反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效性探討

萬亮兵

【摘要】反例教學(xué)是新課改背景下初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用的授課方式，在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、幫助學(xué)生加強(qiáng)知識(shí)理解、鍛煉學(xué)生的解題能力等方面均具有重要的影響意義.基于此，為了提高反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效性，筆者通過闡述在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中應(yīng)用反例教學(xué)容易出現(xiàn)的誤區(qū)，從概念理解、思維鍛煉、知識(shí)鞏固、觀察意識(shí)、辯證能力、挖掘問題等角度分析有效的教學(xué)策略，以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);反例教學(xué);數(shù)學(xué)思維

一、引言

數(shù)學(xué)學(xué)科作為初中教育的主要組成部分，知識(shí)點(diǎn)大多比較抽象，不易理解.如果教師能在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)匾敕蠢?，就可以通過這種“反差”對(duì)比，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).對(duì)于反例的理解，通常定義為某種證明符合題干的要求，卻不屬于正確結(jié)論.換言之，可以認(rèn)為猜想不符合邏輯，存在謬誤.反例的實(shí)際應(yīng)用也比較靈活，教師既可以用來培養(yǎng)學(xué)生的某種能力，也可以用來調(diào)節(jié)課堂氛圍.但想要體現(xiàn)反例教學(xué)的高效性，還需要教師根據(jù)具體情況來具體分析，及時(shí)規(guī)避教學(xué)誤區(qū)，總結(jié)切實(shí)有效的授課方案.

二、反例在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用價(jià)值

與正面教學(xué)不同，反例教學(xué)是常規(guī)教學(xué)模式的一種補(bǔ)充，它可以為學(xué)生提供更為新穎的思考方式，在潛移默化中幫助學(xué)生養(yǎng)成勤思考的優(yōu)秀學(xué)習(xí)習(xí)慣.大量的教學(xué)實(shí)踐和教學(xué)研究表明，反例教學(xué)具有以下幾點(diǎn)應(yīng)用價(jià)值：

1.有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.反例教學(xué)迥異于中規(guī)中矩的授課形式，可以給學(xué)生帶來眼前一亮的學(xué)習(xí)感受.對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，通過反例來探究數(shù)學(xué)知識(shí)，這種學(xué)習(xí)思路充滿了新鮮感和刺激感.這有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望.

2.防止學(xué)生思維僵化.在傳統(tǒng)例題教學(xué)的影響下，許多初中生出現(xiàn)了思維僵化的情況，在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)，只能按照正向思維嘗試解答.而應(yīng)用反例教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考，使其產(chǎn)生豁然開朗的學(xué)習(xí)感受;對(duì)培養(yǎng)學(xué)生多元化的思考習(xí)慣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率均能起到重要的影響作用.

3.營(yíng)造融洽的教學(xué)氛圍.利用反例教學(xué)，可以拓展出更多的授課思路，幫助數(shù)學(xué)教師更好地控制課堂節(jié)奏，營(yíng)造和諧的教學(xué)氛圍，在保障課堂教學(xué)質(zhì)量的同時(shí)，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

三、教師在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中應(yīng)用反例教學(xué)容易出現(xiàn)的誤區(qū)

（一）反例的應(yīng)用欠缺目的性

數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用反例教學(xué)時(shí)，要體現(xiàn)出一定的目的性，即其旨在鍛煉學(xué)生的思維能力，或是糾正學(xué)生某種不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣.若反例使用不當(dāng)，學(xué)生將很難進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，不僅對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解依舊會(huì)停留在表面上，還容易被教師提出的反例誤導(dǎo)，導(dǎo)致自己的數(shù)學(xué)思維步入誤區(qū).因此，教師應(yīng)當(dāng)避免這一教學(xué)誤區(qū)，多選擇課程的重難點(diǎn)來針對(duì)性地引入反例教學(xué).這樣可以合理、高效地利用好課堂教學(xué)時(shí)間，讓反例成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的點(diǎn)睛之筆.

（二）過分注重反例的應(yīng)用

有些教師過分迷信反例的應(yīng)用，在教學(xué)中十分依賴反例教學(xué)，無論理論講解或是習(xí)題剖析，都習(xí)慣性地引入反例.雖然反例的教學(xué)優(yōu)勢(shì)比較明顯，但并不是所有情況都適宜應(yīng)用這種教學(xué)策略.若教師一味地“偏科”教學(xué)，很容易導(dǎo)致反例教學(xué)的“反客為主”，使得教學(xué)效率不升反降.因此，教師應(yīng)當(dāng)審時(shí)度勢(shì)，合理穿插正例和反例的應(yīng)用，盡量將反例使用在“刀尖”上，幫助學(xué)生更好地突破學(xué)習(xí)難關(guān).

