“糖水不等式”的證明及其應(yīng)用技巧

李施賢

不等關(guān)系和相等關(guān)系是兩種重要的代數(shù)關(guān)系，表示不等關(guān)系的式子通常被叫做不等式.在本文中，筆者主要談一談“糖水不等式”的證明及應(yīng)用技巧.

一、證明“糖水不等式”的幾種方法

人教版必修一（2019A版）43頁的練習(xí)10：已知b克糖水中含有a克糖（b>a>0），再添加m克糖（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立.

下面來探討一下“糖水不等式”的幾種證明方法.

證法一：作差法.

因為b>a，所以b-a>0.

證法二：幾何性質(zhì)法.

如圖1，構(gòu)造RtΔABC，使∠C=90°，AC=b，BC=a，分別延長CA至A₁，CB至B₁，令A(yù)A₁=BB¹=m，過A₁作A₁B₂∥AB交CB₁于B₂，

從而可得BB₂1=m，

所以點B₂在BB₁之間，

故∠CAB=∠CA₁B₂<∠CA₁B₁，

tan∠CAB1B₁，

根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形ABC，分別設(shè)出各條線段的長，便可構(gòu)造出等比例的線段，通過比較角之間的關(guān)系式，比較出兩個比例式的大小.

證法三：利用直線的斜率公式.

如圖2所示，設(shè)A（b，a），B（-m，-m），

由圖可知點A在直線OB的下方，

則k_OAAB

二、“糖水不等式”的應(yīng)用技巧

“糖水不等式”來源于生活，且較為簡單，便于記憶.“糖水不等式”表示的是在一個真分數(shù)的分母、分子上同時加上一個正數(shù)時，分數(shù)將變大，且小于1，這種不等關(guān)系與不等式的傳遞性有所不同，因此在解題中能發(fā)揮巨大的作用，尤其在比較大小關(guān)系、證明不等式時，運用“糖水不等式”，可使問題快速得解.

例1，（2020全國III理科，第12題）5⁵<8⁴，13⁴<8⁵，設(shè)a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，則（）.

A.a

C.b

用排除法可得本題選A.

例2.已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1.

當n≥2時，由“糖水不等式”得

在求得數(shù)列的通項公式后，便可在通項公式的分子、分母上同時加上常數(shù)“1”，利用“糖水不等式”進行放縮，就能構(gòu)造出一個等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式進行求和，即可證明不等式.

例3.設(shè)n∈N^*，x_n是曲線y=x²ⁿ⁺²+1在點（1，2）處的切線與%軸交點的橫坐標.

（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式;

例4.已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x.記f（x）在區(qū)間[0，π]（n∈N^*）上的最小值為b_x，令a_n=ln（1+n）-b_x.

解：（1）略;

（2）由已知條件可以求得a_n=n.

本題乍一看比較難，但將通項公式平方，再利用“糖水不等式”，將分子，分母都減去一個正數(shù)，分數(shù)值就會增大，從而使不等式得以簡化.用“糖水不等式”便將不等式進行巧妙的放縮，問題就能順利得解.

從上述分析可以看出，利用“糖水不等式”，可使原本復(fù)雜的解題過程變得簡單，使整個解題的思路變得清晰、明朗.這就啟發(fā)我們在以后的學(xué)習(xí)中，不僅要掌握知識，還要多探究知識產(chǎn)生、發(fā)展的背景及其應(yīng)用，以達到舉一反三、融會貫通的目的，這樣便能在解題時做到游刃有余.