(jié)論．

性質(zhì)1 如圖2，設點A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線y=ax2上的兩個動點．則以下三個條件等價，即若其中一個條件成立則另外兩個條件也成立．

（1）（定角）OA⊥OB．

（2）（定點）直線AB交y軸于定點D（0，1a），即直線AB的方程為y=kx+1a，其中斜率k隨點A，B的運動而變化．

（3）（定積）A，B兩點的橫坐標乘積x1x2為定值－1a2．

簡析 由問題4的解答可知，如果（1）成立，則（2）（3）成立．設（2）成立，聯(lián)立直線和拋物線的方程消去y得ax2－kx－1a=0，則A，B兩點的橫坐標滿足上述一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系可得x1x2=－1a2，即（3）成立．設（3）成立，則

AB2=（x2－x1）2+（ax22－ax21）2

=x21+2a2+x22+a2x41-2a2+a2x42

=（x21+a2x41）+（x22+a2x42）

=OA2+OB2.

因此由勾股定理的逆定理得（1）成立．這就證明了（1）（2）（3）三個條件等價．

由性質(zhì)1“定點”與“定角”的關系，立即可得出下面的性質(zhì)2．

性質(zhì)2 如圖2，設點A，B為拋物線y=ax2上的兩個動點，連接AB交y軸于點D（0，b）．則

（1）當b=1a時，∠AOB是直角；

（2）當0

（3）當b>1a時，∠AOB是銳角．

有了性質(zhì)1和性質(zhì)2這樣的一般性結(jié)論，教師就可以根據(jù)學生的基礎和教學目標靈活地對問題進行變式延伸，從而一步步地由點到面構(gòu)建知識與方法體系．3.3 應用性質(zhì)

近年各地中考數(shù)學常常出現(xiàn)與性質(zhì)1相關的動態(tài)幾何問題，其考查的內(nèi)容和思想方法本質(zhì)上沒有太大改變，主要體現(xiàn)在圖形或條件上的局部變化，可以通過轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等方式將問題轉(zhuǎn)化為性質(zhì)1的情形．

問題7 （2022年南寧市中考第26題）如圖2，在平面直角坐標系中，A，B是拋物線y=ax2（a>0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限．

（1）當直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求拋物線的解析式和A，B兩點的橫坐標的乘積．

（2）在（1）所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，A，B兩點的橫坐標的乘積是否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

簡析 運用性質(zhì)1由“定角”推出“定積”．

問題8 （2015年蘭州市中考第28題）已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點（2，1）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）一次函數(shù)y=mx+4的圖象與二次函數(shù)y=ax2的圖象交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．

①當m=32時，求證：△AOB為直角三角形．

②試判斷當m≠32時，△AOB的形狀，并證明.

（3）根據(jù)第（2）問，說出一條你能得到的結(jié)論（不要求證明）．

簡析 第（2）問可運用性質(zhì)1由“定點”推出“定角”．第（3）問答案不唯一，可結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)2給出．

4 教學建議

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》［5］指出，數(shù)學教學要關注數(shù)學的本質(zhì)、關注通性通法，這意味著初中數(shù)學命題將愈加重視對思維過程和探究過程的考查．變式教學有助于促進數(shù)學習題課的高效教學，提升學生的數(shù)學思維進而提高對學習的遷移能力．

首先，教師要掌握變式教學的基本路徑，理解其內(nèi)在的思想精髓．如圖1，變式教學的核心要義是通過化歸將未知問題逐次簡約，使之與熟悉的基本問題靠攏．或者反過來，從熟悉的基本問題出發(fā)，由簡到繁，變換條件設置障礙，逐漸指向未知問題．在習題課教學實踐中，教師可利用輔助性提問幫助學生完成類比和轉(zhuǎn)化（可參考波利亞的“怎樣解題表”［6］），例如，若學生審題后未找到已知和未知之間的直接聯(lián)系，教師可引導學生尋找一道以前解過的相關題目，利用之前的方法和結(jié)果輔助思考當前題目，例如，本文中為解答問題1先解答相關但更簡單的問題2．

其次，教師要完善自身知識體系，以扎實學識支撐高水平變式教學．前面的探究中可以發(fā)現(xiàn)，為有效開展變式教學，教師需要貫通初中數(shù)學與高中數(shù)學甚至高等數(shù)學的知識體系結(jié)構(gòu)，理解數(shù)學研究的基本思維方式和重要的數(shù)學思想方法，掌握初等數(shù)學命題的一般性結(jié)論，做好初高中銜接知識的教授.如此才能高屋建瓴，站在更高的立意和視角審視初中數(shù)學內(nèi)容，在學生的知識范疇內(nèi)對問題進行靈活變式和拓展引申，有梯度有層次多角度地引導學生進行探究和思考，逐步形成完善的知識與思想方法體系．

最后，需要指出，習題課變式教學不可一味追求變化導致走向繁難的機械訓練．文［3］指出，知識和技能的層次性是動態(tài)數(shù)學活動的重要特征．對數(shù)學問題一味求變求難而不注重層次性，將演變?yōu)闄C械訓練，與變式教學的宗旨背道而馳．習題課變式教學不必過分強調(diào)多做多練，而是要通過精心的教學設計，讓學生體會復雜問題與相關基本問題之間的逐層轉(zhuǎn)化，再利用適量的有代表性的題目遞變式地開展變式訓練，提升學生分步解決問題的能力，形成多層次的知識網(wǎng)絡和系統(tǒng)經(jīng)驗．

參考文獻

［1］顧泠沅.教學實驗論：青浦實驗的方法學與教學原理研究［M］．北京：教育科學出版社，1994：101-125，137-138．

［2］顧泠沅，黃榮金，F(xiàn)·馬頓．變式教學：促進有效的數(shù)學學習的中國方式［A］.范良火，黃毅英，蔡金法，李士鑄．華人如何學習數(shù)學［C］．南京：江蘇教育出版社，2005：247-273．

［3］顧非石，顧泠沅．詮釋“中國學習者悖論”的變式教學研究［J］．課程·教材·教法，2016，36（03）：86-91．

［4］鮑建生，黃榮金，易凌峰，等．變式教學研究（續(xù)）［J］．數(shù)學教學，2003（02）：6-10．

［5］中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2022．

［6］［美］G·波利亞．怎樣解題［M］．涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.

作者簡介 林潔容（1989—），女，廣東英德人，碩士，中學一級教師，惠州市名班主任工作室主持人;主要從事中學數(shù)學教學和德育研究.