（三）應(yīng)用反例時(shí)未重視學(xué)生的實(shí)際學(xué)情

對(duì)于反例的應(yīng)用，案例的選擇十分重要.由于學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、思考方式、理解能力存在一定的差異性，所以意味著教師很難通過“一刀切”的方式，讓反例教學(xué)達(dá)到理想的教學(xué)成效.有些學(xué)生能很好地理解教師舉出的反例，甚至能做到舉一反三.但還有一些學(xué)生，對(duì)教師所講的反例接受度不高，很難通過反例來總結(jié)學(xué)習(xí)心得.更有甚者，還會(huì)受到反例的不良影響，將一些錯(cuò)誤的解題方法應(yīng)用到解題之中.因此，如果教師沒有在反例教學(xué)中重視學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，反例教學(xué)很容易向弄巧成拙的方向發(fā)展.換言之，因人而異是反例教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，但許多教師很容易忽視這個(gè)教學(xué)要素，使得學(xué)生很難通過反例的啟示來掌握科學(xué)的解題技巧.

（四）未能形成成熟的反例教學(xué)體系

關(guān)于反例教學(xué)，并不是單純地在例題解析的過程中列舉一些反例.數(shù)學(xué)教師在開展反例教學(xué)課程之前，必須要慎重思考，認(rèn)真設(shè)計(jì)，規(guī)劃好教學(xué)環(huán)節(jié)，才能取得良好的授課成效.但在教學(xué)實(shí)踐過程中，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師未能形成成熟的反例教學(xué)體系，導(dǎo)致各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的銜接不夠流暢，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)反例時(shí)，很難把握住學(xué)習(xí)重點(diǎn)，總有一種突兀、不協(xié)調(diào)的學(xué)習(xí)感受.長(zhǎng)此以往，很容易導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)偏離方向的結(jié)果.同時(shí)，學(xué)生也難以通過反例教學(xué)的輔助，掌握數(shù)學(xué)題中蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)和哲理.總而言之，教師想要保障反例教學(xué)的效率，必須先構(gòu)建穩(wěn)定的教學(xué)體系，在體系中合理融入反例元素，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散.

（五）反例教學(xué)比較急功近利

由于反例的思維方式與正面思考不同，初中生從接觸到理解需要一定的接受過程.因此，數(shù)學(xué)教師適宜采用循序漸進(jìn)的方式，遵循由淺至深、由易到難的教學(xué)原則，一步步拓展反例教學(xué)的深度.但在實(shí)際教學(xué)過程中，有些教師的反例教學(xué)過于急功近利，將教學(xué)過程與實(shí)踐練習(xí)兩個(gè)環(huán)節(jié)安排得過于緊湊，沒有給學(xué)生留出討論交流、內(nèi)化吸收的時(shí)間.這也導(dǎo)致許多學(xué)生的認(rèn)知水平還未跟上反例教學(xué)的深度，就要在解題中似是而非地進(jìn)行訓(xùn)練.長(zhǎng)此以往，不僅不利于學(xué)生解題思維的發(fā)展，還會(huì)對(duì)學(xué)生常規(guī)的做題習(xí)慣造成不良影響，徹底打亂學(xué)生的解題節(jié)奏，出現(xiàn)“邯鄲學(xué)步”的學(xué)習(xí)情況.

四、教師在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中合理展開反例教學(xué)的有效策略

（一）應(yīng)用反例，加強(qiáng)概念理解

數(shù)學(xué)概念是教師應(yīng)用反例教學(xué)的主要突破口，對(duì)于某些數(shù)學(xué)定理、基本法則、運(yùn)算公式的理解和記憶，許多學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地采用死記硬背的方式.而這種學(xué)習(xí)行為不僅效率低下，學(xué)習(xí)的質(zhì)量也十分僵化.如果教師轉(zhuǎn)變教學(xué)思維，適當(dāng)?shù)匾敕蠢?，就可以幫助學(xué)生觸類旁通地思考數(shù)學(xué)概念，也可以幫助學(xué)生脫離機(jī)械式學(xué)習(xí)的困境，更為透徹地理解數(shù)學(xué)概念.

例如，有關(guān)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章“全等三角形”的教學(xué)，關(guān)于全等三角形的判定，其中一條判定原理為：兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊以及這兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角分別相等，則兩個(gè)三角形滿足全等的條件.有些學(xué)生向筆者詢問為什么要規(guī)定為“夾角”，其他的角不可以嗎？筆者隨即引入反例，將定理改成“兩條對(duì)應(yīng)邊以及其中一條對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角相等”，再讓學(xué)生嘗試進(jìn)行證明.學(xué)生在證明的過程中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)銳角三角形與一個(gè)鈍角三角形也符合這條改過后的判定定理，而銳角三角形和鈍角三角形絕對(duì)不可能相互全等，這就證明反例不成立.以此作為鋪墊，學(xué)生充分理解了為什么全等三角形中需要將夾角作為判定的條件.

