合理運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo) 順解反比例函數(shù)面積問題

馮俊 王芳

【摘要】 反比例函數(shù)面積綜合問題是歷年中考的重點(diǎn)內(nèi)容，也是考查難點(diǎn).本文通過對(duì)2021年各省市中考真題的研究，合理利用點(diǎn)的坐標(biāo)，尋求常規(guī)方法，解決反比例函數(shù)的綜合問題，總結(jié)解題規(guī)律.發(fā)現(xiàn)從點(diǎn)的坐標(biāo)過渡到線段長度，最后到達(dá)圖形面積這一過程中，體現(xiàn)思維拓展，發(fā)展幾何直觀.

【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù)；點(diǎn)的坐標(biāo)；線段長度；圖形面積

1 模型思想

平面直角坐標(biāo)系中圖形面積的基本模型是三角形的面積問題，通過點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長度，進(jìn)而體現(xiàn)三角形的面積是常規(guī)手段，也是最好的方法.

思路如下：點(diǎn)的坐標(biāo)——線段長度——三角形面積——幾何圖形面積.

2 真題研究

例1 如圖1，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，延長AB交x軸于C點(diǎn)，若△AOC的面積是12，且點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，則k=.

解 不妨設(shè)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（a，b），C（c，0），

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Ba+c2，b2，

因?yàn)辄c(diǎn)A，B均在反比例函數(shù)圖象上，

則

ab=a+c2·b2，

化簡可得c=3a.

由△AOC的面積是12可得

12cb=12，

所以32ab=12，

于是ab=8，

所以k=ab=8.

解題的主要步驟是確定A，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示線段OC的長度以及△OAC的面積.

例2 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)D，分別與對(duì)角線AC，邊BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，AF．若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，△AEF的面積為1，則k的值為（? ）

（A）125.（B）32.（C） 2.（D） 3.

解 不妨假設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（b，0），C（b，c），D（a，c），F(xiàn)（b，d），

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E為a+b2，c2.

因?yàn)辄c(diǎn)D，E，F(xiàn)均在反比例函數(shù)圖象上，則

ac=a+b2·c2=bd，

化簡可得b=3a，d=13c.

由△AEF的面積為1可得△ACF的面積為2，

即12（c-d）（b-a）=2，

所以12·23c·2a=2，

即ac=3，

所以k=ac=3.

本題的解決過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)開始出現(xiàn)四個(gè)字母，很多學(xué)生都會(huì)選擇知難而退；但是經(jīng)過反比例函數(shù)的定義運(yùn)用會(huì)發(fā)現(xiàn)四個(gè)字母之間存在著兩個(gè)重要的等量關(guān)系式：b=3a，d=13c；再結(jié)合三角形面積找出ac的值即可得解.

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在雙曲線y=-3x（x＜0）上，點(diǎn)C，D在y軸的正半軸上，點(diǎn)E在BC上，CE＝2BE，連接DE并延長，交x軸于點(diǎn)F，連接CF，則△FCD的面積為（? ）

（A） 2（B）32.（C） 1.（D）12.

解 不妨假設(shè)C（0，m），D（0，n）；

依題意易知

A-3n，n，B-3n，m，

因?yàn)镃E＝2BE，

則E-2n，m，接下來求OF的長度.

方法1? 三角形相似

根據(jù)題意易知 △DCE∽△DOF；

那么ECFO=DCDO，

即2nFO=n-mn，

化簡得FO=2n-m，

于是△FCD的面積為

S=12FO·DC=12·2n-m·（n-m）=1，

故答案為（C）.

方法2 一次函數(shù)

假設(shè)直線DE的表達(dá)式為

y=kx+b（k≠0），

代入兩點(diǎn)D（0，n），E-2n，m，

于是y=n2（n-m）x+n，

那么點(diǎn)F的坐標(biāo)為F2m-n，0，

于是△FCD的面積為

S=12FO·DC=12·2n-m·（n-m）=1.

本題的解決同樣是表示點(diǎn)C，D，F(xiàn)的坐標(biāo)，再確定線段OF，CD的長度，從而確定△FCD的面積.

反思 通過幾道中考真題的探究發(fā)現(xiàn)，尋求最常用的通法才是解決問題的關(guān)鍵.從點(diǎn)的坐標(biāo)表示入手，到線段的長度表示，最后到幾何圖形的面積確定.都是最為常規(guī)的解題方式，沒有高明的技巧，有的只是通解通法.