數(shù)學與體育館的結(jié)合

尤建琴

【摘要】 本文在陶行知老先生的名言“教育中要防止兩種不同的傾向：一種是將教與學的界限完全泯除，否定了教師主導作用的錯誤傾向；另一種是只管教，不問學生興趣，不注重學生所提出問題的錯誤傾向.前一種傾向必然是無計劃，隨著生活打滾；后一種傾向必然把學生灌輸成燒鴨”的啟發(fā)下，聯(lián)系體育館中的一系列問題，引導學生用反比例函數(shù)的知識給予解決.

【關鍵詞】 反比例函數(shù)；實際問題；函數(shù)關系

隨著社會的發(fā)展，數(shù)學的應用已經(jīng)滲透到生活的各個領域，函數(shù)是數(shù)學的核心和主線，它的內(nèi)涵恰好能體現(xiàn)不斷變化的事物的本質(zhì)及事物間的內(nèi)在聯(lián)系.而反比例函數(shù)經(jīng)常作為主角出現(xiàn)在函數(shù)的應用中，如通訊話費、計程車計費、銀行利率、郵資、個人所得稅等，所以，很有必要在這些方面開展研究性學習.這樣既能使學生體悟數(shù)學的應用價值，又能激發(fā)其學習數(shù)學的興趣，還能形成學數(shù)學、用數(shù)學的思維和意識.下面筆者以與學生息息相關的體育館中的一系列問題，用反比例函數(shù)給予解決，探討反比例函數(shù)的應用.

問題1 蓮花學校要籌建新的體育館，其地基為長方形，占地面積為2 400平方米.（1）體育館的長與寬之間具有怎樣的函數(shù)關系？（2）如果體育館的寬為100米，那么長為多少？（3）由于場地的限制，長最多為60米，那么寬應該滿足什么條件？

解析 （1）設長為x，寬為y，由長方形面積=長×寬，可得y= 2400 x ；

（2）將y=100代入y= 2400 x ，可得x=240；

（3）長最多為60米，即x≤60，這個很像是一道解不等式的題目，但學生很難用解不等式解決，這里通常有兩種方法：① 根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，因為k>0，x>0，y隨x的增大而減小，所以考慮臨界值，當x最大為60時，y最小值為400，即y≥400.② 根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，因為k>0，x>0，圖像在第一象限，從左到右呈下降趨勢，根據(jù)x的取值范圍確定對應的圖像，進而得出y的取值范圍.

分析 此題是以蓮花體育館的籌建為背景引入的，讓學生來當一回設計師，設計體育館的地基，就像陶行知老先生說的：“教育不能創(chuàng)造什么，但它能啟發(fā)兒童創(chuàng)造力以從事于創(chuàng)造工作.”這題的三小題分別用反比例函數(shù)的解析式、取值以及增減性解決.問題（1）的反比例函數(shù)關系式是由長方形面積公式直接得出的；對于問題（2）的解答，只要將y=100的數(shù)值代入關系式中，就可以求出相對應的x數(shù)值；問題（3）是對反比例函數(shù)增減性的考查，也可結(jié)合圖像更直觀地感受當長最多為60米時，寬應該滿足的條件，這里還用到了臨界值，當考慮某一變量的取值范圍時，往往會先分析臨界值，在下面的題目中我們還將涉及.

問題2 某建筑商出售一批進價為2萬元/噸的鋼材，在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此鋼材的銷售單價x萬元/噸與銷售量y（噸）之間有如下關系：

x（萬元/噸） 3 4 5 6

y（噸） 20 15 12 10

（1）猜測并確定y與x之間的函數(shù)關系式；（2）設經(jīng)營此鋼材的銷售利潤為w萬元，試求出w與x之間的函數(shù)關系式；（3）若物價局規(guī)定此鋼材的銷售價最高不能超過10萬元/噸，請你求出當銷售單價x定為多少萬元時，才能獲得最大銷售利潤？

解析 （1）由四組數(shù)據(jù)積的不變性，可以得出xy=120，y= 120 x ；

（2）根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得出w=（x-2）y，但題目要求是w與x之間的函數(shù)關系式，這里將把第（1） 小題中的y= 120 x 直接代入，得到一個新函數(shù)w=- 240 x + 120；（3）對于函數(shù)w=- 240 x +120，已知x≤10時，確定w的取值范圍，應把w看成兩項，一項為定值120，一項為變值- 240 x ，所以w的取值范圍由- 240 x 確定，也有兩種方法：① 根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，因為k<0，x>0，y隨x的增大而增大，所以考慮臨界值，當x最大=10時，w最大=96，即0≤w≤96.② 根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，因為k<0，x>0，圖像在第四象限，從左到右呈上升趨勢，根據(jù)x的取值范圍確定對應的圖像，得出- 240 x 的取值范圍，進而得出w的取值范圍.