（二）應(yīng)用反例，鍛煉數(shù)學(xué)思維

在新課程改革之前，數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)并不看重，學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)主要依賴于教師的分析.在這種沉痼的教學(xué)方式下，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很容易向單一化的趨勢(shì)發(fā)展.做題時(shí)只能采用教師講授過的方法，不能進(jìn)行個(gè)性化的創(chuàng)新思考，這對(duì)于學(xué)生未來的發(fā)展明顯不利.數(shù)學(xué)教師可以應(yīng)用反例教學(xué)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生對(duì)定理、公式、法則等知識(shí)點(diǎn)都能產(chǎn)生別出心裁的思考，從而理解得更為全面.

譬如，關(guān)于人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十一章“一元二次方程”的教學(xué)，筆者適當(dāng)?shù)匾肓苏头蠢_展對(duì)比式課堂，讓學(xué)生在比較學(xué)習(xí)的過程中拓展思維的深度.筆者在講解完一元二次方程的解題應(yīng)用，初步幫助學(xué)生掌握解題方法后，適時(shí)地引入思考題：為什么在判斷ax2+bx+c=0是否存在實(shí)數(shù)根時(shí)，要先規(guī)定a≠0？并讓學(xué)生嘗試從正例和反例兩個(gè)角度進(jìn)行思考.學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，了解到判定一元二次方程存在實(shí)數(shù)根的條件為b2-4ac≥0，所以，當(dāng)a=0時(shí)，一元二次方程會(huì)轉(zhuǎn)變成一元一次方程，則b2-4ac=b2，b2必定大于或等于0，而只有a≠0時(shí)，b2-4ac才有可能小于0.因此，通過正例和反例的對(duì)比，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的重要性，并使得其數(shù)學(xué)思維更加嚴(yán)謹(jǐn).

（三）應(yīng)用反例，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)

在初中階段，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解難度又提升了數(shù)個(gè)臺(tái)階.在有限的課時(shí)內(nèi)，教師要將大量的知識(shí)點(diǎn)印刻在學(xué)生的腦海中，這很容易造成學(xué)生數(shù)學(xué)根基的虛浮，知識(shí)點(diǎn)掌握得似是而非.因此，每經(jīng)過一段時(shí)間的新知教學(xué)，教師都需要帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知課程，并通過反例教學(xué)加以鞏固，幫助學(xué)生加深知識(shí)記憶，防止出現(xiàn)張冠李戴的情況.

譬如，人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第三章“一元一次方程”的課程知識(shí)中對(duì)一元一次方程進(jìn)行了準(zhǔn)確的定義.其中有幾個(gè)關(guān)鍵條件：（1）只有一個(gè)未知數(shù);（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為1;（3）方程為整式方程.為了幫助學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)成果，筆者舉了一個(gè)反例讓學(xué)生進(jìn)行判斷分析，即已知方程3x-2x=8，試問：這個(gè)方程是否屬于一元一次方程？當(dāng)學(xué)生看到只有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)并沒有二次、三次等標(biāo)記，就會(huì)誤認(rèn)為這個(gè)反例是正確的.此時(shí)，筆者再因勢(shì)利導(dǎo)，標(biāo)出“整式”這個(gè)重要條件，分析這個(gè)反例中未知數(shù)放在了分母上，屬于分式項(xiàng)，不符合定義中關(guān)于整式的描述，所以是錯(cuò)誤的.以此為例，學(xué)生不僅鞏固了知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)于“整式”也有了更深的理解.

（四）應(yīng)用反例，培養(yǎng)觀察意識(shí)

部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)偏低，并不是因?yàn)樗季S愚鈍，而是由于學(xué)生的觀察意識(shí)不佳，不能敏銳地挖掘題目中的重要信息.尤其在解析幾何題方面，學(xué)生應(yīng)當(dāng)養(yǎng)成仔細(xì)觀察的審題習(xí)慣.初中階段的習(xí)題相對(duì)來說十分靈活，在思維層面比較發(fā)散.教師若想減少學(xué)生的做題紕漏，可以通過反例教學(xué)來找出病根，幫助學(xué)生改正各種非正常的解題錯(cuò)誤，有效端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度.

