反比例函數(shù)中的面積問題

董淑娥

【摘要】 反比例函數(shù)的面積問題主要包含以下三種情況：一點與原點以及坐標(biāo)軸上一點構(gòu)成的三角形的面積，兩點與原點構(gòu)成的三角形的面積，兩點兩垂線的面積問題.

【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù);面積問題

1 反比例函數(shù)上一點與坐標(biāo)軸上一點及原點構(gòu)成三角形

過反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上一點，向x軸或y軸作垂線，所圍成的三角形面積為12|k|.

例1 如圖1，過反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上一點A作AB⊥x軸于點B，連接AO，若S△AOB=2，則k的值為（）

（A） 2. （B） 3.

（C） 4.（D） 5.

解 根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義得到S△AOB=12|k|，

所以|k|=2×2=4，

所以k=±4.

由圖象，得k>0，所以k=4.

故選（C）.

例2 如圖2，已知A為反比例函數(shù)y=kx（x<0）的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸，垂足為B.若△OAB的面積為2，則k的值為（）

（A） 2.（B）-2.

（C） 4.（D）-4.

解 因為AB⊥y軸，

所以S△OAB=12|k|=2，

所以k=±4.

由圖象，得k<0，

所以k=-4.

故選（D）.

2 反比例函數(shù)上兩點與原點構(gòu)成三角形

2.1 兩交點在雙曲線的同一支上

反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點在同一支上，如圖3.

方法1 作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，

則S△AOB=S梯形AEFB.

方法2

S△AOB=S△COD-S△AOC-S△BOD.

例3 如圖4，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于D，C，與反比例函數(shù)y=2x（x>0）的圖象交于A，B兩點，則△AOB的面積是.

解 作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，則

S△AOB=S梯形AEFB=12（yA+yB）（xB-xA）.

由-x+3=2x，得 x2-3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

所以A（1，2），B（2，1），

所以SAOB=12（2+1）（2-1）=32.

例4 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，點P（1，4），Q（m，n）在函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，當(dāng)m>1時，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足為點A，B;過點Q分別作x軸，y軸的垂線，垂足為點C，D.QD交PA于點E，隨著m的增大，四邊形ACQE的面積（）

（A）減小. （B）增大.

（C）先減小后增大.（D）先增大后減小.

解 由題意，得

AC=m-1，CQ=n，

則S四邊形ACQE=AC·CQ=（m-1）n=mn-n.

因為點P（1，4），Q（m，n）在函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，

所以mn=k=1×4=4.

所以S四邊形ACQE=4-n.

因為當(dāng)m>1時，n隨m的增大而減小，

所以S四邊形ACQE隨m的增大而增大.

故選（B）.

2.1 兩交點分別在雙曲線的兩支上

反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點和原點所圍成的三角形面積，若兩交點分別在兩支上，如圖6.

方法1

S△AOB=12OD·|xB-xA|

=12·|yA-yB|.

方法2 S△AOB=S△OCD+S△BOD+S△AOC.

方法3 作AE⊥y軸，BF⊥x軸，AE與BF相交于點N，則

S△AOB=S△ABN-S△AOE-S△BOF-S矩形OENF，

或S△AOB=S△ABN-S△AON-S△BON.

例5 如圖7，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于A（-2，1），B（1，n）兩點.

（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;

（2）求△AOB的面積.

解 （1）因為點A（-2，1）在反比例函數(shù)y=mx的圖象上，

所以m=（-2）×1=-2.

所以反比例函數(shù)的表達式為y=-2x.

因為點B（1，n）也在反比例函數(shù)y=-2x的圖象上，

所以n=-2，即B（1，-2）.

把點A（-2，1），點B（1，-2）代入一次函數(shù)中，得

-2k+b=1，k+b=-2，解得k=-1，b=-1.

所以一次函數(shù)的表達式為y=-x-1.

（2）在y=-x-1中，當(dāng)y=0時，得x=-1.

所以直線y=-x-1與x軸的交點為C（-1，0）.

因為線段OC將△AOB分成△AOC和△BOC，

所以S△AOB=S△AOC+S△BOC

=12×1×1+12×1×2

=12+1=32.

3 兩點兩垂線的面積問題

反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點及由交點向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|.

如圖8，S△APP′=2|k|，

如圖9，S四邊形AMBN=2|k|.

0

例6 如圖10，反比例函數(shù)y=5x的圖象與直線y=kx（k>0）相交于A，B兩點，AC∥y軸，BC∥x軸則△ABC的面積等于.

解 直接利用上面的結(jié)論可得S△ABC=2|k|=10.