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    “糖水不等式”的證明及其應(yīng)用技巧

    2022-05-31 13:20:03李施賢
    關(guān)鍵詞:證法糖水通項

    李施賢

    不等關(guān)系和相等關(guān)系是兩種重要的代數(shù)關(guān)系,表示不等關(guān)系的式子通常被叫做不等式.在本文中,筆者主要談一談“糖水不等式”的證明及應(yīng)用技巧.

    一、證明“糖水不等式”的幾種方法

    人教版必修一(2019A版)43頁的練習(xí)10:已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假設(shè)全部溶解),糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式,并證明這個不等式成立.

    下面來探討一下“糖水不等式”的幾種證明方法.

    證法一:作差法.

    因為b>a,所以b-a>0.

    證法二:幾何性質(zhì)法.

    如圖1,構(gòu)造RtΔABC,使∠C=90°,AC=b,BC=a,分別延長CA至A1,CB至B1,令A(yù)A1=BB1=m,過A1作A1B2∥AB交CB1于B2

    從而可得BB21=m,

    所以點B2在BB1之間,

    故∠CAB=∠CA1B2<∠CA1B1,

    tan∠CAB1B1,

    根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形ABC,分別設(shè)出各條線段的長,便可構(gòu)造出等比例的線段,通過比較角之間的關(guān)系式,比較出兩個比例式的大小.

    證法三:利用直線的斜率公式.

    如圖2所示,設(shè)A(b,a),B(-m,-m),

    由圖可知點A在直線OB的下方,

    則kOAAB

    二、“糖水不等式”的應(yīng)用技巧

    “糖水不等式”來源于生活,且較為簡單,便于記憶.“糖水不等式”表示的是在一個真分數(shù)的分母、分子上同時加上一個正數(shù)時,分數(shù)將變大,且小于1,這種不等關(guān)系與不等式的傳遞性有所不同,因此在解題中能發(fā)揮巨大的作用,尤其在比較大小關(guān)系、證明不等式時,運用“糖水不等式”,可使問題快速得解.

    例1,(2020全國III理科,第12題)55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則().

    A.a

    C.b

    用排除法可得本題選A.

    例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

    當n≥2時,由“糖水不等式”得

    在求得數(shù)列的通項公式后,便可在通項公式的分子、分母上同時加上常數(shù)“1”,利用“糖水不等式”進行放縮,就能構(gòu)造出一個等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式進行求和,即可證明不等式.

    例3.設(shè)n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與%軸交點的橫坐標.

    (1)求數(shù)列{xn}的通項公式;

    例4.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x.記f(x)在區(qū)間[0,π](n∈N*)上的最小值為bx,令an=ln(1+n)-bx.

    解:(1)略;

    (2)由已知條件可以求得an=n.

    本題乍一看比較難,但將通項公式平方,再利用“糖水不等式”,將分子,分母都減去一個正數(shù),分數(shù)值就會增大,從而使不等式得以簡化.用“糖水不等式”便將不等式進行巧妙的放縮,問題就能順利得解.

    從上述分析可以看出,利用“糖水不等式”,可使原本復(fù)雜的解題過程變得簡單,使整個解題的思路變得清晰、明朗.這就啟發(fā)我們在以后的學(xué)習(xí)中,不僅要掌握知識,還要多探究知識產(chǎn)生、發(fā)展的背景及其應(yīng)用,以達到舉一反三、融會貫通的目的,這樣便能在解題時做到游刃有余.

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