譬如，有關(guān)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章“幾何圖形初步”的教學(xué)，筆者在講授“直線、線段、射線”的知識(shí)時(shí)，在黑板上用一根固定長(zhǎng)度的格尺分別畫出直線、線段、射線，并對(duì)學(xué)生提出反例問題：這三種線的長(zhǎng)度一樣，是否正確？如果學(xué)生沒有仔細(xì)審題，將三種線都誤當(dāng)作線段，自然會(huì)認(rèn)為筆者的結(jié)論正確.相反，若學(xué)生細(xì)致地觀察和思考，不難發(fā)現(xiàn)線段的長(zhǎng)度是固定的，而直線和射線是無限長(zhǎng)的，以格尺來繪制三種線，是筆者的一種思維干擾行為.因此，通過筆者的引導(dǎo)，學(xué)生在解題時(shí)更加注意題干中的細(xì)節(jié)，審題的仔細(xì)程度也有所提升.

（五）應(yīng)用反例，提高辯證能力

對(duì)于學(xué)生的解題過程，辯證分析是至關(guān)重要的環(huán)節(jié).證明題是初中數(shù)學(xué)習(xí)題中的一大特色，它需要學(xué)生打破常規(guī)，能靈活運(yùn)用固定的數(shù)學(xué)定理.如果學(xué)生不能在證明題中做到這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)解題能力將很難得到質(zhì)的提升.因此，教師需要巧妙地應(yīng)用反例教學(xué)，提高學(xué)生的辯證水平.

譬如，有關(guān)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“勾股定理”的教學(xué)，筆者在為學(xué)生講解完勾股定理中的數(shù)量關(guān)系以后，對(duì)學(xué)生提出反例思考：現(xiàn)在我們知道直角三角形的兩條直角邊a，b與斜邊c滿足a2+b2=c2，那么如果反過來，知道a2+b2=c2，是否能確定該三角形屬于直角三角形呢？筆者通過反例教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生逆推勾股定理.這不僅幫助學(xué)生加深了知識(shí)理解，在面對(duì)直角三角形的問題時(shí)，學(xué)生也能有意識(shí)地向數(shù)量關(guān)系上思考，這充分提高了學(xué)生的辯證解題能力.

（六）應(yīng)用反例，挖掘?qū)W習(xí)問題

初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，經(jīng)常會(huì)因?yàn)橹R(shí)認(rèn)知上的偏差而出現(xiàn)做錯(cuò)的情況.教師可以對(duì)學(xué)生常見的學(xué)習(xí)問題進(jìn)行全面的挖掘與整理，完成最后的匯總，從中提取出學(xué)生普遍存在的共性問題或個(gè)性問題，在課堂上以反例教學(xué)的方式逐一加以講解.此外，在完成講解后，筆者鼓勵(lì)學(xué)生建立錯(cuò)題集，將學(xué)習(xí)過的反例記錄下來，定期復(fù)習(xí)回顧，總結(jié)自己在解題和理解時(shí)容易出現(xiàn)的邏輯思維問題，從而做到有則改之，無則加勉.

筆者通過長(zhǎng)期的反例教學(xué)，幫助學(xué)生解決了許多學(xué)習(xí)理解方面的不足之處.下面幾條反例命題均為學(xué)生錯(cuò)題集中頻率較高的共性問題.比如：（1）有三條直線兩兩相交，其中一定會(huì)有三個(gè)交點(diǎn).該命題錯(cuò)誤，也可以只有一個(gè)交點(diǎn).（2）若ab<0，則a>0，b<0.該命題錯(cuò)誤，也可能是a<0，b>0.（3）任意三條線段都能組成三角形.該命題錯(cuò)誤，必須要保證任意兩條線段的長(zhǎng)度和大于第三條線段.以此為例，在長(zhǎng)時(shí)間的反例教學(xué)和錯(cuò)題積累中，學(xué)生的做題準(zhǔn)確率明顯提升，呈現(xiàn)出良好的趨勢(shì).

五、結(jié)束語

對(duì)于初中數(shù)學(xué)的實(shí)踐教學(xué)，應(yīng)用反例可以幫助學(xué)生扎實(shí)地記清概念，掌握科學(xué)的辯證思維能力，在計(jì)算訓(xùn)練和復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中也有不菲的教學(xué)價(jià)值.因此，初中教師深入探索反例的高效應(yīng)用，對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成長(zhǎng)大有裨益.筆者總結(jié)當(dāng)前教育工作者對(duì)于反例方面的研究，雖然都表現(xiàn)了比較成熟的教學(xué)思路，但多以中規(guī)中矩的授課方式在課堂上引入反例，整個(gè)教學(xué)過程鮮少體現(xiàn)出趣味性.因此，如何讓反例教學(xué)更加趣味盎然、引人入勝，也是筆者接下來需要重點(diǎn)研究的教學(xué)課題.

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