分析 這題是以蓮花體育館建造時，鋼材供應商經(jīng)營策略為背景引入的，它在問題1的基礎上有所提高，體現(xiàn)了不同的求解析式的方法.這里的設計主要想體現(xiàn)陶行知老先生的名言：“好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學.”讓學生在已有的基礎上進一步提升.問題（1）的反比例函數(shù)關系式是由售價與銷售量乘積的不變性，直接得出的；問題（2）在確定了銷售量與銷售價之間的反比例函數(shù)關系之后，根據(jù)總利潤=單價利潤×銷售量或者總利潤=銷售額-成本的數(shù)量關系，列出w與x之間的關系式，這里銷售量y要用x來表示；問題（3）根據(jù)利潤的函數(shù)關系式w=- 240 x +120，由x的取值范圍來確定w的取值范圍，這里應該把w的函數(shù)關系式看成由- 240 x 和120兩部分組成，而其中的120是不變的，所以w的值主要由- 240 x 來確定，也就是由反比例函數(shù)的增減性來確定，其實這一題和問題1的第三小題是考查的同一知識點，但卻比問題1要難.

問題3 如圖，體育館建成之后，學校對它進行藥熏消毒.已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（mg）與時間x（min）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例.現(xiàn)測得藥物8 min燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6 mg.請根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時，y與x的關系式為 ；藥物燃燒完后，y與x的關系式為 ；

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6 mg時學生方可進入教室，那么從消毒開始，至少經(jīng)過 min后，學生才能回到教室；

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3 mg且持續(xù)時間不低于10 min時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次藥熏是否有效？請說明理由.

解析 （1）由圖像可知，它有兩部分組成，一條經(jīng)過原點的線段和一條曲線，可知它對應兩個函數(shù)：正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，所以當08時，y= 48 x ；（2）含藥量即為y的值，相當于已知y=1.6，代入反比例函數(shù)y= 48 x 求相應的x；（3）已知y的取值范圍y≥3，求出x的取值范圍，主要用臨界值的方法，把y=3分別代入正比例函數(shù)y=0.75x和反比例函數(shù)y= 48 x ，求出相應的x，即在圖像找出y=3相對應的兩個點，再找出y≥3時相對應的圖像，把兩個x相減，得出的差與10做比較，如果差大于或等于10則有效，如果差小于10則無效.

分析 問題（3）是以對體育館進行消毒為背景引入的.相對于問題（1）、（2），它多了圖像，也就是說主要要結(jié)合圖像來解決此題.第（1）小題是根據(jù)圖像用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式；第（2）小題是常規(guī)的已知y代入解析式求x，但此題有兩個函數(shù)關系式，學生要根據(jù)題目要求選擇適當?shù)慕馕鍪?，因為題目要求“學生進入教室”，所以要選擇反比例函數(shù)；第（3）小題是第（2）小題的延伸，它是已知y的取值范圍確定x的取值范圍，主要體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

就像陶行知老先生說過的：“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發(fā)文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學生.”

所以，我在前面三個問題的基礎上，設計的問題4，它只給出了圖像以及簡潔的提示，沒有給出任何問題，主要由學生自主提出問題并解決問題，以此提升學生的能力以及對知識點認知的升華.

問題4 體育館建成之后，很多教師去參觀，體育教師就熱情地邀請他們喝茶.圖中是喝茶前，燒水和泡茶兩個工序中，水溫隨著時間的變化所呈現(xiàn)的圖像，其中BC=1，CD為反比例函數(shù)圖像的一部分.根據(jù)以上信息，你能設計出哪些與燒水、泡茶有關的問題.

解析 問題4是以燒水泡茶為背景引入的.這個題目拋出后，極大地調(diào)動了學生的參與性和積極性，他們結(jié)合前面三個問題所用到的知識點，想出了一系列的問題.（1）根據(jù)圖像求出函數(shù)關系式；解答：因為圖像分為三段，所以它對應三個函數(shù)關系式，但根據(jù)圖中給出的已知條件，只能先求出CD段的反比例函數(shù)y= 900 x （x>9），進而求出點C坐標（9，100），點B（8，100），并確定BC段的函數(shù)y=100（8

綜合以上問題，我們不難發(fā)現(xiàn)求解反比例函數(shù)應用題的一般策略，即充分閱讀和理解題目的具體內(nèi)容，找出其中隱含的必要條件，從而確定相應的反比例函數(shù)關系式，然后，結(jié)合圖像利用方程或不等式等方法解決相應問題.