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    糖水不等式

    2024-08-13 00:00:00趙維坤
    初中生世界·八年級 2024年6期
    關(guān)鍵詞:變甜水會差法

    在一杯水中加入糖后,水會變甜,再加入一些水后,水又會變淡,這些都是我們的生活常識。

    把a(bǔ) g糖放進(jìn)玻璃杯,加入白開水,使糖充分溶化并搖勻,得到一杯質(zhì)量為 b g的糖水(b>a>0),此時,這杯糖水的甜度(含糖量)是[ab]。

    如果再向這杯糖水中添加m g糖(m>0),則糖水的甜度是[a+mb+m]。顯然,加糖后糖水的甜度增大,糖水更甜,因此有[a+mb+m]>[ab]。

    當(dāng)然,以上是結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來的規(guī)律,充其量只是對不等式進(jìn)行了直觀的“解釋”,不能稱為嚴(yán)格的證明。我們不妨用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下:

    因?yàn)閇a+mb+m]-[ab]

    =[b(a+m)-a(b+m)b(b+m)]

    =[(b-a)mb(b+m)],

    又因?yàn)閎>a>0,m>0,

    所以[(b-a)mb(b+m)]gt;0。

    所以[a+mb+m]gt;[ab]。

    這就是所謂的糖水不等式。如果向這杯糖水中添加適量的白開水,這杯糖水的甜度會發(fā)生怎樣的變化呢?請你用數(shù)學(xué)的語言描述,并試著進(jìn)行代數(shù)證明。

    在糖水不等式的基礎(chǔ)上,兩杯甜度不同的糖水,一杯較淡(濃度為[a1b1] ),一杯較濃(濃度為[a2b2] ),那么混合后的糖水一定是比濃的更淡,同時又比淡的更濃,這樣可以得到糖水不等式的推論:

    由b1gt;a1gt;0,b2gt;a2gt;0,[a1b1]lt;[a2b2],

    則[a1b1] lt;[a1+a2b1+b2]lt;[a2b2]。

    同樣地,我們可以用作差法進(jìn)行證明。有興趣的同學(xué)不妨一試。

    一杯糖水,一個不等式,居然是一回事。你說有趣不有趣?

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