淺談一類幾何最值的代數(shù)解法

馮俊 王芳

【摘要】 幾何的最值問題牽涉面較廣，與平移、旋轉、軸對稱或中心對稱等幾何變換都有著較大的關聯(lián).本文就一類幾何最值問題從簡單的一條線段確定最值到多條線段之和取最值問題進行深入探究，發(fā)現(xiàn)代數(shù)法也是其解決途徑之一，多角度研究線段最值問題并形成比較，從而為深層次理解數(shù)形結合奠定了基礎.

【關鍵詞】 最值問題;幾何變換;代數(shù)法;數(shù)形結合

1 模型初探

在使用幾何方法難以處理問題時可以直接使用代數(shù)的方法，即將所要求的的線段進行代數(shù)化表示.若僅為一條線段，則可以表示為關于一條線段的一次函數(shù)或者二次函數(shù)等形式;利用函數(shù)的最值確定線段的最值.

比如：如圖1，已知AB=10，點P是線段AB上的任意一點，在AB的同側分別以AP，BP為邊作等邊三角形APC和等邊三角形BPD，試確定CD的最小值.

這一問題采用代數(shù)的方式實質是表示線段CD的長度，可設PB=x，則AP=10-x;作DE⊥CP于點E.根據(jù)三角函數(shù)知識得：

PE=12x，DE=32x;

于是CE=10-x-12x=10-32x，

那么CD=CE2+DE2

=10-32x2+32x2，

整理得CD=3（x-5）2+25，

所以x=5時，CD取得最小值5.

2 提出問題

如圖2，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E，F(xiàn)為邊AC，BC上的兩個動點，且AE=CF，連接BE，AF，則BE+AF的最小值為.

3 問題解決

解法1 題目需要確定BE+AF的最小值，此時BE+AF是兩條相交線段，并且屬于兩個動點到兩定點的距離之和.基本思想是利用“折轉直”的思想方法將BE，AF調至一條直線上.根據(jù)AE=CF這一條件，應在AE處構造直角三角形，使得AF可以轉換為EG，這樣BE+AF就可以進行轉化.

過點A作AG⊥AE，且AG=AC，如圖3所示，連接EG.

易證△ACF≌△GAE，

于是EG=AF.

那么BE+AF=BE+EG≥BG，

過點G作GH⊥BA于點H，

因為AC=BC=2，

所以GA=2，AB=2，

所以AH=GH=1.

則GB=GH2+HB2=10，

于是BE+AF的最小值為10.

這一方法的關鍵在于構造△GAE，并且△GAE不是由△ACF經(jīng)過平移或者旋轉得來，這樣無形中增加了問題的難度.同理在圖4中將BE轉換成FM也能處理問題.

于是BE+AF=AF+FM≥AM.

解法2 如圖5，因為

AE=CF，

于是可設AE=CF=x，

所以CE=2-x，

所以AF=AC2+CF2

=2+x2，

所以BE=BC2+CE2=2+（2-x）2，

所以BE+AF=2+（2-x）2+2+x2.

不難發(fā)現(xiàn)，BE與AF均可以看成直角三角形的斜邊長，于是構造圖6，將AF，BE分別用斜邊A′P′以及斜邊D′P′表示，根據(jù)兩點之間，線段最短，得

BE+AF=A′P′+P′D′≥A′D′，

過點D′作D′Q′⊥A′B′于點Q′，

所以A′D′=A′Q′2+D′Q′2

=22+（22）2

=10，

那么BE+AF的最小值為10.

代數(shù)法的解決實質就是用運算的方式表示線段的長，若只確定一條線段的最值，一般可表示成關于某個變量的函數(shù)關系式，利用函數(shù)的最值性可以獲得最值.若確定多條線段的最值，則會產(chǎn)生新的幾何問題.此方法不需要理會原圖中如何進行幾何變換才能將兩條線段進行“折轉直”，這樣繞開了進行平移、旋轉或對稱帶來的困擾.其原理表示為如圖7，

MN=a2+（c-x）2+b2+x2

≥（a+b）2+c2.

4 問題拓展

拓展1 （等腰直角三角形的邊長為一般情形）：其他條件不變，AC=BC=a，則BE+AF的最小值為.

問題解決：根據(jù)上述代數(shù)法的運算過程，不難發(fā)現(xiàn)BE+AF=a2+（a-x）2+a2+x2，于是可以得到BE+AF≥（2a）2+a2=5a.

拓展2 （一般的直角三角形）：直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，E，F(xiàn)為邊AC，BC上的兩個動點，且AE=CF，則BE+AF的最小值為.

問題解決：依然假設AE=CF=x，則BE+AF=a2+（b-x）2+b2+x2;

于是可以得到BE+AF≥（a+b）2+b2.

拓展3 （兩個動點分別位于直角邊與斜邊）如圖8所示，直角三角形ABC中，BC=a，AC=b，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，且AE=CF，求AF+CE的最小值.

問題解決：假設AE=CF=x，

則AF=x2+b2;

過點E作EH⊥AC于點H.

因為∠AHE=∠ACB=90°，

且∠HAE=∠CAB，

所以△AEH∽△ABC，

所以EHBC=AEAB=AHAC，

即EHa=xc=AHb;

其中c=a2+b2.

所以EH=acx，AH=bcx，

所以CE=HE2+CH2=acx2+b-bcx2，

化簡得CE=a2c2x2+b2-2b·bcx+b2c2x2

=x2+b2-2b·bcx

=b2c-x2+a2b2c2，

所以AF+CE=b2+x2+b2c-x2+a2b2c2，

所以AF+CE≥abc+b2+b2c2

=b21+ac，

其中c=a2+b2.

5 方法應用

如圖9所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E，F(xiàn)分別在AC，CD上運動，且AE=CF，連接BE，BF，那么BE+BF的最小值為.

解 過點E作EG⊥AB，垂足為G，設AE=CF=x，

則△AGE∽△ABC，

于是AGAB=EGCB=AEAC，

將數(shù)值代入得

AG4=EG3=x5，

所以AG=45x，

EG=35x，

所以 BE+BF

=35x2+4-45x2+32+x2，

化簡整理得

BE+BF=165-x2+14425+9+x2，

于是BE+BF≥125+32+1652=9855.