數(shù)形結(jié)合，巧解數(shù)學(xué)難題

章茹霞

【摘要】通過探討數(shù)形結(jié)合在不同題型難題中的應(yīng)用可以看到數(shù)形結(jié)合能夠達(dá)到化難為易，迅速破題的良好效果.為更好的提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解答初中數(shù)學(xué)難題的能力，一方面，注重與數(shù)形結(jié)合相關(guān)知識的總結(jié)，認(rèn)真分析初中數(shù)學(xué)哪些知識點(diǎn)與數(shù)形結(jié)合思想有關(guān)聯(lián)，提高數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意識.另一方面，做好經(jīng)典例題的學(xué)習(xí)，認(rèn)真揣摩相關(guān)難題的解題思路，同時(shí)積極開展專題訓(xùn)練活動(dòng)，積累豐富的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，不斷提升應(yīng)用能力與應(yīng)用技巧.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);解題思路

1 用于解答幾何圖形難題

例1 如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內(nèi)接正方形，若直線OF的表達(dá)式為y=2x，則正方形ABCD和正方形OEFG的面積之比為（）.

（A）4：3.（B）8：5.（C）16：9.（D）9：4.

解 由圖可知，∠GBO=∠FGO=90°，所以∠GOB+∠OGB=90°，∠FGC+∠OGB=90°，所以∠GOB=∠FGC，因?yàn)椤螩=90°，OG=FG，所以△GOB≌△FGC，所以FC=BG，CG=OB，設(shè)OB=x，GB=y，則HF=OB-FC=x-y，CB=x+y，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x-y，x+y），因?yàn)辄c(diǎn)F在y=2x上，所以x+y=2x-2y，所以x=3y，正方形ABCD的面積為CB2=16y2，正方形OEFG的面積為OG2=OB2+BG2=10y2，則面積之比為16y210y2=85，選擇B項(xiàng).

2 用于解答反比例函數(shù)難題

例2 如圖2，矩形ABCD的邊BC在x軸上，AB=4，AD=5，反比例函數(shù)圖象y=kx和矩形交于A、E兩點(diǎn)，沿AE折疊△ADE，點(diǎn)D恰好落在BC上的F點(diǎn)，則k的值為（）

（A）10.（B）11.（C）12.（D）13.

解 由題意可知△ADE≌△AFE，AD=AF，DE=EF，因?yàn)锳B=4，AD=5，在直角△ABF中由勾股定理可得AB2+BF2=AF2所以BF=AF2-AB23，則FC=5-3=2，設(shè)EC=x，則EF=4-x，在直角△EFC中，由勾股定理可得EF2=FC2+EC2，即（4-x）2=22+x2，解得x=1.5，設(shè)點(diǎn)A（m，4），則E（m+5，1.5），將其代入y=kx，得到4m=1.5×（m+5），解得m=3，即A（3，4），則k=3×4=12，選擇（C）項(xiàng).

3 用于解答二次函數(shù)難題

例3 將二次函數(shù)圖象y=x2-5x-6在x軸上方圖象沿著x軸翻折到x軸下方，圖象其與部分不變，得到一個(gè)新圖象，若直線y=2x+b和這個(gè)新圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（）

（A）-734

（B）-734

（C）-12

（D）-694

解 二次函數(shù)圖象y=x2-5x-6在x軸上方圖象沿著x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的二次函數(shù)解析式為-y=x2-5x-6，即，y=-x2+5x+6，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)二次函數(shù)以及直線圖象，如圖3所示.由圖可知直線y=2x+b在兩條直線之間移動(dòng)可滿足題意.

當(dāng)其過（6，0）點(diǎn)時(shí)，b=-12;當(dāng)直線y=2x+b和二次函數(shù)相切時(shí)，將y=x2-5x-6，y=2x+b聯(lián)立整理得到：x2-7x-6-b=0，Δ=49-4×（-6-b）=0，解得b=-734，則滿足題意的b的取值范圍為-734

4 用于解答圓相關(guān)的難題

例4 如圖4，△ABC內(nèi)接于圓O，BC=12，∠A=60°，點(diǎn)D為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥直線OD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D從B沿弧BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E繞過的路徑長為（）

（A）83π3. （B）8π3.

（C）43π3.（D）4π3.

解 如圖5，連接OB，設(shè)點(diǎn)M為OB的中點(diǎn)，連接ME，作OH⊥BC于點(diǎn)H.因?yàn)镺D⊥BE，則∠OEB=90°，則點(diǎn)E在以O(shè)B為直徑的圓上.

當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C位置時(shí)，因?yàn)椤螦=60°，所以∠BOC=120°，所以∠BOE=60°，因?yàn)镸O=ME，所以∠BME=120°，因?yàn)锽C=12，OB=OC，所以BH=6，∠HOB=60°，所以sin∠HOB=BHOB，則OB=43，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)軌跡所對的圓心角為360°-120°=240°，則路徑長度為23×43π=83π3，選擇（A）項(xiàng).