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    遇角平分線及其垂線構(gòu)造等腰三角形

    2022-07-24 12:19:02楊再發(fā)
    數(shù)理天地(初中版) 2022年7期
    關(guān)鍵詞:垂線

    楊再發(fā)

    【摘要】 在求證線段的兩倍關(guān)系或是線段和差后的兩倍關(guān)系的問題,如果條件中有角平分線又有這條角平分線的垂線,一般考慮構(gòu)造等腰三角形,用等腰三角形的性質(zhì)來解,本文舉例說明.

    【關(guān)鍵詞】角平分線;垂線;構(gòu)造等腰三角形

    1 證明某線段與三角形兩邊之差的二分之一的關(guān)系

    例1 圖1

    已知,如圖1,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,BE⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)E,M是BC的中點(diǎn),求證:EM=12(AB-AC).

    證明 分別延長AC,BE交于點(diǎn)F,

    因?yàn)锳D平分∠BAC,

    所以∠BAE=∠EAF,

    因?yàn)锽E⊥AD于點(diǎn)E,

    所以∠AEB=∠AEF=90°,

    因?yàn)锳E=AE,

    所以△ABE≌△AFE(ASA),

    所以AB=AC,BE=FE,

    因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),

    所以EM=12CF,

    因?yàn)镃F=AF-AC,

    即CF=AB-AC,

    所以EM=12(AB-AC).

    2 證明線段兩倍的關(guān)系

    例2

    已知,如圖2,在△ABC中,AC=BC, ∠ACB=90°,BD平分∠ABC,AE⊥BD,交BD的延長線于點(diǎn)E,求證:BD=2AE.

    證明 分別延長AE,BC交于點(diǎn)F,

    因?yàn)锳E⊥BD于點(diǎn)E,

    所以∠AEB=∠FEB=90°,

    因?yàn)锽D平分∠ABC,

    所以∠ABE=∠FBE,

    因?yàn)锽E=BE,

    所以△ABE≌△FBE(ASA),圖2

    所以AE=EF,

    則AF=2AE,

    因?yàn)椤螦CB=90°,

    所以∠ACF=∠ACB=90°,

    則∠CDB+∠CBD=90°,

    因?yàn)椤螮AD+∠EDA=90°,

    因?yàn)椤螮DA=∠CDB,

    所以∠CBD=∠EAD,

    因?yàn)锳C=BC,

    所以△CBD≌△CAF(ASA),

    所以BD=AF,

    即BD=2AE.

    3 探究某線段與三角形三條邊和差的二分之一的關(guān)系

    例3 圖3

    已知,如圖3,在△ABC中,BP,CQ分別是∠ABC,∠ACB的平分線,且AP⊥BP于點(diǎn)P,AQ⊥CQ于點(diǎn)Q,求證:QP=12(AB+AC-BC).

    證明 延長AQ交BC于點(diǎn)D,延長AP交BC于點(diǎn)E,

    因?yàn)锽P是∠ABC的平分線,

    所以∠ABP=∠EBP,

    因?yàn)锳P⊥BP,

    所以∠APB=∠EPB=90°,

    因?yàn)锽P=BP,

    所以△ABP≌△EBP(ASA),

    即AB=BE,

    AP=EP,

    因?yàn)镃Q是∠ACB的平分線,

    所以∠ACQ=∠DCQ,

    因?yàn)镃Q⊥AQ,

    所以∠AQC=∠DQC=90°,

    因?yàn)镃Q=CQ,

    所以△ACQ≌△DCQ(ASA),

    即AC=DC,

    AQ=DQ,

    所以QP是△ADE的中位線,

    即QP=12DE,

    因?yàn)镈E=BE-BD=AB-(BC-CD)

    =AB-(BC-AC)

    =AB+AC-BC,

    所以QP=12(AB+AC-BC).

    例4 已知,如圖4,在△ABC中,BD,CE分別是外角的平分線,過點(diǎn)A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別為F,G,連接FG,求證:FG=12(AB+BC+AC).

    證明 分別延長AF,AG交直線BC于點(diǎn)M,N,

    因?yàn)锽D平分∠ABM,

    所以∠ABF=∠MBF,

    因?yàn)锽F=BF,

    因?yàn)锳F⊥BD,

    所以∠BFA=∠BFM=90°,

    所以△ABF≌△MBF,

    即AF=MF,AB=BM,

    同理可得△ACG≌△NCG,

    所以AG=NG,AC=CN,

    因?yàn)锳F=MF,AG=NG,

    所以FG是△AMN的中位線,

    所以FG=12MN=12(BM+BC+CN)

    =12(AB+BC+AC).

    例5 已知,如圖5,在△ABC中,BD是△ABC的內(nèi)角的平分線,CE是△ABC的外角的平分線,過點(diǎn)A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別為F,G,連接FG,求證:FG=12(AB+BC-AC).

    證明 分別延長AF,AG交直線BC于M,N,

    因?yàn)锽D平分∠ABM,

    所以∠ABD=∠CBD,

    因?yàn)锽F=BF,

    因?yàn)锳F⊥BD,

    所以∠BFA=∠BFM=90°,

    所以△ABF≌△MBF,

    即AF=MF,AB=BM,

    同理可得△ACG≌△NCG,

    即AG=NG,AC=CN,

    因?yàn)锳F=MF,AG=NG,

    所以FG是△AMN的中位線,

    所以FG=12MN,

    因?yàn)镸N=CM+CN=AC+(BC-BM)

    =AC+BC-AB,

    所以FG=12(AB+BC-AC).

    4 求三角形面積與原三角形的面積之間的關(guān)系

    例6 圖6

    如圖6,△ABC的面積是10,AP垂直∠ABC的平分線BP于點(diǎn)P,求S△PBC.

    解 延長AP交BC于點(diǎn)D,

    因?yàn)锳P⊥BP于點(diǎn)P,

    所以∠BPA=∠BPD=90°,

    因?yàn)锽P平分∠ABC,

    所以∠ABP=∠DBP,

    因?yàn)锽P=BP,

    所以△ABP≌△DBP(ASA),

    所以S△APB=S△DBP,

    AP=DP,

    即S△DBP=12S△ABD,S△PDC=12S△ADC,

    因?yàn)椤鰽BC的面積是10,

    所以S△ABD+S△ADC=S△ABC=10,

    因?yàn)镾△BPC=S△DBP+S△PDC,

    所以 S△BPC=12S△ABD+12S△ADC=12S△ABC=5.

    例7 如圖7,已知△ABC的面積為26cm2,BD為△ABC的角平分線,AE⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E,連接CE,求△EBC的面積.

    解 分別延長AE,BC交于點(diǎn)F,

    因?yàn)锳E⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)E,

    所以∠AEB=∠FEB=90°,

    因?yàn)锽D是△ABC的角平分線,

    所以∠ABE=∠FBE,

    因?yàn)锽E=BE,

    所以△ABE≌△FBE(ASA),

    所以S△ABE=S△FBE,

    AE=EF,

    即S△ACE=S△FCE,

    因?yàn)椤鰽BC的面積為26cm2,

    所以S△ABF=S△ABC+S△ACE+S△FCE

    =26+2S△FCE,

    即S△ABE=S△FBE=13+S△FCE,

    因?yàn)镾△EBC=S△FBE-S△FCE,

    所以S△EBC=13+S△FCE-S△FCE=13.

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